Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fz1eqin Structured version   Unicode version

Theorem fz1eqin 29256
Description: Express a one-based finite range as the intersection of lower integers with  NN. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
fz1eqin  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 1 ... N )  =  ( ( ZZ  \ 
( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  i^i  NN ) )

Proof of Theorem fz1eqin
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1z 10788 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
2 nn0z 10781 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
3 elfz1 11560 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( a  e.  ( 1 ... N )  <-> 
( a  e.  ZZ  /\  1  <_  a  /\  a  <_  N ) ) )
41, 2, 3sylancr 663 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( a  e.  ( 1 ... N )  <->  ( a  e.  ZZ  /\  1  <_ 
a  /\  a  <_  N ) ) )
5 3anass 969 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  1  <_  a  /\  a  <_  N )  <->  ( a  e.  ZZ  /\  ( 1  <_  a  /\  a  <_  N ) ) )
6 ancom 450 . . . . . 6  |-  ( ( 1  <_  a  /\  a  <_  N )  <->  ( a  <_  N  /\  1  <_ 
a ) )
76anbi2i 694 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  ( 1  <_  a  /\  a  <_  N ) )  <->  ( a  e.  ZZ  /\  ( a  <_  N  /\  1  <_  a ) ) )
8 anandi 824 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  ( a  <_  N  /\  1  <_  a ) )  <->  ( ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  1  <_  a ) ) )
95, 7, 83bitri 271 . . . 4  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  1  <_  a  /\  a  <_  N )  <->  ( (
a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  1  <_  a )
) )
104, 9syl6bb 261 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( a  e.  ( 1 ... N )  <->  ( (
a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  1  <_  a )
) ) )
11 elin 3648 . . . 4  |-  ( a  e.  ( ( ZZ 
\  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  i^i  NN ) 
<->  ( a  e.  ( ZZ  \  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) )  /\  a  e.  NN )
)
12 ellz1 29254 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
a  e.  ( ZZ 
\  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  <->  ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N ) ) )
132, 12syl 16 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( a  e.  ( ZZ  \ 
( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  <->  ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N ) ) )
14 elnnz1 10784 . . . . . 6  |-  ( a  e.  NN  <->  ( a  e.  ZZ  /\  1  <_ 
a ) )
1514a1i 11 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( a  e.  NN  <->  ( a  e.  ZZ  /\  1  <_ 
a ) ) )
1613, 15anbi12d 710 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( a  e.  ( ZZ 
\  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  a  e.  NN )  <->  ( (
a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  1  <_  a )
) ) )
1711, 16syl5bb 257 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( a  e.  ( ( ZZ 
\  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  i^i  NN ) 
<->  ( ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  1  <_  a ) ) ) )
1810, 17bitr4d 256 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( a  e.  ( 1 ... N )  <->  a  e.  ( ( ZZ  \ 
( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  i^i  NN ) ) )
1918eqrdv 2451 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 1 ... N )  =  ( ( ZZ  \ 
( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  i^i  NN ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    \ cdif 3434    i^i cin 3436   class class class wbr 4401   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   1c1 9395    + caddc 9397    <_ cle 9531   NNcn 10434   NN0cn0 10691   ZZcz 10758   ZZ>=cuz 10973   ...cfz 11555
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-er 7212  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-nn 10435  df-n0 10692  df-z 10759  df-uz 10974  df-fz 11556
This theorem is referenced by:  diophin  29260
  Copyright terms: Public domain W3C validator