MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fvssunirn Unicode version

Theorem fvssunirn 5713
Description: The result of a function value is always a subset of the union of the range, even if it is invalid and thus empty. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fvssunirn  |-  ( F `
 X )  C_  U.
ran  F

Proof of Theorem fvssunirn
StepHypRef Expression
1 fvrn0 5712 . . 3  |-  ( F `
 X )  e.  ( ran  F  u.  {
(/) } )
2 elssuni 4003 . . 3  |-  ( ( F `  X )  e.  ( ran  F  u.  { (/) } )  -> 
( F `  X
)  C_  U. ( ran  F  u.  { (/) } ) )
31, 2ax-mp 8 . 2  |-  ( F `
 X )  C_  U. ( ran  F  u.  {
(/) } )
4 uniun 3994 . . 3  |-  U. ( ran  F  u.  { (/) } )  =  ( U. ran  F  u.  U. { (/)
} )
5 0ex 4299 . . . . 5  |-  (/)  e.  _V
65unisn 3991 . . . 4  |-  U. { (/)
}  =  (/)
76uneq2i 3458 . . 3  |-  ( U. ran  F  u.  U. { (/)
} )  =  ( U. ran  F  u.  (/) )
8 un0 3612 . . 3  |-  ( U. ran  F  u.  (/) )  = 
U. ran  F
94, 7, 83eqtri 2428 . 2  |-  U. ( ran  F  u.  { (/) } )  =  U. ran  F
103, 9sseqtri 3340 1  |-  ( F `
 X )  C_  U.
ran  F
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1721    u. cun 3278    C_ wss 3280   (/)c0 3588   {csn 3774   U.cuni 3975   ran crn 4838   ` cfv 5413
This theorem is referenced by:  ovssunirn  6066  marypha2lem1  7398  acnlem  7885  fin23lem29  8177  itunitc  8257  hsmexlem5  8266  wunfv  8563  wunex2  8569  strfvss  13442  prdsval  13633  prdsbas  13635  prdsplusg  13636  prdsmulr  13637  prdsvsca  13638  prdshom  13644  mreunirn  13781  mrcfval  13788  mrcssv  13794  mrisval  13810  sscpwex  13970  wunfunc  14051  catcxpccl  14259  filunirn  17867  elflim  17956  flffval  17974  fclsval  17993  isfcls  17994  fcfval  18018  tsmsxplem1  18135  xmetunirn  18320  mopnval  18421  tmsval  18464  cfilfval  19170  caufval  19181  issgon  24459  elrnsiga  24462  volmeas  24540  comppfsc  26277  neibastop2lem  26279  ismtyval  26399  ismrc  26645  nacsfix  26656  hbt  27202  dicval  31659
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-cnv 4845  df-dm 4847  df-rn 4848  df-iota 5377  df-fv 5421
  Copyright terms: Public domain W3C validator