MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fvssunirn Structured version   Unicode version

Theorem fvssunirn 5895
Description: The result of a function value is always a subset of the union of the range, even if it is invalid and thus empty. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fvssunirn  |-  ( F `
 X )  C_  U.
ran  F

Proof of Theorem fvssunirn
StepHypRef Expression
1 fvrn0 5894 . . 3  |-  ( F `
 X )  e.  ( ran  F  u.  {
(/) } )
2 elssuni 4281 . . 3  |-  ( ( F `  X )  e.  ( ran  F  u.  { (/) } )  -> 
( F `  X
)  C_  U. ( ran  F  u.  { (/) } ) )
31, 2ax-mp 5 . 2  |-  ( F `
 X )  C_  U. ( ran  F  u.  {
(/) } )
4 uniun 4270 . . 3  |-  U. ( ran  F  u.  { (/) } )  =  ( U. ran  F  u.  U. { (/)
} )
5 0ex 4587 . . . . 5  |-  (/)  e.  _V
65unisn 4266 . . . 4  |-  U. { (/)
}  =  (/)
76uneq2i 3651 . . 3  |-  ( U. ran  F  u.  U. { (/)
} )  =  ( U. ran  F  u.  (/) )
8 un0 3819 . . 3  |-  ( U. ran  F  u.  (/) )  = 
U. ran  F
94, 7, 83eqtri 2490 . 2  |-  U. ( ran  F  u.  { (/) } )  =  U. ran  F
103, 9sseqtri 3531 1  |-  ( F `
 X )  C_  U.
ran  F
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1819    u. cun 3469    C_ wss 3471   (/)c0 3793   {csn 4032   U.cuni 4251   ran crn 5009   ` cfv 5594
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-opab 4516  df-cnv 5016  df-dm 5018  df-rn 5019  df-iota 5557  df-fv 5602
This theorem is referenced by:  ovssunirn  6325  marypha2lem1  7913  acnlem  8446  fin23lem29  8738  itunitc  8818  hsmexlem5  8827  wunfv  9127  wunex2  9133  strfvss  14661  prdsval  14871  prdsbas  14873  prdsplusg  14874  prdsmulr  14875  prdsvsca  14876  prdshom  14883  mreunirn  15017  mrcfval  15024  mrcssv  15030  mrisval  15046  sscpwex  15230  wunfunc  15314  catcxpccl  15602  comppfsc  20158  filunirn  20508  elflim  20597  flffval  20615  fclsval  20634  isfcls  20635  fcfval  20659  tsmsxplem1  20780  xmetunirn  20965  mopnval  21066  tmsval  21109  cfilfval  21828  caufval  21839  issgon  28284  elrnsiga  28287  volmeas  28364  omssubadd  28432  neibastop2lem  30340  ismtyval  30458  ismrc  30795  nacsfix  30806  hbt  31241  dicval  37004
  Copyright terms: Public domain W3C validator