MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fvunsn Structured version   Unicode version

Theorem fvunsn 5922
Description: Remove an ordered pair not participating in a function value. (Contributed by NM, 1-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 28-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
fvunsn  |-  ( B  =/=  D  ->  (
( A  u.  { <. B ,  C >. } ) `  D )  =  ( A `  D ) )

Proof of Theorem fvunsn
StepHypRef Expression
1 resundir 5137 . . . 4  |-  ( ( A  u.  { <. B ,  C >. } )  |`  { D } )  =  ( ( A  |`  { D } )  u.  ( { <. B ,  C >. }  |`  { D } ) )
2 elsni 3914 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  { D }  ->  B  =  D )
32necon3ai 2663 . . . . . . 7  |-  ( B  =/=  D  ->  -.  B  e.  { D } )
4 ressnop0 5901 . . . . . . 7  |-  ( -.  B  e.  { D }  ->  ( { <. B ,  C >. }  |`  { D } )  =  (/) )
53, 4syl 16 . . . . . 6  |-  ( B  =/=  D  ->  ( { <. B ,  C >. }  |`  { D } )  =  (/) )
65uneq2d 3522 . . . . 5  |-  ( B  =/=  D  ->  (
( A  |`  { D } )  u.  ( { <. B ,  C >. }  |`  { D } ) )  =  ( ( A  |`  { D } )  u.  (/) ) )
7 un0 3674 . . . . 5  |-  ( ( A  |`  { D } )  u.  (/) )  =  ( A  |`  { D } )
86, 7syl6eq 2491 . . . 4  |-  ( B  =/=  D  ->  (
( A  |`  { D } )  u.  ( { <. B ,  C >. }  |`  { D } ) )  =  ( A  |`  { D } ) )
91, 8syl5eq 2487 . . 3  |-  ( B  =/=  D  ->  (
( A  u.  { <. B ,  C >. } )  |`  { D } )  =  ( A  |`  { D } ) )
109fveq1d 5705 . 2  |-  ( B  =/=  D  ->  (
( ( A  u.  {
<. B ,  C >. } )  |`  { D } ) `  D
)  =  ( ( A  |`  { D } ) `  D
) )
11 snidg 3915 . . . 4  |-  ( D  e.  _V  ->  D  e.  { D } )
12 fvres 5716 . . . 4  |-  ( D  e.  { D }  ->  ( ( ( A  u.  { <. B ,  C >. } )  |`  { D } ) `  D )  =  ( ( A  u.  { <. B ,  C >. } ) `  D ) )
1311, 12syl 16 . . 3  |-  ( D  e.  _V  ->  (
( ( A  u.  {
<. B ,  C >. } )  |`  { D } ) `  D
)  =  ( ( A  u.  { <. B ,  C >. } ) `
 D ) )
14 fvprc 5697 . . . 4  |-  ( -.  D  e.  _V  ->  ( ( ( A  u.  {
<. B ,  C >. } )  |`  { D } ) `  D
)  =  (/) )
15 fvprc 5697 . . . 4  |-  ( -.  D  e.  _V  ->  ( ( A  u.  { <. B ,  C >. } ) `  D )  =  (/) )
1614, 15eqtr4d 2478 . . 3  |-  ( -.  D  e.  _V  ->  ( ( ( A  u.  {
<. B ,  C >. } )  |`  { D } ) `  D
)  =  ( ( A  u.  { <. B ,  C >. } ) `
 D ) )
1713, 16pm2.61i 164 . 2  |-  ( ( ( A  u.  { <. B ,  C >. } )  |`  { D } ) `  D
)  =  ( ( A  u.  { <. B ,  C >. } ) `
 D )
18 fvres 5716 . . . 4  |-  ( D  e.  { D }  ->  ( ( A  |`  { D } ) `  D )  =  ( A `  D ) )
1911, 18syl 16 . . 3  |-  ( D  e.  _V  ->  (
( A  |`  { D } ) `  D
)  =  ( A `
 D ) )
20 fvprc 5697 . . . 4  |-  ( -.  D  e.  _V  ->  ( ( A  |`  { D } ) `  D
)  =  (/) )
21 fvprc 5697 . . . 4  |-  ( -.  D  e.  _V  ->  ( A `  D )  =  (/) )
2220, 21eqtr4d 2478 . . 3  |-  ( -.  D  e.  _V  ->  ( ( A  |`  { D } ) `  D
)  =  ( A `
 D ) )
2319, 22pm2.61i 164 . 2  |-  ( ( A  |`  { D } ) `  D
)  =  ( A `
 D )
2410, 17, 233eqtr3g 2498 1  |-  ( B  =/=  D  ->  (
( A  u.  { <. B ,  C >. } ) `  D )  =  ( A `  D ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2618   _Vcvv 2984    u. cun 3338   (/)c0 3649   {csn 3889   <.cop 3895    |` cres 4854   ` cfv 5430
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-ral 2732  df-rex 2733  df-rab 2736  df-v 2986  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-nul 3650  df-if 3804  df-sn 3890  df-pr 3892  df-op 3896  df-uni 4104  df-br 4305  df-opab 4363  df-xp 4858  df-res 4864  df-iota 5393  df-fv 5438
This theorem is referenced by:  fvpr1  5933  fvpr1g  5935  fvpr2g  5936  fvtp1  5937  fvtp1g  5940  ac6sfi  7568  cats1un  12382  ruclem6  13529  ruclem7  13530  eupap1  23609  fnchoice  29763
  Copyright terms: Public domain W3C validator