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Theorem fwddifnp1 31003
Description: The value of the n-iterated forward difference at a successor. (Contributed by Scott Fenton, 28-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fwddifnp1.1  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
fwddifnp1.2  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
fwddifnp1.3  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
fwddifnp1.4  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
fwddifnp1.5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( X  +  k )  e.  A )
Assertion
Ref Expression
fwddifnp1  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  +  1 )  _/_\^nn  F ) `
 X )  =  ( ( ( N  _/_\^nn  F ) `  ( X  +  1 ) )  -  ( ( N  _/_\^nn  F ) `  X ) ) )
Distinct variable groups:    A, k    k, F    k, X    k, N    ph, k

Proof of Theorem fwddifnp1
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fwddifnp1.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
2 elfzelz 11826 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  ->  k  e.  ZZ )
3 bcpasc 12544 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( N  _C  k )  +  ( N  _C  ( k  -  1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  _C  k ) )
41, 2, 3syl2an 485 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  k
)  +  ( N  _C  ( k  - 
1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  _C  k ) )
54oveq1d 6323 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( N  _C  k )  +  ( N  _C  ( k  -  1 ) ) )  x.  ( (
-u 1 ^ (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( F `
 ( X  +  k ) ) ) )  =  ( ( ( N  +  1 )  _C  k )  x.  ( ( -u
1 ^ ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( F `  ( X  +  k
) ) ) ) )
6 bccl 12545 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( N  _C  k
)  e.  NN0 )
71, 2, 6syl2an 485 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  _C  k )  e. 
NN0 )
87nn0cnd 10951 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  _C  k )  e.  CC )
9 peano2zm 11004 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
k  -  1 )  e.  ZZ )
102, 9syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  ->  (
k  -  1 )  e.  ZZ )
11 bccl 12545 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( k  -  1 )  e.  ZZ )  ->  ( N  _C  ( k  -  1 ) )  e.  NN0 )
121, 10, 11syl2an 485 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  e. 
NN0 )
1312nn0cnd 10951 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  e.  CC )
148, 13addcomd 9853 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  k
)  +  ( N  _C  ( k  - 
1 ) ) )  =  ( ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  +  ( N  _C  k
) ) )
1514oveq1d 6323 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( N  _C  k )  +  ( N  _C  ( k  -  1 ) ) )  x.  ( (
-u 1 ^ (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( F `
 ( X  +  k ) ) ) )  =  ( ( ( N  _C  (
k  -  1 ) )  +  ( N  _C  k ) )  x.  ( ( -u
1 ^ ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( F `  ( X  +  k
) ) ) ) )
16 peano2nn0 10934 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
171, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  NN0 )
1817nn0zd 11061 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
19 zsubcl 11003 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( N  + 
1 )  -  k
)  e.  ZZ )
2018, 2, 19syl2an 485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( N  +  1 )  -  k )  e.  ZZ )
21 m1expcl 12333 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  +  1 )  -  k )  e.  ZZ  ->  ( -u 1 ^ ( ( N  +  1 )  -  k ) )  e.  ZZ )
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( -u 1 ^ ( ( N  +  1 )  -  k ) )  e.  ZZ )
2322zcnd 11064 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( -u 1 ^ ( ( N  +  1 )  -  k ) )  e.  CC )
24 fwddifnp1.3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
2524adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  F : A --> CC )
26 fwddifnp1.5 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( X  +  k )  e.  A )
2725, 26ffvelrnd 6038 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( F `  ( X  +  k ) )  e.  CC )
2823, 27mulcld 9681 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( -u 1 ^ (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( F `
 ( X  +  k ) ) )  e.  CC )
2913, 8, 28adddird 9686 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  +  ( N  _C  k ) )  x.  ( (
-u 1 ^ (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( F `
 ( X  +  k ) ) ) )  =  ( ( ( N  _C  (
k  -  1 ) )  x.  ( (
-u 1 ^ (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( F `
 ( X  +  k ) ) ) )  +  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( -u
1 ^ ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( F `  ( X  +  k
) ) ) ) ) )
3015, 29eqtrd 2505 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( N  _C  k )  +  ( N  _C  ( k  -  1 ) ) )  x.  ( (
-u 1 ^ (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( F `
 ( X  +  k ) ) ) )  =  ( ( ( N  _C  (
k  -  1 ) )  x.  ( (
-u 1 ^ (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( F `
