Theorem fvtp3 4763

Description: The third value of a function with a domain of three elements.

Hypotheses

Ref	Expression
fvtp1.1	|- A e. _V
fvtp1.2	|- B e. _V
fvtp1.3	|- C e. _V
fvtp1.4	|- D e. _V
fvtp1.5	|- E e. _V
fvtp1.6	|- F e. _V

Assertion

Ref	Expression
fvtp3	|- ((A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C) -> ({<.A, D>., <.B, E>., <.C, F>.}` C) = F)

Proof of Theorem fvtp3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvtp1.1	. . 3 |- A e. _V
2		fvtp1.2	. . 3 |- B e. _V
3		fvtp1.3	. . 3 |- C e. _V
4		fvtp1.4	. . 3 |- D e. _V
5		fvtp1.5	. . 3 |- E e. _V
6		fvtp1.6	. . 3 |- F e. _V
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	funtp 4468	. 2 |- ((A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C) -> Fun {<.A, D>., <.B, E>., <.C, F>.})
8		opex 3527	. . . 4 |- <.C, F>. e. _V
9	8	tpid3 3116	. . 3 |- <.C, F>. e. {<.A, D>., <.B, E>., <.C, F>.}
10	6	funopfv 4710	. . 3 |- (Fun {<.A, D>., <.B, E>., <.C, F>.} -> (<.C, F>. e. {<.A, D>., <.B, E>., <.C, F>.} -> ({<.A, D>., <.B, E>., <.C, F>.}` C) = F))
11	9, 10	mpi 55	. 2 |- (Fun {<.A, D>., <.B, E>., <.C, F>.} -> ({<.A, D>., <.B, E>., <.C, F>.}` C) = F)
12	7, 11	syl 12	1 |- ((A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C) -> ({<.A, D>., <.B, E>., <.C, F>.}` C) = F)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017  _Vcvv 2292  <.cop 3046  {ctp 3051  Fun wfun 3992  ` cfv 3998

This theorem is referenced by:  stb3xpl 16743

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fv 4014

Copyright terms: Public domain