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Theorem fz0fzelfz0 11883
Description: If a member of a finite set of sequential integers with a lower bound being a member of a finite set of sequential nonnegative integers with the same upper bound, this member is also a member of the finite set of sequential nonnegative integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Apr-2018.)
Assertion
Ref Expression
fz0fzelfz0  |-  ( ( N  e.  ( 0 ... R )  /\  M  e.  ( N ... R ) )  ->  M  e.  ( 0 ... R ) )

Proof of Theorem fz0fzelfz0
StepHypRef Expression
1 elfz2nn0 11872 . . . 4  |-  ( N  e.  ( 0 ... R )  <->  ( N  e.  NN0  /\  R  e. 
NN0  /\  N  <_  R ) )
2 elfz2 11778 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ( N ... R )  <->  ( ( N  e.  ZZ  /\  R  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  ( N  <_  M  /\  M  <_  R ) ) )
3 simplr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  M  e.  ZZ )  /\  N  <_  M
)  ->  M  e.  ZZ )
4 0red 9633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  M  e.  ZZ )  ->  0  e.  RR )
5 nn0re 10867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
65adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  M  e.  ZZ )  ->  N  e.  RR )
7 zre 10930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
87adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  M  e.  ZZ )  ->  M  e.  RR )
94, 6, 83jca 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( 0  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  M  e.  RR )
)
109adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  M  e.  ZZ )  /\  N  <_  M
)  ->  ( 0  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  M  e.  RR ) )
11 nn0ge0 10884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  NN0  ->  0  <_  N )
1211adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  M  e.  ZZ )  ->  0  <_  N )
1312anim1i 570 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  M  e.  ZZ )  /\  N  <_  M
)  ->  ( 0  <_  N  /\  N  <_  M ) )
14 letr 9716 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  (
( 0  <_  N  /\  N  <_  M )  ->  0  <_  M
) )
1510, 13, 14sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  M  e.  ZZ )  /\  N  <_  M
)  ->  0  <_  M )
16 elnn0z 10939 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  e.  NN0  <->  ( M  e.  ZZ  /\  0  <_  M ) )
173, 15, 16sylanbrc 668 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  M  e.  ZZ )  /\  N  <_  M
)  ->  M  e.  NN0 )
1817exp31 607 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( M  e.  ZZ  ->  ( N  <_  M  ->  M  e.  NN0 ) ) )
1918com23 81 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  <_  M  ->  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  NN0 ) ) )
20193ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  R  e.  NN0  /\  N  <_  R )  ->  ( N  <_  M  ->  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  NN0 ) ) )
2120com13 83 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( N  <_  M  ->  (
( N  e.  NN0  /\  R  e.  NN0  /\  N  <_  R )  ->  M  e.  NN0 ) ) )
2221adantrd 469 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( N  <_  M  /\  M  <_  R )  ->  ( ( N  e.  NN0  /\  R  e. 
NN0  /\  N  <_  R )  ->  M  e.  NN0 ) ) )
23223ad2ant3 1028 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  R  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  (
( N  <_  M  /\  M  <_  R )  ->  ( ( N  e.  NN0  /\  R  e. 
NN0  /\  N  <_  R )  ->  M  e.  NN0 ) ) )
2423imp 430 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  R  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  ( N  <_  M  /\  M  <_  R ) )  ->  ( ( N  e.  NN0  /\  R  e.  NN0  /\  N  <_  R )  ->  M  e.  NN0 ) )
2524imp 430 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  R  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  ( N  <_  M  /\  M  <_  R ) )  /\  ( N  e.  NN0  /\  R  e.  NN0  /\  N  <_  R ) )  ->  M  e.  NN0 )
26 simpr2 1012 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  R  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  ( N  <_  M  /\  M  <_  R ) )  /\  ( N  e.  NN0  /\  R  e.  NN0  /\  N  <_  R ) )  ->  R  e.  NN0 )
27 simplrr 769 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  R  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  ( N  <_  M  /\  M  <_  R ) )  /\  ( N  e.  NN0  /\  R  e.  NN0  /\  N  <_  R ) )  ->  M  <_  R
)
2825, 26, 273jca 1185 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  R  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  ( N  <_  M  /\  M  <_  R ) )  /\  ( N  e.  NN0  /\  R  e.  NN0  /\  N  <_  R ) )  ->  ( M  e. 
NN0  /\  R  e.  NN0 
/\  M  <_  R
) )
2928ex 435 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  R  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  ( N  <_  M  /\  M  <_  R ) )  ->  ( ( N  e.  NN0  /\  R  e.  NN0  /\  N  <_  R )  ->  ( M  e.  NN0  /\  R  e.  NN0  /\  M  <_  R ) ) )
302, 29sylbi 198 . . . . 5  |-  ( M  e.  ( N ... R )  ->  (
( N  e.  NN0  /\  R  e.  NN0  /\  N  <_  R )  -> 
( M  e.  NN0  /\  R  e.  NN0  /\  M  <_  R ) ) )
3130com12 32 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  R  e.  NN0  /\  N  <_  R )  ->  ( M  e.  ( N ... R )  ->  ( M  e.  NN0  /\  R  e.  NN0  /\  M  <_  R ) ) )
321, 31sylbi 198 . . 3  |-  ( N  e.  ( 0 ... R )  ->  ( M  e.  ( N ... R )  ->  ( M  e.  NN0  /\  R  e.  NN0  /\  M  <_  R ) ) )
3332imp 430 . 2  |-  ( ( N  e.  ( 0 ... R )  /\  M  e.  ( N ... R ) )  -> 
( M  e.  NN0  /\  R  e.  NN0  /\  M  <_  R ) )
34 elfz2nn0 11872 . 2  |-  ( M  e.  ( 0 ... R )  <->  ( M  e.  NN0  /\  R  e. 
NN0  /\  M  <_  R ) )
3533, 34sylibr 215 1  |-  ( ( N  e.  ( 0 ... R )  /\  M  e.  ( N ... R ) )  ->  M  e.  ( 0 ... R ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    e. wcel 1867   class class class wbr 4417  (class class class)co 6296   RRcr 9527   0cc0 9528    <_ cle 9665   NN0cn0 10858   ZZcz 10926   ...cfz 11771
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-er 7362  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-nn 10599  df-n0 10859  df-z 10927  df-uz 11149  df-fz 11772
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