 ( X  +  k ) ) ) )  +  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( -u
1 ^ ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( F `  ( X  +  k
) ) ) ) ) )
311adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  N  e.  NN0 )
3231nn0cnd 10951 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  N  e.  CC )
332adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  k  e.  ZZ )
3433zcnd 11064 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  k  e.  CC )
35 1cnd 9677 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  1  e.  CC )
3632, 34, 35subsub3d 10035 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  -  ( k  -  1 ) )  =  ( ( N  +  1 )  -  k ) )
3736eqcomd 2477 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( N  +  1 )  -  k )  =  ( N  -  ( k  -  1 ) ) )
3837oveq2d 6324 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( -u 1 ^ ( ( N  +  1 )  -  k ) )  =  ( -u 1 ^ ( N  -  ( k  -  1 ) ) ) )
3938oveq1d 6323 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( -u 1 ^ (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( F `
 ( X  +  k ) ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( N  -  ( k  - 
1 ) ) )  x.  ( F `  ( X  +  k
) ) ) )
4039oveq2d 6324 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  (
k  -  1 ) )  x.  ( (
-u 1 ^ (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( F `
 ( X  +  k ) ) ) )  =  ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  ( ( -u
1 ^ ( N  -  ( k  - 
1 ) ) )  x.  ( F `  ( X  +  k
) ) ) ) )
4132, 35, 34addsubd 10026 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( N  +  1 )  -  k )  =  ( ( N  -  k )  +  1 ) )
4241oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( -u 1 ^ ( ( N  +  1 )  -  k ) )  =  ( -u 1 ^ ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )
43 neg1cn 10735 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u 1  e.  CC
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  -u 1  e.  CC )
45 neg1ne0 10737 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u 1  =/=  0
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  -u 1  =/=  0 )
471nn0zd 11061 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
48 zsubcl 11003 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( N  -  k
)  e.  ZZ )
4947, 2, 48syl2an 485 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  -  k )  e.  ZZ )
5044, 46, 49expp1zd 12463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( -u 1 ^ ( ( N  -  k )  +  1 ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( N  -  k ) )  x.  -u 1 ) )
5142, 50eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( -u 1 ^ ( ( N  +  1 )  -  k ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( N  -  k ) )  x.  -u 1 ) )
52 m1expcl 12333 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  -  k )  e.  ZZ  ->  ( -u 1 ^ ( N  -  k ) )  e.  ZZ )
5349, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( -u 1 ^ ( N  -  k ) )  e.  ZZ )
5453zcnd 11064 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( -u 1 ^ ( N  -  k ) )  e.  CC )
5554, 44mulcomd 9682 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( -u 1 ^ ( N  -  k )
)  x.  -u 1
)  =  ( -u
1  x.  ( -u
1 ^ ( N  -  k ) ) ) )
5654mulm1d 10091 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( -u 1  x.  ( -u
1 ^ ( N  -  k ) ) )  =  -u ( -u 1 ^ ( N  -  k ) ) )
5751, 55, 563eqtrd 2509 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( -u 1 ^ ( ( N  +  1 )  -  k ) )  =  -u ( -u 1 ^ ( N  -  k ) ) )
5857oveq1d 6323 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( -u 1 ^ (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( F `
 ( X  +  k ) ) )  =  ( -u ( -u 1 ^ ( N  -  k ) )  x.  ( F `  ( X  +  k
) ) ) )
5954, 27mulneg1d 10092 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( -u ( -u 1 ^ ( N  -  k
) )  x.  ( F `  ( X  +  k ) ) )  =  -u (
( -u 1 ^ ( N  -  k )
)  x.  ( F `
 ( X  +  k ) ) ) )
6058, 59eqtrd 2505 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( -u 1 ^ (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( F `
 ( X  +  k ) ) )  =  -u ( ( -u
1 ^ ( N  -  k ) )  x.  ( F `  ( X  +  k
) ) ) )
6160oveq2d 6324 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  k
)  x.  ( (
-u 1 ^ (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( F `
 ( X  +  k ) ) ) )  =  ( ( N  _C  k )  x.  -u ( ( -u
1 ^ ( N  -  k ) )  x.  ( F `  ( X  +  k
) ) ) ) )
6254, 27mulcld 9681 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( -u 1 ^ ( N  -  k )
)  x.  ( F `
 ( X  +  k ) ) )  e.  CC )
638, 62mulneg2d 10093 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  k
)  x.  -u (
( -u 1 ^ ( N  -  k )
)  x.  ( F `
 ( X  +  k ) ) ) )  =  -u (
( N  _C  k
)  x.  ( (
-u 1 ^ ( N  -  k )
)  x.  ( F `
 ( X  +  k ) ) ) ) )
6461, 63eqtrd 2505 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  k
)  x.  ( (
-u 1 ^ (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( F `
 ( X  +  k ) ) ) )  =  -u (
( N  _C  k
)  x.  ( (
-u 1 ^ ( N  -  k )
)  x.  ( F `
 ( X  +  k ) ) ) ) )
6540, 64oveq12d 6326 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( -u 1 ^ (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( F `
