Theorem fvsnn 14450

Description: Value when C doesn't belong to the domain.

Assertion

Ref	Expression
fvsnn	|- (C =/= A -> ({<.A, B>.}` C) = (/))

Proof of Theorem fvsnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmsnop 4367	. . 3 |- dom {<.A, B>.} = {A}
2		eleq2 1958	. . . . 5 |- (dom {<.A, B>.} = {A} -> (C e. dom {<.A, B>.} <-> C e. {A}))
3	2	notbid 673	. . . 4 |- (dom {<.A, B>.} = {A} -> (-. C e. dom {<.A, B>.} <-> -. C e. {A}))
4		elsni 3066	. . . . 5 |- (C e. {A} -> C = A)
5	4	necon3ai 2043	. . . 4 |- (C =/= A -> -. C e. {A})
6	3, 5	syl5bir 227	. . 3 |- (dom {<.A, B>.} = {A} -> (C =/= A -> -. C e. dom {<.A, B>.}))
7	1, 6	ax-mp 7	. 2 |- (C =/= A -> -. C e. dom {<.A, B>.})
8		ndmfv 4702	. 2 |- (-. C e. dom {<.A, B>.} -> ({<.A, B>.}` C) = (/))
9	7, 8	syl 12	1 |- (C =/= A -> ({<.A, B>.}` C) = (/))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017  (/)c0 2875  {csn 3044  <.cop 3046  dom cdm 3986  ` cfv 3998

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-xp 4000  df-cnv 4002  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fv 4014

Copyright terms: Public domain