MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fz0 Structured version   Unicode version

Theorem fz0 11465
Description: A finite set of sequential integers is empty if its bounds are not integers. (Contributed by AV, 13-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
fz0  |-  ( ( M  e/  ZZ  \/  N  e/  ZZ )  -> 
( M ... N
)  =  (/) )

Proof of Theorem fz0
StepHypRef Expression
1 df-nel 2609 . . 3  |-  ( M  e/  ZZ  <->  -.  M  e.  ZZ )
2 df-nel 2609 . . 3  |-  ( N  e/  ZZ  <->  -.  N  e.  ZZ )
31, 2orbi12i 521 . 2  |-  ( ( M  e/  ZZ  \/  N  e/  ZZ )  <->  ( -.  M  e.  ZZ  \/  -.  N  e.  ZZ ) )
4 ianor 488 . . 3  |-  ( -.  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  <-> 
( -.  M  e.  ZZ  \/  -.  N  e.  ZZ ) )
5 fzf 11441 . . . . 5  |-  ... :
( ZZ  X.  ZZ )
--> ~P ZZ
65fdmi 5564 . . . 4  |-  dom  ...  =  ( ZZ  X.  ZZ )
76ndmov 6247 . . 3  |-  ( -.  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M ... N )  =  (/) )
84, 7sylbir 213 . 2  |-  ( ( -.  M  e.  ZZ  \/  -.  N  e.  ZZ )  ->  ( M ... N )  =  (/) )
93, 8sylbi 195 1  |-  ( ( M  e/  ZZ  \/  N  e/  ZZ )  -> 
( M ... N
)  =  (/) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    e/ wnel 2607   (/)c0 3637   ~Pcpw 3860    X. cxp 4838  (class class class)co 6091   ZZcz 10646   ...cfz 11437
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-fv 5426  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-neg 9598  df-z 10647  df-fz 11438
This theorem is referenced by:  ffz0iswrd  12255
  Copyright terms: Public domain W3C validator