 ( X  +  k ) ) ) )  +  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( -u
1 ^ ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( F `  ( X  +  k
) ) ) ) )  =  ( ( ( N  _C  (
k  -  1 ) )  x.  ( (
-u 1 ^ ( N  -  ( k  -  1 ) ) )  x.  ( F `
 ( X  +  k ) ) ) )  +  -u (
( N  _C  k
)  x.  ( (
-u 1 ^ ( N  -  k )
)  x.  ( F `
 ( X  +  k ) ) ) ) ) )
66 zsubcl 11003 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( k  -  1 )  e.  ZZ )  ->  ( N  -  ( k  -  1 ) )  e.  ZZ )
6747, 10, 66syl2an 485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  -  ( k  -  1 ) )  e.  ZZ )
68 m1expcl 12333 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  -  ( k  -  1 ) )  e.  ZZ  ->  ( -u 1 ^ ( N  -  ( k  - 
1 ) ) )  e.  ZZ )
6967, 68syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( -u 1 ^ ( N  -  ( k  - 
1 ) ) )  e.  ZZ )
7069zcnd 11064 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( -u 1 ^ ( N  -  ( k  - 
1 ) ) )  e.  CC )
7170, 27mulcld 9681 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( -u 1 ^ ( N  -  ( k  -  1 ) ) )  x.  ( F `
 ( X  +  k ) ) )  e.  CC )
7213, 71mulcld 9681 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  (
k  -  1 ) )  x.  ( (
-u 1 ^ ( N  -  ( k  -  1 ) ) )  x.  ( F `
 ( X  +  k ) ) ) )  e.  CC )
738, 62mulcld 9681 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  k
)  x.  ( (
-u 1 ^ ( N  -  k )
)  x.  ( F `
 ( X  +  k ) ) ) )  e.  CC )
7472, 73negsubd 10011 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( -u 1 ^ ( N  -  ( k  -  1 ) ) )  x.  ( F `
 ( X  +  k ) ) ) )  +  -u (
( N  _C  k
)  x.  ( (
-u 1 ^ ( N  -  k )
)  x.  ( F `
 ( X  +  k ) ) ) ) )  =  ( ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( -u 1 ^ ( N  -  ( k  -  1 ) ) )  x.  ( F `
 ( X  +  k ) ) ) )  -  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( -u
1 ^ ( N  -  k ) )  x.  ( F `  ( X  +  k
) ) ) ) ) )
7530, 65, 743eqtrd 2509 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( N  _C  k )  +  ( N  _C  ( k  -  1 ) ) )  x.  ( (
-u 1 ^ (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( F `
 ( X  +  k ) ) ) )  =  ( ( ( N  _C  (
k  -  1 ) )  x.  ( (
-u 1 ^ ( N  -  ( k  -  1 ) ) )  x.  ( F `
 ( X  +  k ) ) ) )  -  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( -u
1 ^ ( N  -  k ) )  x.  ( F `  ( X  +  k
) ) ) ) ) )
765, 75eqtr3d 2507 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( N  + 
1 )  _C  k
)  x.  ( (
-u 1 ^ (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( F `
 ( X  +  k ) ) ) )  =  ( ( ( N  _C  (
k  -  1 ) )  x.  ( (
-u 1 ^ ( N  -  ( k  -  1 ) ) )  x.  ( F `
 ( X  +  k ) ) ) )  -  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( -u
1 ^ ( N  -  k ) )  x.  ( F `  ( X  +  k
) ) ) ) ) )
7776sumeq2dv 13846 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( ( N  +  1 )  _C  k )  x.  (
( -u 1 ^ (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( F `
 ( X  +  k ) ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  ( ( -u
1 ^ ( N  -  ( k  - 
1 ) ) )  x.  ( F `  ( X  +  k
) ) ) )  -  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( -u 1 ^ ( N  -  k ) )  x.  ( F `  ( X  +  k )
) ) ) ) )
78 fzfid 12224 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  e.  Fin )
7978, 72, 73fsumsub 13926 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  x.  ( ( -u 1 ^ ( N  -  ( k  -  1 ) ) )  x.  ( F `  ( X  +  k )
) ) )  -  ( ( N  _C  k )  x.  (
( -u 1 ^ ( N  -  k )
)  x.  ( F `
 ( X  +  k ) ) ) ) )  =  (
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( -u 1 ^ ( N  -  ( k  -  1 ) ) )  x.  ( F `
 ( X  +  k ) ) ) )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  ( ( -u 1 ^ ( N  -  k ) )  x.  ( F `  ( X  +  k )
) ) ) ) )
80 nn0uz 11217 . . . . . . . 8  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
8117, 80syl6eleq 2559 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
82 oveq1 6315 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  0  ->  (
k  -  1 )  =  ( 0  -  1 ) )
8382oveq2d 6324 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  0  ->  ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  =  ( N  _C  (
0  -  1 ) ) )
8482oveq2d 6324 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  0  ->  ( N  -  ( k  -  1 ) )  =  ( N  -  ( 0  -  1 ) ) )
8584oveq2d 6324 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  0  ->  ( -u 1 ^ ( N  -  ( k  - 
1 ) ) )  =  ( -u 1 ^ ( N  -  ( 0  -  1 ) ) ) )
86 oveq2 6316 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  0  ->  ( X  +  k )  =  ( X  + 
0 ) )
8786fveq2d 5883 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  0  ->  ( F `  ( X  +  k ) )  =  ( F `  ( X  +  0
) ) )
8885, 87oveq12d 6326 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  0  ->  (
( -u 1 ^ ( N  -  ( k  -  1 ) ) )  x.  ( F `
 ( X  +  k ) ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( N  -  ( 0  -  1 ) ) )  x.  ( F `  ( X  +  0
) ) ) )
8983, 88oveq12d 6326 . . . . . . 7  |-  ( k  =  0  ->  (
( N  _C  (
k  -  1 ) )  x.  ( (
-u 1 ^ ( N  -  ( k  -  1 ) ) )  x.  ( F `
 ( X  +  k ) ) ) )  =  ( ( N  _C  ( 0  -  1 ) )  x.  ( ( -u
1 ^ ( N  -  ( 0  -  1 ) ) )  x.  ( F `  ( X  +  0
) ) ) ) )
9081, 72, 89fsum1p 13891 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( -u 1 ^ ( N  -  ( k  -  1 ) ) )  x.  ( F `
 ( X  +  k ) ) ) )  =  ( ( ( N  _C  (
0  -  1 ) )  x.  ( (
-u 1 ^ ( N  -  ( 0  -  1 ) ) )  x.  ( F `
 ( X  + 
0 ) ) ) )  +  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  x.  ( ( -u 1 ^ ( N  -  ( k  -  1 ) ) )  x.  ( F `  ( X  +  k )
) ) ) ) )
91 df-neg 9883 . . . . . . . . . . 11  |-  -u 1  =  ( 0  -  1 )
9291oveq2i 6319 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  _C  -u 1 )  =  ( N  _C  (
0  -  1 ) )
93 bcneg1 30443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  _C  -u 1 )  =  0 )
941, 93syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N  _C  -u 1
)  =  0 )
9592, 94syl5eqr 2519 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N  _C  (
0  -  1 ) )  =  0 )
9695oveq1d 6323 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( N  _C  ( 0  -  1 ) )  x.  (
( -u 1 ^ ( N  -  ( 0  -  1 ) ) )  x.  ( F `
 ( X  + 
0 ) ) ) )  =  ( 0  x.  ( ( -u
1 ^ ( N  -  ( 0  -  1 ) ) )  x.  ( F `  ( X  +  0
) ) ) ) )
97 0z 10972 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  ZZ
98 1z 10991 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  ZZ
99 zsubcl 11003 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( 0  -  1 )  e.  ZZ )
10097, 98, 99mp2an 686 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0  -  1 )  e.  ZZ
101100a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 0  -  1 )  e.  ZZ )
10247, 101zsubcld 11068 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N  -  (
0  -  1 ) )  e.  ZZ )
103 m1expcl 12333 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  -  ( 0  -  1 ) )  e.  ZZ  ->  ( -u 1 ^ ( N  -  ( 0  -  1 ) ) )  e.  ZZ )
104102, 103syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( -u 1 ^ ( N  -  (
0  -  1 ) ) )  e.  ZZ )
105104zcnd 11064 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( -u 1 ^ ( N  -  (
0  -  1 ) ) )  e.  CC )
106 eluzfz1 11832 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  0  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )
10781, 106syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  e.  ( 0 ... ( N  + 
1 ) ) )
10826ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( X  +  k )  e.  A )
10986eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  0  ->  (
( X  +  k )  e.  A  <->  ( X  +  0 )  e.  A ) )
110109rspcva 3134 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  ( 0 ... ( N  + 
1 ) )  /\  A. k  e.  ( 0 ... ( N  + 
1 ) ) ( X  +  k )  e.  A )  -> 
( X  +  0 )  e.  A )
111107, 108, 110syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( X  +  0 )  e.  A )
11224, 111ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F `  ( X  +  0 ) )  e.  CC )
113105, 112mulcld 9681 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( -u 1 ^ ( N  -  ( 0  -  1 ) ) )  x.  ( F `  ( X  +  0 ) ) )  e.  CC )
114113mul02d 9849 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 0  x.  (
( -u 1 ^ ( N  -  ( 0  -  1 ) ) )  x.  ( F `
 ( X  + 
0 ) ) ) )  =  0 )
11596, 114eqtrd 2505 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( N  _C  ( 0  -  1 ) )  x.  (
( -u 1 ^ ( N  -  ( 0  -  1 ) ) )  x.  ( F `
 ( X  + 
0 ) ) ) )  =  0 )
116115oveq1d 6323 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  _C  ( 0  -  1 ) )  x.  ( ( -u 1 ^ ( N  -  ( 0  -  1 ) ) )  x.  ( F `  ( X  +  0 ) ) ) )  + 
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( -u 1 ^ ( N  -  ( k  -  1 ) ) )  x.  ( F `
 ( X  +  k ) ) ) ) )  =  ( 0  +  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  x.  ( ( -u 1 ^ ( N  -  ( k  -  1 ) ) )  x.  ( F `  ( X  +  k )
) ) ) ) )
117 fzfid 12224 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) )  e.  Fin )
118 olc 391 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) )  ->  (
k  =  0  \/  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  + 
1 ) ) ) )
119 elfzp12 11899 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  <->  ( k  =  0  \/  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ) ) )
12081, 119syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  <-> 
( k  =  0  \/  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ) ) )
121120biimpar 493 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( k  =  0  \/  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ) )  -> 
k  e.  ( 0 ... ( N  + 
1 ) ) )
122118, 121sylan2 482 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )
123122, 72syldan 478 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  (
k  -  1 ) )  x.  ( (
-u 1 ^ ( N  -  ( k  -  1 ) ) )  x.  ( F `
 ( X  +  k ) ) ) )  e.  CC )
124117, 123fsumcl 13876 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( -u 1 ^ ( N  -  ( k  -  1 ) ) )  x.  ( F `
 ( X  +  k ) ) ) )  e.  CC )
125124addid2d 9852 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0  +  sum_ k  e.  ( (
0  +  1 ) ... ( N  + 
1 ) ) ( ( N  _C  (
k  -  1 ) )  x.  ( (
-u 1 ^ ( N  -  ( k  -  1 ) ) )  x.  ( F `
 ( X  +  k ) ) ) ) )  =  sum_ k  e.  ( (
0  +  1 ) ... ( N  + 
1 ) ) ( ( N  _C  (
k  -  1 ) )  x.  ( (
-u 1 ^ ( N  -  ( k  -  1 ) ) )  x.  ( F `
 ( X  +  k ) ) ) ) )
