MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fvtp1 Structured version   Unicode version

Theorem fvtp1 6094
Description: The first value of a function with a domain of three elements. (Contributed by NM, 14-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
fvtp1.1  |-  A  e. 
_V
fvtp1.4  |-  D  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
fvtp1  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C )  -> 
( { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. ,  <. C ,  F >. } `  A
)  =  D )

Proof of Theorem fvtp1
StepHypRef Expression
1 df-tp 4021 . . 3  |-  { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. ,  <. C ,  F >. }  =  ( { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. }  u.  { <. C ,  F >. } )
21fveq1i 5849 . 2  |-  ( {
<. A ,  D >. , 
<. B ,  E >. , 
<. C ,  F >. } `
 A )  =  ( ( { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. }  u.  {
<. C ,  F >. } ) `  A )
3 necom 2723 . . . 4  |-  ( A  =/=  C  <->  C  =/=  A )
4 fvunsn 6079 . . . 4  |-  ( C  =/=  A  ->  (
( { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. }  u.  { <. C ,  F >. } ) `  A )  =  ( { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. } `  A ) )
53, 4sylbi 195 . . 3  |-  ( A  =/=  C  ->  (
( { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. }  u.  { <. C ,  F >. } ) `  A )  =  ( { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. } `  A ) )
6 fvtp1.1 . . . 4  |-  A  e. 
_V
7 fvtp1.4 . . . 4  |-  D  e. 
_V
86, 7fvpr1 6090 . . 3  |-  ( A  =/=  B  ->  ( { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. } `  A )  =  D )
95, 8sylan9eqr 2517 . 2  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C )  -> 
( ( { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. }  u.  {
<. C ,  F >. } ) `  A )  =  D )
102, 9syl5eq 2507 1  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C )  -> 
( { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. ,  <. C ,  F >. } `  A
)  =  D )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649   _Vcvv 3106    u. cun 3459   {csn 4016   {cpr 4018   {ctp 4020   <.cop 4022   ` cfv 5570
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-res 5000  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fv 5578
This theorem is referenced by:  fvtp2  6095  wlkntrllem2  24764  constr3lem5  24850  rabren3dioph  30988
  Copyright terms: Public domain W3C validator