Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fz0n Structured version   Unicode version

Theorem fz0n 27411
Description: The sequence  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) is empty iff  N is zero. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
fz0n  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 0 ... ( N  -  1 ) )  =  (/)  <->  N  =  0
) )

Proof of Theorem fz0n
StepHypRef Expression
1 0z 10678 . . 3  |-  0  e.  ZZ
2 nn0z 10690 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
3 peano2zm 10709 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
42, 3syl 16 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
5 fzn 11487 . . 3  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( N  -  1
)  e.  ZZ )  ->  ( ( N  -  1 )  <  0  <->  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  =  (/) ) )
61, 4, 5sylancr 663 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  -  1 )  <  0  <->  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  =  (/) ) )
7 elnn0 10602 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  NN  \/  N  =  0 ) )
8 nnge1 10369 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  1  <_  N )
9 nnre 10350 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
10 1re 9406 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
11 subge0 9873 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( 0  <_  ( N  -  1 )  <->  1  <_  N )
)
12 0re 9407 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
13 resubcl 9694 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( N  -  1 )  e.  RR )
14 lenlt 9474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( N  -  1
)  e.  RR )  ->  ( 0  <_ 
( N  -  1 )  <->  -.  ( N  -  1 )  <  0 ) )
1512, 13, 14sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( 0  <_  ( N  -  1 )  <->  -.  ( N  -  1 )  <  0 ) )
1611, 15bitr3d 255 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( 1  <_  N  <->  -.  ( N  -  1 )  <  0 ) )
179, 10, 16sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  <_  N  <->  -.  ( N  -  1 )  <  0 ) )
188, 17mpbid 210 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  -.  ( N  -  1
)  <  0 )
19 nnne0 10375 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
2019neneqd 2627 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  -.  N  =  0 )
2118, 202falsed 351 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  -  1 )  <  0  <->  N  =  0 ) )
22 oveq1 6119 . . . . . . 7  |-  ( N  =  0  ->  ( N  -  1 )  =  ( 0  -  1 ) )
23 df-neg 9619 . . . . . . 7  |-  -u 1  =  ( 0  -  1 )
2422, 23syl6eqr 2493 . . . . . 6  |-  ( N  =  0  ->  ( N  -  1 )  =  -u 1 )
25 neg1lt0 10449 . . . . . 6  |-  -u 1  <  0
2624, 25syl6eqbr 4350 . . . . 5  |-  ( N  =  0  ->  ( N  -  1 )  <  0 )
27 id 22 . . . . 5  |-  ( N  =  0  ->  N  =  0 )
2826, 272thd 240 . . . 4  |-  ( N  =  0  ->  (
( N  -  1 )  <  0  <->  N  =  0 ) )
2921, 28jaoi 379 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  \/  N  =  0 )  ->  ( ( N  -  1 )  <  0  <->  N  =  0
) )
307, 29sylbi 195 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  -  1 )  <  0  <->  N  = 
0 ) )
316, 30bitr3d 255 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 0 ... ( N  -  1 ) )  =  (/)  <->  N  =  0
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   (/)c0 3658   class class class wbr 4313  (class class class)co 6112   RRcr 9302   0cc0 9303   1c1 9304    < clt 9439    <_ cle 9440    - cmin 9616   -ucneg 9617   NNcn 10343   NN0cn0 10600   ZZcz 10667   ...cfz 11458
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-er 7122  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-nn 10344  df-n0 10601  df-z 10668  df-uz 10883  df-fz 11459
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator