MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fz0fzdiffz0 Structured version   Unicode version

Theorem fz0fzdiffz0 11840
Description: The difference of an integer in a finite set of sequential nonnegative integers and and an integer of a finite set of sequential integers with the same upper bound and the nonnegative integer as lower bound is a member of the finite set of sequential nonnegative integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
fz0fzdiffz0  |-  ( ( M  e.  ( 0 ... N )  /\  K  e.  ( M ... N ) )  -> 
( K  -  M
)  e.  ( 0 ... N ) )

Proof of Theorem fz0fzdiffz0
StepHypRef Expression
1 fz0fzelfz0 11837 . . 3  |-  ( ( M  e.  ( 0 ... N )  /\  K  e.  ( M ... N ) )  ->  K  e.  ( 0 ... N ) )
2 elfzle1 11745 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  M  <_  K )
32adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ( 0 ... N )  /\  K  e.  ( M ... N ) )  ->  M  <_  K )
43adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( M  e.  (
0 ... N )  /\  K  e.  ( M ... N ) ) )  ->  M  <_  K
)
5 elfznn0 11828 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  ->  M  e.  NN0 )
65adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ( 0 ... N )  /\  K  e.  ( M ... N ) )  ->  M  e.  NN0 )
7 elfznn0 11828 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  K  e.  NN0 )
8 nn0sub 10889 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( M  <_  K  <->  ( K  -  M )  e.  NN0 ) )
96, 7, 8syl2anr 478 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( M  e.  (
0 ... N )  /\  K  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( M  <_  K 
<->  ( K  -  M
)  e.  NN0 )
)
104, 9mpbid 212 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( M  e.  (
0 ... N )  /\  K  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( K  -  M )  e.  NN0 )
11 elfz3nn0 11829 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  N  e.  NN0 )
1211adantr 465 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( M  e.  (
0 ... N )  /\  K  e.  ( M ... N ) ) )  ->  N  e.  NN0 )
13 elfz2nn0 11826 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  <->  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  M  <_  N ) )
14 elfz2 11735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  ( M ... N )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )
15 zsubcl 10949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( K  -  M
)  e.  ZZ )
1615zred 11010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( K  -  M
)  e.  RR )
1716ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( K  -  M
)  e.  RR )
18173adant2 1018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( K  -  M )  e.  RR )
19 zre 10911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  RR )
20193ad2ant3 1022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  K  e.  RR )
21 zre 10911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
22213ad2ant2 1021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  N  e.  RR )
2318, 20, 223jca 1179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( K  -  M
)  e.  RR  /\  K  e.  RR  /\  N  e.  RR ) )
2423adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  M  e.  NN0 )  ->  ( ( K  -  M )  e.  RR  /\  K  e.  RR  /\  N  e.  RR ) )
2524adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  M  e.  NN0 )  /\  K  <_  N )  ->  (
( K  -  M
)  e.  RR  /\  K  e.  RR  /\  N  e.  RR ) )
26 nn0ge0 10864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( M  e.  NN0  ->  0  <_  M )
2726adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  M  e.  NN0 )  ->  0  <_  M
)
28 nn0re 10847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  e.  RR )
29 subge02 10111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( K  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  ( 0  <_  M  <->  ( K  -  M )  <_  K ) )
3020, 28, 29syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  M  e.  NN0 )  ->  ( 0  <_  M 
<->  ( K  -  M
)  <_  K )
)
3127, 30mpbid 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  M  e.  NN0 )  ->  ( K  -  M )  <_  K
)
3231anim1i 568 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  M  e.  NN0 )  /\  K  <_  N )  ->  (
( K  -  M
)  <_  K  /\  K  <_  N ) )
33 letr 9711 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  -  M
)  e.  RR  /\  K  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
( ( K  -  M )  <_  K  /\  K  <_  N )  ->  ( K  -  M )  <_  N
) )
3425, 32, 33sylc 61 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  M  e.  NN0 )  /\  K  <_  N )  ->  ( K  -  M )  <_  N )
3534exp31 604 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( M  e.  NN0  ->  ( K  <_  N  ->  ( K  -  M )  <_  N ) ) )
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( M  e.  NN0  ->  ( K  <_  N  ->  ( K  -  M )  <_  N ) ) ) )
3736com14 90 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  <_  N  ->  (
( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( M  e.  NN0  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( K  -  M
)  <_  N )
) ) )
3837adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  <_  K  /\  K  <_  N )  -> 
( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( M  e.  NN0  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( K  -  M )  <_  N ) ) ) )
3938impcom 430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) )  ->  ( M  e.  NN0  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( K  -  M )  <_  N
) ) )
4014, 39sylbi 197 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  ( M  e.  NN0  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( K  -  M )  <_  N ) ) )
4140com13 82 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( M  e.  NN0  ->  ( K  e.  ( M ... N )  ->  ( K  -  M )  <_  N ) ) )
4241impcom 430 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( K  e.  ( M ... N )  ->  ( K  -  M )  <_  N
) )
43423adant3 1019 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  ->  ( K  e.  ( M ... N )  ->  ( K  -  M )  <_  N ) )
4413, 43sylbi 197 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  ->  ( K  e.  ( M ... N )  ->  ( K  -  M )  <_  N ) )
4544imp 429 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ( 0 ... N )  /\  K  e.  ( M ... N ) )  -> 
( K  -  M
)  <_  N )
4645adantl 466 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( M  e.  (
0 ... N )  /\  K  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( K  -  M )  <_  N
)
4710, 12, 463jca 1179 . . 3  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( M  e.  (
0 ... N )  /\  K  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( ( K  -  M )  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 
/\  ( K  -  M )  <_  N
) )
481, 47mpancom 669 . 2  |-  ( ( M  e.  ( 0 ... N )  /\  K  e.  ( M ... N ) )  -> 
( ( K  -  M )  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  ( K  -  M
)  <_  N )
)
49 elfz2nn0 11826 . 2  |-  ( ( K  -  M )  e.  ( 0 ... N )  <->  ( ( K  -  M )  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  ( K  -  M )  <_  N
) )
5048, 49sylibr 214 1  |-  ( ( M  e.  ( 0 ... N )  /\  K  e.  ( M ... N ) )  -> 
( K  -  M
)  e.  ( 0 ... N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 186    /\ wa 369    /\ w3a 976    e. wcel 1844   class class class wbr 4397  (class class class)co 6280   RRcr 9523   0cc0 9524    <_ cle 9661    - cmin 9843   NN0cn0 10838   ZZcz 10907   ...cfz 11728
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-er 7350  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-nn 10579  df-n0 10839  df-z 10908  df-uz 11130  df-fz 11729
This theorem is referenced by:  swrdtrcfv  12724  swrdccatwrd  12751  chfacfpmmulgsum2  19660  pfxtrcfv  37901
  Copyright terms: Public domain W3C validator