12690, 116, 1253eqtrd 2509 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( -u 1 ^ ( N  -  ( k  -  1 ) ) )  x.  ( F `
 ( X  +  k ) ) ) )  =  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  x.  ( ( -u 1 ^ ( N  -  ( k  -  1 ) ) )  x.  ( F `  ( X  +  k )
) ) ) )
127 fwddifnp1.4 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
128127adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  X  e.  CC )
129 1cnd 9677 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  1  e.  CC )
130 elfzelz 11826 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) )  ->  k  e.  ZZ )
131130zcnd 11064 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) )  ->  k  e.  CC )
132131adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  k  e.  CC )
133128, 129, 132ppncand 10045 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( X  +  1 )  +  ( k  -  1 ) )  =  ( X  +  k ) )
134133fveq2d 5883 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( F `  ( ( X  +  1 )  +  ( k  - 
1 ) ) )  =  ( F `  ( X  +  k
) ) )
135134oveq2d 6324 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( -u 1 ^ ( N  -  ( k  -  1 ) ) )  x.  ( F `
 ( ( X  +  1 )  +  ( k  -  1 ) ) ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( N  -  ( k  - 
1 ) ) )  x.  ( F `  ( X  +  k
) ) ) )
136135oveq2d 6324 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  (
k  -  1 ) )  x.  ( (
-u 1 ^ ( N  -  ( k  -  1 ) ) )  x.  ( F `
 ( ( X  +  1 )  +  ( k  -  1 ) ) ) ) )  =  ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  ( ( -u
1 ^ ( N  -  ( k  - 
1 ) ) )  x.  ( F `  ( X  +  k
) ) ) ) )
137136sumeq2dv 13846 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( -u 1 ^ ( N  -  ( k  -  1 ) ) )  x.  ( F `
 ( ( X  +  1 )  +  ( k  -  1 ) ) ) ) )  =  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  x.  ( ( -u 1 ^ ( N  -  ( k  -  1 ) ) )  x.  ( F `  ( X  +  k )
) ) ) )
138 oveq2 6316 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  k  ->  ( N  _C  j )  =  ( N  _C  k
) )
139 oveq2 6316 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  k  ->  ( N  -  j )  =  ( N  -  k ) )
140139oveq2d 6324 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  k  ->  ( -u 1 ^ ( N  -  j ) )  =  ( -u 1 ^ ( N  -  k ) ) )
141 oveq2 6316 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  k  ->  (
( X  +  1 )  +  j )  =  ( ( X  +  1 )  +  k ) )
142141fveq2d 5883 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  k  ->  ( F `  ( ( X  +  1 )  +  j ) )  =  ( F `  ( ( X  + 
1 )  +  k ) ) )
143140, 142oveq12d 6326 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  k  ->  (
( -u 1 ^ ( N  -  j )
)  x.  ( F `
 ( ( X  +  1 )  +  j ) ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( N  -  k ) )  x.  ( F `  ( ( X  + 
1 )  +  k ) ) ) )
144138, 143oveq12d 6326 . . . . . . 7  |-  ( j  =  k  ->  (
( N  _C  j
)  x.  ( (
-u 1 ^ ( N  -  j )
)  x.  ( F `
 ( ( X  +  1 )  +  j ) ) ) )  =  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( -u
1 ^ ( N  -  k ) )  x.  ( F `  ( ( X  + 
1 )  +  k ) ) ) ) )
145144cbvsumv 13839 . . . . . 6  |-  sum_ j  e.  ( 0 ... N
) ( ( N  _C  j )  x.  ( ( -u 1 ^ ( N  -  j ) )  x.  ( F `  (
( X  +  1 )  +  j ) ) ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( -u 1 ^ ( N  -  k )
)  x.  ( F `
 ( ( X  +  1 )  +  k ) ) ) )
146 1zzd 10992 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
147 0zd 10973 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
148 elfzelz 11826 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( 0 ... N )  ->  j  e.  ZZ )
149 bccl 12545 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( N  _C  j
)  e.  NN0 )
150149nn0cnd 10951 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( N  _C  j
)  e.  CC )
1511, 148, 150syl2an 485 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( N  _C  j )  e.  CC )
152 zsubcl 11003 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( N  -  j
)  e.  ZZ )
15347, 148, 152syl2an 485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( N  -  j )  e.  ZZ )
154 m1expcl 12333 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  -  j )  e.  ZZ  ->  ( -u 1 ^ ( N  -  j ) )  e.  ZZ )
155153, 154syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( -u 1 ^ ( N  -  j ) )  e.  ZZ )
156155zcnd 11064 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( -u 1 ^ ( N  -  j ) )  e.  CC )
15724adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  ->  F : A --> CC )
158127adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  ->  X  e.  CC )
159 1cnd 9677 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  ->  1  e.  CC )
160148zcnd 11064 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ( 0 ... N )  ->  j  e.  CC )
161160adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  ->  j  e.  CC )
162158, 159, 161addassd 9683 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( X  +  1 )  +  j )  =  ( X  +  ( 1  +  j ) ) )
163159, 161addcomd 9853 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
1  +  j )  =  ( j  +  1 ) )
164163oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( X  +  ( 1  +  j ) )  =  ( X  +  ( j  +  1 ) ) )
