Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fz1eqin Structured version   Unicode version

Theorem fz1eqin 35063
Description: Express a one-based finite range as the intersection of lower integers with  NN. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
fz1eqin  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 1 ... N )  =  ( ( ZZ  \ 
( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  i^i  NN ) )

Proof of Theorem fz1eqin
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1z 10935 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
2 nn0z 10928 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
3 elfz1 11731 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( a  e.  ( 1 ... N )  <-> 
( a  e.  ZZ  /\  1  <_  a  /\  a  <_  N ) ) )
41, 2, 3sylancr 661 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( a  e.  ( 1 ... N )  <->  ( a  e.  ZZ  /\  1  <_ 
a  /\  a  <_  N ) ) )
5 3anass 978 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  1  <_  a  /\  a  <_  N )  <->  ( a  e.  ZZ  /\  ( 1  <_  a  /\  a  <_  N ) ) )
6 ancom 448 . . . . . 6  |-  ( ( 1  <_  a  /\  a  <_  N )  <->  ( a  <_  N  /\  1  <_ 
a ) )
76anbi2i 692 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  ( 1  <_  a  /\  a  <_  N ) )  <->  ( a  e.  ZZ  /\  ( a  <_  N  /\  1  <_  a ) ) )
8 anandi 829 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  ( a  <_  N  /\  1  <_  a ) )  <->  ( ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  1  <_  a ) ) )
95, 7, 83bitri 271 . . . 4  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  1  <_  a  /\  a  <_  N )  <->  ( (
a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  1  <_  a )
) )
104, 9syl6bb 261 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( a  e.  ( 1 ... N )  <->  ( (
a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  1  <_  a )
) ) )
11 elin 3626 . . . 4  |-  ( a  e.  ( ( ZZ 
\  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  i^i  NN ) 
<->  ( a  e.  ( ZZ  \  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) )  /\  a  e.  NN )
)
12 ellz1 35061 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
a  e.  ( ZZ 
\  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  <->  ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N ) ) )
132, 12syl 17 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( a  e.  ( ZZ  \ 
( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  <->  ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N ) ) )
14 elnnz1 10931 . . . . . 6  |-  ( a  e.  NN  <->  ( a  e.  ZZ  /\  1  <_ 
a ) )
1514a1i 11 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( a  e.  NN  <->  ( a  e.  ZZ  /\  1  <_ 
a ) ) )
1613, 15anbi12d 709 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( a  e.  ( ZZ 
\  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  a  e.  NN )  <->  ( (
a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  1  <_  a )
) ) )
1711, 16syl5bb 257 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( a  e.  ( ( ZZ 
\  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  i^i  NN ) 
<->  ( ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  1  <_  a ) ) ) )
1810, 17bitr4d 256 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( a  e.  ( 1 ... N )  <->  a  e.  ( ( ZZ  \ 
( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  i^i  NN ) ) )
1918eqrdv 2399 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 1 ... N )  =  ( ( ZZ  \ 
( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  i^i  NN ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842    \ cdif 3411    i^i cin 3413   class class class wbr 4395   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   1c1 9523    + caddc 9525    <_ cle 9659   NNcn 10576   NN0cn0 10836   ZZcz 10905   ZZ>=cuz 11127   ...cfz 11726
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-fz 11727
This theorem is referenced by:  diophin  35067
  Copyright terms: Public domain W3C validator