MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fvssunirn Structured version   Unicode version

Theorem fvssunirn 5887
Description: The result of a function value is always a subset of the union of the range, even if it is invalid and thus empty. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fvssunirn  |-  ( F `
 X )  C_  U.
ran  F

Proof of Theorem fvssunirn
StepHypRef Expression
1 fvrn0 5886 . . 3  |-  ( F `
 X )  e.  ( ran  F  u.  {
(/) } )
2 elssuni 4275 . . 3  |-  ( ( F `  X )  e.  ( ran  F  u.  { (/) } )  -> 
( F `  X
)  C_  U. ( ran  F  u.  { (/) } ) )
31, 2ax-mp 5 . 2  |-  ( F `
 X )  C_  U. ( ran  F  u.  {
(/) } )
4 uniun 4264 . . 3  |-  U. ( ran  F  u.  { (/) } )  =  ( U. ran  F  u.  U. { (/)
} )
5 0ex 4577 . . . . 5  |-  (/)  e.  _V
65unisn 4260 . . . 4  |-  U. { (/)
}  =  (/)
76uneq2i 3655 . . 3  |-  ( U. ran  F  u.  U. { (/)
} )  =  ( U. ran  F  u.  (/) )
8 un0 3810 . . 3  |-  ( U. ran  F  u.  (/) )  = 
U. ran  F
94, 7, 83eqtri 2500 . 2  |-  U. ( ran  F  u.  { (/) } )  =  U. ran  F
103, 9sseqtri 3536 1  |-  ( F `
 X )  C_  U.
ran  F
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1767    u. cun 3474    C_ wss 3476   (/)c0 3785   {csn 4027   U.cuni 4245   ran crn 5000   ` cfv 5586
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-cnv 5007  df-dm 5009  df-rn 5010  df-iota 5549  df-fv 5594
This theorem is referenced by:  ovssunirn  6308  marypha2lem1  7891  acnlem  8425  fin23lem29  8717  itunitc  8797  hsmexlem5  8806  wunfv  9106  wunex2  9112  strfvss  14504  prdsval  14706  prdsbas  14708  prdsplusg  14709  prdsmulr  14710  prdsvsca  14711  prdshom  14718  mreunirn  14852  mrcfval  14859  mrcssv  14865  mrisval  14881  sscpwex  15041  wunfunc  15122  catcxpccl  15330  filunirn  20118  elflim  20207  flffval  20225  fclsval  20244  isfcls  20245  fcfval  20269  tsmsxplem1  20390  xmetunirn  20575  mopnval  20676  tmsval  20719  cfilfval  21438  caufval  21449  issgon  27763  elrnsiga  27766  volmeas  27843  comppfsc  29779  neibastop2lem  29781  ismtyval  29899  ismrc  30237  nacsfix  30248  hbt  30683  dicval  35973
  Copyright terms: Public domain W3C validator