165162, 164eqtrd 2505 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( X  +  1 )  +  j )  =  ( X  +  ( j  +  1 ) ) )
166 fzp1elp1 11875 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ( 0 ... N )  ->  (
j  +  1 )  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )
167 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  ( X  +  k )  =  ( X  +  ( j  +  1 ) ) )
168167eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  (
( X  +  k )  e.  A  <->  ( X  +  ( j  +  1 ) )  e.  A ) )
169168rspccv 3133 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. k  e.  ( 0 ... ( N  + 
1 ) ) ( X  +  k )  e.  A  ->  (
( j  +  1 )  e.  ( 0 ... ( N  + 
1 ) )  -> 
( X  +  ( j  +  1 ) )  e.  A ) )
170108, 169syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( j  +  1 )  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  ->  ( X  +  ( j  +  1 ) )  e.  A
) )
171170imp 436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( j  +  1 )  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( X  +  ( j  +  1 ) )  e.  A )
172166, 171sylan2 482 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( X  +  ( j  +  1 ) )  e.  A )
173165, 172eqeltrd 2549 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( X  +  1 )  +  j )  e.  A )
174157, 173ffvelrnd 6038 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( F `  ( ( X  +  1 )  +  j ) )  e.  CC )
175156, 174mulcld 9681 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( -u 1 ^ ( N  -  j )
)  x.  ( F `
 ( ( X  +  1 )  +  j ) ) )  e.  CC )
176151, 175mulcld 9681 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( N  _C  j
)  x.  ( (
-u 1 ^ ( N  -  j )
)  x.  ( F `
 ( ( X  +  1 )  +  j ) ) ) )  e.  CC )
177 oveq2 6316 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  ( k  - 
1 )  ->  ( N  _C  j )  =  ( N  _C  (
k  -  1 ) ) )
178 oveq2 6316 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  ( k  - 
1 )  ->  ( N  -  j )  =  ( N  -  ( k  -  1 ) ) )
179178oveq2d 6324 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  ( k  - 
1 )  ->  ( -u 1 ^ ( N  -  j ) )  =  ( -u 1 ^ ( N  -  ( k  -  1 ) ) ) )
180 oveq2 6316 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  ( k  - 
1 )  ->  (
( X  +  1 )  +  j )  =  ( ( X  +  1 )  +  ( k  -  1 ) ) )
181180fveq2d 5883 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  ( k  - 
1 )  ->  ( F `  ( ( X  +  1 )  +  j ) )  =  ( F `  ( ( X  + 
1 )  +  ( k  -  1 ) ) ) )
182179, 181oveq12d 6326 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  ( k  - 
1 )  ->  (
( -u 1 ^ ( N  -  j )
)  x.  ( F `
 ( ( X  +  1 )  +  j ) ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( N  -  ( k  - 
1 ) ) )  x.  ( F `  ( ( X  + 
1 )  +  ( k  -  1 ) ) ) ) )
183177, 182oveq12d 6326 . . . . . . 7  |-  ( j  =  ( k  - 
1 )  ->  (
( N  _C  j
)  x.  ( (
-u 1 ^ ( N  -  j )
)  x.  ( F `
 ( ( X  +  1 )  +  j ) ) ) )  =  ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  ( ( -u
1 ^ ( N  -  ( k  - 
1 ) ) )  x.  ( F `  ( ( X  + 
1 )  +  ( k  -  1 ) ) ) ) ) )
184146, 147, 47, 176, 183fsumshft 13918 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  j )  x.  (
( -u 1 ^ ( N  -  j )
)  x.  ( F `
 ( ( X  +  1 )  +  j ) ) ) )  =  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  x.  ( ( -u 1 ^ ( N  -  ( k  -  1 ) ) )  x.  ( F `  (
( X  +  1 )  +  ( k  -  1 ) ) ) ) ) )
185145, 184syl5reqr 2520 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( -u 1 ^ ( N  -  ( k  -  1 ) ) )  x.  ( F `
 ( ( X  +  1 )  +  ( k  -  1 ) ) ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( N  _C  k )  x.  ( ( -u 1 ^ ( N  -  k ) )  x.  ( F `  (
( X  +  1 )  +  k ) ) ) ) )
186126, 137, 1853eqtr2d 2511 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( -u 1 ^ ( N  -  ( k  -  1 ) ) )  x.  ( F `
 ( X  +  k ) ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( N  _C  k )  x.  ( ( -u 1 ^ ( N  -  k ) )  x.  ( F `  (
( X  +  1 )  +  k ) ) ) ) )
1871, 80syl6eleq 2559 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
188 oveq2 6316 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( N  + 
1 )  ->  ( N  _C  k )  =  ( N  _C  ( N  +  1 ) ) )
189 oveq2 6316 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( N  + 
1 )  ->  ( N  -  k )  =  ( N  -  ( N  +  1
) ) )
190189oveq2d 6324 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( N  + 
1 )  ->  ( -u 1 ^ ( N  -  k ) )  =  ( -u 1 ^ ( N  -  ( N  +  1
) ) ) )
191 oveq2 6316 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( N  + 
1 )  ->  ( X  +  k )  =  ( X  +  ( N  +  1
) ) )
192191fveq2d 5883 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( N  + 
1 )  ->  ( F `  ( X  +  k ) )  =  ( F `  ( X  +  ( N  +  1 ) ) ) )
193190, 192oveq12d 6326 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( -u 1 ^ ( N  -  k )
)  x.  ( F `
 ( X  +  k ) ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( N  -  ( N  + 
1 ) ) )  x.  ( F `  ( X  +  ( N  +  1 ) ) ) ) )
194188, 193oveq12d 6326 . . . . . 6  |-  ( k  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( N  _C  k
)  x.  ( (
-u 1 ^ ( N  -  k )
)  x.  ( F `
 ( X  +  k ) ) ) )  =  ( ( N  _C  ( N  +  1 ) )  x.  ( ( -u
1 ^ ( N  -  ( N  + 
1 ) ) )  x.  ( F `  ( X  +  ( N  +  1 ) ) ) ) ) )
