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Theorem fz0fzdiffz0 11777
Description: The difference of an integer in a finite set of sequential nonnegative integers and and an integer of a finite set of sequential integers with the same upper bound and the nonnegative integer as lower bound is a member of the finite set of sequential nonnegative integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
fz0fzdiffz0  |-  ( ( M  e.  ( 0 ... N )  /\  K  e.  ( M ... N ) )  -> 
( K  -  M
)  e.  ( 0 ... N ) )

Proof of Theorem fz0fzdiffz0
StepHypRef Expression
1 fz0fzelfz0 11774 . . 3  |-  ( ( M  e.  ( 0 ... N )  /\  K  e.  ( M ... N ) )  ->  K  e.  ( 0 ... N ) )
2 elfzle1 11685 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  M  <_  K )
32adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ( 0 ... N )  /\  K  e.  ( M ... N ) )  ->  M  <_  K )
43adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( M  e.  (
0 ... N )  /\  K  e.  ( M ... N ) ) )  ->  M  <_  K
)
5 elfznn0 11766 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  ->  M  e.  NN0 )
65adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ( 0 ... N )  /\  K  e.  ( M ... N ) )  ->  M  e.  NN0 )
7 elfznn0 11766 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  K  e.  NN0 )
8 nn0sub 10842 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( M  <_  K  <->  ( K  -  M )  e.  NN0 ) )
96, 7, 8syl2anr 478 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( M  e.  (
0 ... N )  /\  K  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( M  <_  K 
<->  ( K  -  M
)  e.  NN0 )
)
104, 9mpbid 210 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( M  e.  (
0 ... N )  /\  K  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( K  -  M )  e.  NN0 )
11 elfz3nn0 11767 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  N  e.  NN0 )
1211adantr 465 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( M  e.  (
0 ... N )  /\  K  e.  ( M ... N ) ) )  ->  N  e.  NN0 )
13 elfz2nn0 11764 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  <->  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  M  <_  N ) )
14 elfz2 11675 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  ( M ... N )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )
15 zsubcl 10901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( K  -  M
)  e.  ZZ )
1615zred 10962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( K  -  M
)  e.  RR )
1716ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( K  -  M
)  e.  RR )
18173adant2 1015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( K  -  M )  e.  RR )
19 zre 10864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  RR )
20193ad2ant3 1019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  K  e.  RR )
21 zre 10864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
22213ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  N  e.  RR )
2318, 20, 223jca 1176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( K  -  M
)  e.  RR  /\  K  e.  RR  /\  N  e.  RR ) )
2423adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  M  e.  NN0 )  ->  ( ( K  -  M )  e.  RR  /\  K  e.  RR  /\  N  e.  RR ) )
2524adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  M  e.  NN0 )  /\  K  <_  N )  ->  (
( K  -  M
)  e.  RR  /\  K  e.  RR  /\  N  e.  RR ) )
26 nn0ge0 10817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( M  e.  NN0  ->  0  <_  M )
2726adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  M  e.  NN0 )  ->  0  <_  M
)
28 nn0re 10800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  e.  RR )
29 subge02 10064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( K  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  ( 0  <_  M  <->  ( K  -  M )  <_  K ) )
3020, 28, 29syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  M  e.  NN0 )  ->  ( 0  <_  M 
<->  ( K  -  M
)  <_  K )
)
3127, 30mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  M  e.  NN0 )  ->  ( K  -  M )  <_  K
)
3231anim1i 568 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  M  e.  NN0 )  /\  K  <_  N )  ->  (
( K  -  M
)  <_  K  /\  K  <_  N ) )
33 letr 9674 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  -  M
)  e.  RR  /\  K  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
( ( K  -  M )  <_  K  /\  K  <_  N )  ->  ( K  -  M )  <_  N
) )
3425, 32, 33sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  M  e.  NN0 )  /\  K  <_  N )  ->  ( K  -  M )  <_  N )
3534exp31 604 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( M  e.  NN0  ->  ( K  <_  N  ->  ( K  -  M )  <_  N ) ) )
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( M  e.  NN0  ->  ( K  <_  N  ->  ( K  -  M )  <_  N ) ) ) )
3736com14 88 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  <_  N  ->  (
( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( M  e.  NN0  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( K  -  M
)  <_  N )
) ) )
3837adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  <_  K  /\  K  <_  N )  -> 
( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( M  e.  NN0  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( K  -  M )  <_  N ) ) ) )
3938impcom 430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) )  ->  ( M  e.  NN0  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( K  -  M )  <_  N
) ) )
4014, 39sylbi 195 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  ( M  e.  NN0  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( K  -  M )  <_  N ) ) )
4140com13 80 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( M  e.  NN0  ->  ( K  e.  ( M ... N )  ->  ( K  -  M )  <_  N ) ) )
4241impcom 430 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( K  e.  ( M ... N )  ->  ( K  -  M )  <_  N
) )
43423adant3 1016 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  ->  ( K  e.  ( M ... N )  ->  ( K  -  M )  <_  N ) )
4413, 43sylbi 195 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  ->  ( K  e.  ( M ... N )  ->  ( K  -  M )  <_  N ) )
4544imp 429 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ( 0 ... N )  /\  K  e.  ( M ... N ) )  -> 
( K  -  M
)  <_  N )
4645adantl 466 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( M  e.  (
0 ... N )  /\  K  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( K  -  M )  <_  N
)
4710, 12, 463jca 1176 . . 3  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( M  e.  (
0 ... N )  /\  K  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( ( K  -  M )  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 
/\  ( K  -  M )  <_  N
) )
481, 47mpancom 669 . 2  |-  ( ( M  e.  ( 0 ... N )  /\  K  e.  ( M ... N ) )  -> 
( ( K  -  M )  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  ( K  -  M
)  <_  N )
)
49 elfz2nn0 11764 . 2  |-  ( ( K  -  M )  e.  ( 0 ... N )  <->  ( ( K  -  M )  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  ( K  -  M )  <_  N
) )
5048, 49sylibr 212 1  |-  ( ( M  e.  ( 0 ... N )  /\  K  e.  ( M ... N ) )  -> 
( K  -  M
)  e.  ( 0 ... N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    e. wcel 1767   class class class wbr 4447  (class class class)co 6282   RRcr 9487   0cc0 9488    <_ cle 9625    - cmin 9801   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   ...cfz 11668
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669
This theorem is referenced by:  swrdtrcfv  12627  swrdccatwrd  12652  chfacfpmmulgsum2  19133
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