MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fz0to3un2pr Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem fz0to3un2pr 11919
Description: An integer range from 0 to 3 is the union of two unordered pairs. (Contributed by AV, 7-Feb-2021.)
Assertion
Ref Expression
fz0to3un2pr  |-  ( 0 ... 3 )  =  ( { 0 ,  1 }  u.  {
2 ,  3 } )

Proof of Theorem fz0to3un2pr
StepHypRef Expression
1 1nn0 10909 . . . 4  |-  1  e.  NN0
2 3nn0 10911 . . . 4  |-  3  e.  NN0
3 1le3 10849 . . . 4  |-  1  <_  3
4 elfz2nn0 11911 . . . 4  |-  ( 1  e.  ( 0 ... 3 )  <->  ( 1  e.  NN0  /\  3  e.  NN0  /\  1  <_ 
3 ) )
51, 2, 3, 4mpbir3an 1212 . . 3  |-  1  e.  ( 0 ... 3
)
6 fzsplit 11851 . . 3  |-  ( 1  e.  ( 0 ... 3 )  ->  (
0 ... 3 )  =  ( ( 0 ... 1 )  u.  (
( 1  +  1 ) ... 3 ) ) )
75, 6ax-mp 5 . 2  |-  ( 0 ... 3 )  =  ( ( 0 ... 1 )  u.  (
( 1  +  1 ) ... 3 ) )
8 1e0p1 11102 . . . . 5  |-  1  =  ( 0  +  1 )
98oveq2i 6319 . . . 4  |-  ( 0 ... 1 )  =  ( 0 ... (
0  +  1 ) )
10 0z 10972 . . . . 5  |-  0  e.  ZZ
11 fzpr 11877 . . . . 5  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
0 ... ( 0  +  1 ) )  =  { 0 ,  ( 0  +  1 ) } )
1210, 11ax-mp 5 . . . 4  |-  ( 0 ... ( 0  +  1 ) )  =  { 0 ,  ( 0  +  1 ) }
13 0p1e1 10743 . . . . 5  |-  ( 0  +  1 )  =  1
1413preq2i 4046 . . . 4  |-  { 0 ,  ( 0  +  1 ) }  =  { 0 ,  1 }
159, 12, 143eqtri 2497 . . 3  |-  ( 0 ... 1 )  =  { 0 ,  1 }
16 1p1e2 10745 . . . . 5  |-  ( 1  +  1 )  =  2
17 df-3 10691 . . . . 5  |-  3  =  ( 2  +  1 )
1816, 17oveq12i 6320 . . . 4  |-  ( ( 1  +  1 ) ... 3 )  =  ( 2 ... (
2  +  1 ) )
19 2z 10993 . . . . 5  |-  2  e.  ZZ
20 fzpr 11877 . . . . 5  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  (
2 ... ( 2  +  1 ) )  =  { 2 ,  ( 2  +  1 ) } )
2119, 20ax-mp 5 . . . 4  |-  ( 2 ... ( 2  +  1 ) )  =  { 2 ,  ( 2  +  1 ) }
22 2p1e3 10756 . . . . 5  |-  ( 2  +  1 )  =  3
2322preq2i 4046 . . . 4  |-  { 2 ,  ( 2  +  1 ) }  =  { 2 ,  3 }
2418, 21, 233eqtri 2497 . . 3  |-  ( ( 1  +  1 ) ... 3 )  =  { 2 ,  3 }
2515, 24uneq12i 3577 . 2  |-  ( ( 0 ... 1 )  u.  ( ( 1  +  1 ) ... 3 ) )  =  ( { 0 ,  1 }  u.  {
2 ,  3 } )
267, 25eqtri 2493 1  |-  ( 0 ... 3 )  =  ( { 0 ,  1 }  u.  {
2 ,  3 } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1452    e. wcel 1904    u. cun 3388   {cpr 3961   class class class wbr 4395  (class class class)co 6308   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    <_ cle 9694   2c2 10681   3c3 10682   NN0cn0 10893   ZZcz 10961   ...cfz 11810
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811
This theorem is referenced by:  31wlkdlem4  40076
  Copyright terms: Public domain W3C validator