195187, 73, 194fsump1 13894 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( -u 1 ^ ( N  -  k )
)  x.  ( F `
 ( X  +  k ) ) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( (
-u 1 ^ ( N  -  k )
)  x.  ( F `
 ( X  +  k ) ) ) )  +  ( ( N  _C  ( N  +  1 ) )  x.  ( ( -u
1 ^ ( N  -  ( N  + 
1 ) ) )  x.  ( F `  ( X  +  ( N  +  1 ) ) ) ) ) ) )
196 bcval 12527 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( N  +  1
)  e.  ZZ )  ->  ( N  _C  ( N  +  1
) )  =  if ( ( N  + 
1 )  e.  ( 0 ... N ) ,  ( ( ! `
 N )  / 
( ( ! `  ( N  -  ( N  +  1 ) ) )  x.  ( ! `  ( N  +  1 ) ) ) ) ,  0 ) )
1971, 18, 196syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N  _C  ( N  +  1 ) )  =  if ( ( N  +  1 )  e.  ( 0 ... N ) ,  ( ( ! `  N )  /  (
( ! `  ( N  -  ( N  +  1 ) ) )  x.  ( ! `
 ( N  + 
1 ) ) ) ) ,  0 ) )
198 fzp1nel 11904 . . . . . . . . . 10  |-  -.  ( N  +  1 )  e.  ( 0 ... N )
199198iffalsei 3882 . . . . . . . . 9  |-  if ( ( N  +  1 )  e.  ( 0 ... N ) ,  ( ( ! `  N )  /  (
( ! `  ( N  -  ( N  +  1 ) ) )  x.  ( ! `
 ( N  + 
1 ) ) ) ) ,  0 )  =  0
200197, 199syl6eq 2521 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N  _C  ( N  +  1 ) )  =  0 )
201200oveq1d 6323 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( N  _C  ( N  +  1
) )  x.  (
( -u 1 ^ ( N  -  ( N  +  1 ) ) )  x.  ( F `
 ( X  +  ( N  +  1
) ) ) ) )  =  ( 0  x.  ( ( -u
1 ^ ( N  -  ( N  + 
1 ) ) )  x.  ( F `  ( X  +  ( N  +  1 ) ) ) ) ) )
20247, 18zsubcld 11068 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N  -  ( N  +  1 ) )  e.  ZZ )
203 m1expcl 12333 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  -  ( N  +  1 ) )  e.  ZZ  ->  ( -u 1 ^ ( N  -  ( N  + 
1 ) ) )  e.  ZZ )
204203zcnd 11064 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  -  ( N  +  1 ) )  e.  ZZ  ->  ( -u 1 ^ ( N  -  ( N  + 
1 ) ) )  e.  CC )
205202, 204syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( -u 1 ^ ( N  -  ( N  +  1 ) ) )  e.  CC )
206 eluzfz2 11833 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( N  +  1 )  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )
20781, 206syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  ( 0 ... ( N  + 
1 ) ) )
208191eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( X  +  k )  e.  A  <->  ( X  +  ( N  + 
1 ) )  e.  A ) )
209208rspcv 3132 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  +  1 )  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  ->  ( A. k  e.  (
0 ... ( N  + 
1 ) ) ( X  +  k )  e.  A  ->  ( X  +  ( N  +  1 ) )  e.  A ) )
210207, 108, 209sylc 61 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( X  +  ( N  +  1 ) )  e.  A )
21124, 210ffvelrnd 6038 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F `  ( X  +  ( N  +  1 ) ) )  e.  CC )
212205, 211mulcld 9681 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( -u 1 ^ ( N  -  ( N  +  1
) ) )  x.  ( F `  ( X  +  ( N  +  1 ) ) ) )  e.  CC )
213212mul02d 9849 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0  x.  (
( -u 1 ^ ( N  -  ( N  +  1 ) ) )  x.  ( F `
 ( X  +  ( N  +  1
) ) ) ) )  =  0 )
214201, 213eqtrd 2505 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N  _C  ( N  +  1
) )  x.  (
( -u 1 ^ ( N  -  ( N  +  1 ) ) )  x.  ( F `
 ( X  +  ( N  +  1
) ) ) ) )  =  0 )
215214oveq2d 6324 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( -u 1 ^ ( N  -  k )
)  x.  ( F `
 ( X  +  k ) ) ) )  +  ( ( N  _C  ( N  +  1 ) )  x.  ( ( -u
1 ^ ( N  -  ( N  + 
1 ) ) )  x.  ( F `  ( X  +  ( N  +  1 ) ) ) ) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( (
-u 1 ^ ( N  -  k )
)  x.  ( F `
 ( X  +  k ) ) ) )  +  0 ) )
216 fzfid 12224 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0 ... N
)  e.  Fin )
217 fzelp1 11874 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )
218217, 73sylan2 482 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( N  _C  k
)  x.  ( (
-u 1 ^ ( N  -  k )
)  x.  ( F `
 ( X  +  k ) ) ) )  e.  CC )
219216, 218fsumcl 13876 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( -u 1 ^ ( N  -  k )
)  x.  ( F `
 ( X  +  k ) ) ) )  e.  CC )
220219addid1d 9851 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( -u 1 ^ ( N  -  k )
)  x.  ( F `
 ( X  +  k ) ) ) )  +  0 )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( -u 1 ^ ( N  -  k )
)  x.  ( F `
 ( X  +  k ) ) ) ) )
221195, 215, 2203eqtrd 2509 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( -u 1 ^ ( N  -  k )
)  x.  ( F `
 ( X  +  k ) ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( N  _C  k )  x.  ( ( -u 1 ^ ( N  -  k ) )  x.  ( F `  ( X  +  k )
) ) ) )
222186, 221oveq12d 6326 . . 3  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( -u 1 ^ ( N  -  ( k  -  1 ) ) )  x.  ( F `
 ( X  +  k ) ) ) )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  ( ( -u 1 ^ ( N  -  k ) )  x.  ( F `  ( X  +  k )
) ) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( N  _C  k )  x.  ( ( -u 1 ^ ( N  -  k ) )  x.  ( F `  (
( X  +  1 )  +  k ) ) ) )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( (
-u 1 ^ ( N  -  k )
)  x.  ( F `
 ( X  +  k ) ) ) ) ) )
