Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fz0n Structured version   Unicode version

Theorem fz0n 27235
Description: The sequence  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) is empty iff  N is zero. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
fz0n  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 0 ... ( N  -  1 ) )  =  (/)  <->  N  =  0
) )

Proof of Theorem fz0n
StepHypRef Expression
1 0z 10644 . . 3  |-  0  e.  ZZ
2 nn0z 10656 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
3 peano2zm 10675 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
42, 3syl 16 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
5 fzn 11452 . . 3  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( N  -  1
)  e.  ZZ )  ->  ( ( N  -  1 )  <  0  <->  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  =  (/) ) )
61, 4, 5sylancr 656 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  -  1 )  <  0  <->  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  =  (/) ) )
7 elnn0 10568 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  NN  \/  N  =  0 ) )
8 nnge1 10335 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  1  <_  N )
9 nnre 10316 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
10 1re 9372 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
11 subge0 9839 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( 0  <_  ( N  -  1 )  <->  1  <_  N )
)
12 0re 9373 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
13 resubcl 9660 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( N  -  1 )  e.  RR )
14 lenlt 9440 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( N  -  1
)  e.  RR )  ->  ( 0  <_ 
( N  -  1 )  <->  -.  ( N  -  1 )  <  0 ) )
1512, 13, 14sylancr 656 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( 0  <_  ( N  -  1 )  <->  -.  ( N  -  1 )  <  0 ) )
1611, 15bitr3d 255 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( 1  <_  N  <->  -.  ( N  -  1 )  <  0 ) )
179, 10, 16sylancl 655 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  <_  N  <->  -.  ( N  -  1 )  <  0 ) )
188, 17mpbid 210 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  -.  ( N  -  1
)  <  0 )
19 nnne0 10341 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
2019neneqd 2614 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  -.  N  =  0 )
2118, 202falsed 351 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  -  1 )  <  0  <->  N  =  0 ) )
22 oveq1 6087 . . . . . . 7  |-  ( N  =  0  ->  ( N  -  1 )  =  ( 0  -  1 ) )
23 df-neg 9585 . . . . . . 7  |-  -u 1  =  ( 0  -  1 )
2422, 23syl6eqr 2483 . . . . . 6  |-  ( N  =  0  ->  ( N  -  1 )  =  -u 1 )
25 neg1lt0 10415 . . . . . 6  |-  -u 1  <  0
2624, 25syl6eqbr 4317 . . . . 5  |-  ( N  =  0  ->  ( N  -  1 )  <  0 )
27 id 22 . . . . 5  |-  ( N  =  0  ->  N  =  0 )
2826, 272thd 240 . . . 4  |-  ( N  =  0  ->  (
( N  -  1 )  <  0  <->  N  =  0 ) )
2921, 28jaoi 379 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  \/  N  =  0 )  ->  ( ( N  -  1 )  <  0  <->  N  =  0
) )
307, 29sylbi 195 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  -  1 )  <  0  <->  N  = 
0 ) )
316, 30bitr3d 255 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 0 ... ( N  -  1 ) )  =  (/)  <->  N  =  0
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1362    e. wcel 1755   (/)c0 3625   class class class wbr 4280  (class class class)co 6080   RRcr 9268   0cc0 9269   1c1 9270    < clt 9405    <_ cle 9406    - cmin 9582   -ucneg 9583   NNcn 10309   NN0cn0 10566   ZZcz 10633   ...cfz 11423
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9325  ax-resscn 9326  ax-1cn 9327  ax-icn 9328  ax-addcl 9329  ax-addrcl 9330  ax-mulcl 9331  ax-mulrcl 9332  ax-mulcom 9333  ax-addass 9334  ax-mulass 9335  ax-distr 9336  ax-i2m1 9337  ax-1ne0 9338  ax-1rid 9339  ax-rnegex 9340  ax-rrecex 9341  ax-cnre 9342  ax-pre-lttri 9343  ax-pre-lttrn 9344  ax-pre-ltadd 9345  ax-pre-mulgt0 9346
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-xr 9409  df-ltxr 9410  df-le 9411  df-sub 9584  df-neg 9585  df-nn 10310  df-n0 10567  df-z 10634  df-uz 10849  df-fz 11424
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator