MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fvtp1 Structured version   Unicode version

Theorem fvtp1 6010
Description: The first value of a function with a domain of three elements. (Contributed by NM, 14-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
fvtp1.1  |-  A  e. 
_V
fvtp1.4  |-  D  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
fvtp1  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C )  -> 
( { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. ,  <. C ,  F >. } `  A
)  =  D )

Proof of Theorem fvtp1
StepHypRef Expression
1 df-tp 3966 . . 3  |-  { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. ,  <. C ,  F >. }  =  ( { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. }  u.  { <. C ,  F >. } )
21fveq1i 5776 . 2  |-  ( {
<. A ,  D >. , 
<. B ,  E >. , 
<. C ,  F >. } `
 A )  =  ( ( { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. }  u.  {
<. C ,  F >. } ) `  A )
3 necom 2714 . . . 4  |-  ( A  =/=  C  <->  C  =/=  A )
4 fvunsn 5995 . . . 4  |-  ( C  =/=  A  ->  (
( { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. }  u.  { <. C ,  F >. } ) `  A )  =  ( { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. } `  A ) )
53, 4sylbi 195 . . 3  |-  ( A  =/=  C  ->  (
( { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. }  u.  { <. C ,  F >. } ) `  A )  =  ( { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. } `  A ) )
6 fvtp1.1 . . . 4  |-  A  e. 
_V
7 fvtp1.4 . . . 4  |-  D  e. 
_V
86, 7fvpr1 6006 . . 3  |-  ( A  =/=  B  ->  ( { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. } `  A )  =  D )
95, 8sylan9eqr 2512 . 2  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C )  -> 
( ( { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. }  u.  {
<. C ,  F >. } ) `  A )  =  D )
102, 9syl5eq 2502 1  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C )  -> 
( { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. ,  <. C ,  F >. } `  A
)  =  D )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1757    =/= wne 2641   _Vcvv 3054    u. cun 3410   {csn 3961   {cpr 3963   {ctp 3965   <.cop 3967   ` cfv 5502
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-sep 4497  ax-nul 4505  ax-pow 4554  ax-pr 4615
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-ral 2797  df-rex 2798  df-rab 2801  df-v 3056  df-sbc 3271  df-dif 3415  df-un 3417  df-in 3419  df-ss 3426  df-nul 3722  df-if 3876  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4176  df-br 4377  df-opab 4435  df-id 4720  df-xp 4930  df-rel 4931  df-cnv 4932  df-co 4933  df-dm 4934  df-res 4936  df-iota 5465  df-fun 5504  df-fv 5510
This theorem is referenced by:  fvtp2  6011  wlkntrllem2  23580  constr3lem5  23655  rabren3dioph  29278
  Copyright terms: Public domain W3C validator