MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fvtp1g Structured version   Unicode version

Theorem fvtp1g 6057
Description: The value of a function with a domain of (at most) three elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
fvtp1g  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  D  e.  W
)  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/= 
C ) )  -> 
( { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. ,  <. C ,  F >. } `  A
)  =  D )

Proof of Theorem fvtp1g
StepHypRef Expression
1 df-tp 3976 . . 3  |-  { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. ,  <. C ,  F >. }  =  ( { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. }  u.  { <. C ,  F >. } )
21fveq1i 5806 . 2  |-  ( {
<. A ,  D >. , 
<. B ,  E >. , 
<. C ,  F >. } `
 A )  =  ( ( { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. }  u.  {
<. C ,  F >. } ) `  A )
3 necom 2672 . . . . 5  |-  ( A  =/=  C  <->  C  =/=  A )
4 fvunsn 6039 . . . . 5  |-  ( C  =/=  A  ->  (
( { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. }  u.  { <. C ,  F >. } ) `  A )  =  ( { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. } `  A ) )
53, 4sylbi 195 . . . 4  |-  ( A  =/=  C  ->  (
( { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. }  u.  { <. C ,  F >. } ) `  A )  =  ( { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. } `  A ) )
65ad2antll 727 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  D  e.  W
)  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/= 
C ) )  -> 
( ( { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. }  u.  {
<. C ,  F >. } ) `  A )  =  ( { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. } `  A ) )
7 fvpr1g 6052 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  D  e.  W  /\  A  =/=  B )  -> 
( { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. } `  A
)  =  D )
873expa 1197 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  D  e.  W
)  /\  A  =/=  B )  ->  ( { <. A ,  D >. , 
<. B ,  E >. } `
 A )  =  D )
98adantrr 715 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  D  e.  W
)  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/= 
C ) )  -> 
( { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. } `  A
)  =  D )
106, 9eqtrd 2443 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  D  e.  W
)  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/= 
C ) )  -> 
( ( { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. }  u.  {
<. C ,  F >. } ) `  A )  =  D )
112, 10syl5eq 2455 1  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  D  e.  W
)  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/= 
C ) )  -> 
( { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. ,  <. C ,  F >. } `  A
)  =  D )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598    u. cun 3411   {csn 3971   {cpr 3973   {ctp 3975   <.cop 3977   ` cfv 5525
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-br 4395  df-opab 4453  df-id 4737  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-res 4954  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fv 5533
This theorem is referenced by:  fvtp2g  6058  estrreslem1  15622  2wlklemA  24854  2pthon  24902
  Copyright terms: Public domain W3C validator