Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fz0n Structured version   Unicode version

Theorem fz0n 28935
Description: The sequence  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) is empty iff  N is zero. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
fz0n  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 0 ... ( N  -  1 ) )  =  (/)  <->  N  =  0
) )

Proof of Theorem fz0n
StepHypRef Expression
1 0z 10887 . . 3  |-  0  e.  ZZ
2 nn0z 10899 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
3 peano2zm 10918 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
42, 3syl 16 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
5 fzn 11714 . . 3  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( N  -  1
)  e.  ZZ )  ->  ( ( N  -  1 )  <  0  <->  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  =  (/) ) )
61, 4, 5sylancr 663 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  -  1 )  <  0  <->  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  =  (/) ) )
7 elnn0 10809 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  NN  \/  N  =  0 ) )
8 nnge1 10574 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  1  <_  N )
9 nnre 10555 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
10 1re 9607 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
11 subge0 10077 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( 0  <_  ( N  -  1 )  <->  1  <_  N )
)
12 0re 9608 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
13 resubcl 9895 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( N  -  1 )  e.  RR )
14 lenlt 9675 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( N  -  1
)  e.  RR )  ->  ( 0  <_ 
( N  -  1 )  <->  -.  ( N  -  1 )  <  0 ) )
1512, 13, 14sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( 0  <_  ( N  -  1 )  <->  -.  ( N  -  1 )  <  0 ) )
1611, 15bitr3d 255 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( 1  <_  N  <->  -.  ( N  -  1 )  <  0 ) )
179, 10, 16sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  <_  N  <->  -.  ( N  -  1 )  <  0 ) )
188, 17mpbid 210 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  -.  ( N  -  1
)  <  0 )
19 nnne0 10580 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
2019neneqd 2669 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  -.  N  =  0 )
2118, 202falsed 351 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  -  1 )  <  0  <->  N  =  0 ) )
22 oveq1 6302 . . . . . . 7  |-  ( N  =  0  ->  ( N  -  1 )  =  ( 0  -  1 ) )
23 df-neg 9820 . . . . . . 7  |-  -u 1  =  ( 0  -  1 )
2422, 23syl6eqr 2526 . . . . . 6  |-  ( N  =  0  ->  ( N  -  1 )  =  -u 1 )
25 neg1lt0 10654 . . . . . 6  |-  -u 1  <  0
2624, 25syl6eqbr 4490 . . . . 5  |-  ( N  =  0  ->  ( N  -  1 )  <  0 )
27 id 22 . . . . 5  |-  ( N  =  0  ->  N  =  0 )
2826, 272thd 240 . . . 4  |-  ( N  =  0  ->  (
( N  -  1 )  <  0  <->  N  =  0 ) )
2921, 28jaoi 379 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  \/  N  =  0 )  ->  ( ( N  -  1 )  <  0  <->  N  =  0
) )
307, 29sylbi 195 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  -  1 )  <  0  <->  N  = 
0 ) )
316, 30bitr3d 255 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 0 ... ( N  -  1 ) )  =  (/)  <->  N  =  0
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   (/)c0 3790   class class class wbr 4453  (class class class)co 6295   RRcr 9503   0cc0 9504   1c1 9505    < clt 9640    <_ cle 9641    - cmin 9817   -ucneg 9818   NNcn 10548   NN0cn0 10807   ZZcz 10876   ...cfz 11684
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator