MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fz0tp Structured version   Unicode version

Theorem fz0tp 11839
Description: An integer range from 0 to 2 is an unordered triple. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
fz0tp  |-  ( 0 ... 2 )  =  { 0 ,  1 ,  2 }

Proof of Theorem fz0tp
StepHypRef Expression
1 2cn 10626 . . . . 5  |-  2  e.  CC
21addid2i 9767 . . . 4  |-  ( 0  +  2 )  =  2
32eqcomi 2432 . . 3  |-  2  =  ( 0  +  2 )
43oveq2i 6255 . 2  |-  ( 0 ... 2 )  =  ( 0 ... (
0  +  2 ) )
5 0z 10894 . . 3  |-  0  e.  ZZ
6 fztp 11798 . . 3  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
0 ... ( 0  +  2 ) )  =  { 0 ,  ( 0  +  1 ) ,  ( 0  +  2 ) } )
75, 6ax-mp 5 . 2  |-  ( 0 ... ( 0  +  2 ) )  =  { 0 ,  ( 0  +  1 ) ,  ( 0  +  2 ) }
8 eqid 2423 . . 3  |-  0  =  0
9 id 22 . . . 4  |-  ( 0  =  0  ->  0  =  0 )
10 0p1e1 10667 . . . . 5  |-  ( 0  +  1 )  =  1
1110a1i 11 . . . 4  |-  ( 0  =  0  ->  (
0  +  1 )  =  1 )
122a1i 11 . . . 4  |-  ( 0  =  0  ->  (
0  +  2 )  =  2 )
139, 11, 12tpeq123d 4032 . . 3  |-  ( 0  =  0  ->  { 0 ,  ( 0  +  1 ) ,  ( 0  +  2 ) }  =  { 0 ,  1 ,  2 } )
148, 13ax-mp 5 . 2  |-  { 0 ,  ( 0  +  1 ) ,  ( 0  +  2 ) }  =  { 0 ,  1 ,  2 }
154, 7, 143eqtri 2449 1  |-  ( 0 ... 2 )  =  { 0 ,  1 ,  2 }
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1437    e. wcel 1872   {ctp 3940  (class class class)co 6244   0cc0 9485   1c1 9486    + caddc 9488   2c2 10605   ZZcz 10883   ...cfz 11730
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2058  ax-ext 2403  ax-sep 4484  ax-nul 4493  ax-pow 4540  ax-pr 4598  ax-un 6536  ax-cnex 9541  ax-resscn 9542  ax-1cn 9543  ax-icn 9544  ax-addcl 9545  ax-addrcl 9546  ax-mulcl 9547  ax-mulrcl 9548  ax-mulcom 9549  ax-addass 9550  ax-mulass 9551  ax-distr 9552  ax-i2m1 9553  ax-1ne0 9554  ax-1rid 9555  ax-rnegex 9556  ax-rrecex 9557  ax-cnre 9558  ax-pre-lttri 9559  ax-pre-lttrn 9560  ax-pre-ltadd 9561  ax-pre-mulgt0 9562
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2275  df-mo 2276  df-clab 2410  df-cleq 2416  df-clel 2419  df-nfc 2553  df-ne 2596  df-nel 2597  df-ral 2714  df-rex 2715  df-reu 2716  df-rab 2718  df-v 3019  df-sbc 3238  df-csb 3334  df-dif 3377  df-un 3379  df-in 3381  df-ss 3388  df-pss 3390  df-nul 3700  df-if 3850  df-pw 3921  df-sn 3937  df-pr 3939  df-tp 3941  df-op 3943  df-uni 4158  df-iun 4239  df-br 4362  df-opab 4421  df-mpt 4422  df-tr 4457  df-eprel 4702  df-id 4706  df-po 4712  df-so 4713  df-fr 4750  df-we 4752  df-xp 4797  df-rel 4798  df-cnv 4799  df-co 4800  df-dm 4801  df-rn 4802  df-res 4803  df-ima 4804  df-pred 5337  df-ord 5383  df-on 5384  df-lim 5385  df-suc 5386  df-iota 5503  df-fun 5541  df-fn 5542  df-f 5543  df-f1 5544  df-fo 5545  df-f1o 5546  df-fv 5547  df-riota 6206  df-ov 6247  df-oprab 6248  df-mpt2 6249  df-om 6646  df-1st 6746  df-2nd 6747  df-wrecs 6978  df-recs 7040  df-rdg 7078  df-er 7313  df-en 7520  df-dom 7521  df-sdom 7522  df-pnf 9623  df-mnf 9624  df-xr 9625  df-ltxr 9626  df-le 9627  df-sub 9808  df-neg 9809  df-nn 10556  df-2 10614  df-n0 10816  df-z 10884  df-uz 11106  df-fz 11731
This theorem is referenced by:  f13idfv  12157  2trllemG  25225  usgra2adedgwlkonALT  25281  usgra2wlkspthlem2  25285  el2wlkonotlem  25527
  Copyright terms: Public domain W3C validator