22377, 79, 2223eqtrd 2509 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( ( N  +  1 )  _C  k )  x.  (
( -u 1 ^ (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( F `
 ( X  +  k ) ) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( (
-u 1 ^ ( N  -  k )
)  x.  ( F `
 ( ( X  +  1 )  +  k ) ) ) )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( N  _C  k )  x.  ( ( -u 1 ^ ( N  -  k ) )  x.  ( F `  ( X  +  k )
) ) ) ) )
224 fwddifnp1.2 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
22517, 224, 24, 127, 26fwddifnval 31001 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  +  1 )  _/_\^nn  F ) `
 X )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( ( N  +  1 )  _C  k )  x.  (
( -u 1 ^ (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( F `
 ( X  +  k ) ) ) ) )
226 peano2cn 9823 . . . . 5  |-  ( X  e.  CC  ->  ( X  +  1 )  e.  CC )
227127, 226syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  +  1 )  e.  CC )
228127adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  X  e.  CC )
229 1cnd 9677 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  1  e.  CC )
230 elfzelz 11826 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  k  e.  ZZ )
231230zcnd 11064 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  k  e.  CC )
232231adantl 473 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  k  e.  CC )
233228, 229, 232addassd 9683 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( X  +  1 )  +  k )  =  ( X  +  ( 1  +  k ) ) )
234229, 232addcomd 9853 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
1  +  k )  =  ( k  +  1 ) )
235234oveq2d 6324 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( X  +  ( 1  +  k ) )  =  ( X  +  ( k  +  1 ) ) )
236233, 235eqtrd 2505 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( X  +  1 )  +  k )  =  ( X  +  ( k  +  1 ) ) )
237 fzp1elp1 11875 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  (
k  +  1 )  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )
238 oveq1 6315 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  k  ->  (
j  +  1 )  =  ( k  +  1 ) )
239238eleq1d 2533 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  k  ->  (
( j  +  1 )  e.  ( 0 ... ( N  + 
1 ) )  <->  ( k  +  1 )  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ) )
240239anbi2d 718 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  k  ->  (
( ph  /\  (
j  +  1 )  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  <->  ( ph  /\  ( k  +  1 )  e.  ( 0 ... ( N  + 
1 ) ) ) ) )
241238oveq2d 6324 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  k  ->  ( X  +  ( j  +  1 ) )  =  ( X  +  ( k  +  1 ) ) )
242241eleq1d 2533 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  k  ->  (
( X  +  ( j  +  1 ) )  e.  A  <->  ( X  +  ( k  +  1 ) )  e.  A ) )
243240, 242imbi12d 327 . . . . . . 7  |-  ( j  =  k  ->  (
( ( ph  /\  ( j  +  1 )  e.  ( 0 ... ( N  + 
1 ) ) )  ->  ( X  +  ( j  +  1 ) )  e.  A
)  <->  ( ( ph  /\  ( k  +  1 )  e.  ( 0 ... ( N  + 
1 ) ) )  ->  ( X  +  ( k  +  1 ) )  e.  A
) ) )
244243, 171chvarv 2120 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( k  +  1 )  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( X  +  ( k  +  1 ) )  e.  A )
245237, 244sylan2 482 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( X  +  ( k  +  1 ) )  e.  A )
246236, 245eqeltrd 2549 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( X  +  1 )  +  k )  e.  A )
2471, 224, 24, 227, 246fwddifnval 31001 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( N  _/_\^nn  F ) `  ( X  +  1 ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( N  _C  k )  x.  ( ( -u 1 ^ ( N  -  k ) )  x.  ( F `  (
( X  +  1 )  +  k ) ) ) ) )
248217, 26sylan2 482 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( X  +  k )  e.  A )
2491, 224, 24, 127, 248fwddifnval 31001 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( N  _/_\^nn  F ) `  X
)  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( N  _C  k )  x.  ( ( -u 1 ^ ( N  -  k ) )  x.  ( F `  ( X  +  k )
) ) ) )
250247, 249oveq12d 6326 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  _/_\^nn  F ) `  ( X  +  1 ) )  -  ( ( N  _/_\^nn  F ) `  X ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( (
-u 1 ^ ( N  -  k )
)  x.  ( F `
 ( ( X  +  1 )  +  k ) ) ) )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( N  _C  k )  x.  ( ( -u 1 ^ ( N  -  k ) )  x.  ( F `  ( X  +  k )
) ) ) ) )
251223, 225, 2503eqtr4d 2515 1  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  +  1 )  _/_\^nn  F ) `
 X )  =  ( ( ( N  _/_\^nn  F ) `  ( X  +  1 ) )  -  ( ( N  _/_\^nn  F ) `  X ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 375    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756    C_ wss 3390   ifcif 3872   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    x. cmul 9562    - cmin 9880   -ucneg 9881    / cdiv 10291   NN0cn0 10893   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   ...cfz 11810   ^cexp 12310   !cfa 12497    _C cbc 12525   sum_csu 13829    _/_\^nn cfwddifn 30998
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-fwddifn 30999
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