MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fz01en Structured version   Unicode version

Theorem fz01en 11476
Description: 0-based and 1-based finite sets of sequential integers are equinumerous. (Contributed by Paul Chapman, 11-Apr-2009.)
Assertion
Ref Expression
fz01en  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0 ... ( N  - 
1 ) )  ~~  ( 1 ... N
) )

Proof of Theorem fz01en
StepHypRef Expression
1 peano2zm 10687 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
2 0z 10656 . . . 4  |-  0  e.  ZZ
3 1z 10675 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
4 fzen 11466 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( N  -  1
)  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ~~  ( ( 0  +  1 ) ... ( ( N  -  1 )  +  1 ) ) )
52, 3, 4mp3an13 1305 . . 3  |-  ( ( N  -  1 )  e.  ZZ  ->  (
0 ... ( N  - 
1 ) )  ~~  ( ( 0  +  1 ) ... (
( N  -  1 )  +  1 ) ) )
61, 5syl 16 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0 ... ( N  - 
1 ) )  ~~  ( ( 0  +  1 ) ... (
( N  -  1 )  +  1 ) ) )
7 0p1e1 10432 . . . 4  |-  ( 0  +  1 )  =  1
87a1i 11 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0  +  1 )  =  1 )
9 zcn 10650 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
10 ax-1cn 9339 . . . 4  |-  1  e.  CC
11 npcan 9618 . . . 4  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
129, 10, 11sylancl 662 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( N  -  1 )  +  1 )  =  N )
138, 12oveq12d 6108 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( 0  +  1 ) ... ( ( N  -  1 )  +  1 ) )  =  ( 1 ... N ) )
146, 13breqtrd 4315 1  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0 ... ( N  - 
1 ) )  ~~  ( 1 ... N
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756   class class class wbr 4291  (class class class)co 6090    ~~ cen 7306   CCcc 9279   0cc0 9281   1c1 9282    + caddc 9284    - cmin 9594   ZZcz 10645   ...cfz 11436
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-iun 4172  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-er 7100  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-nn 10322  df-n0 10579  df-z 10646  df-fz 11437
This theorem is referenced by:  4sqlem11  14015  dfod2  16064  bpolylem  28190
  Copyright terms: Public domain W3C validator