MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fvsn Structured version   Unicode version

Theorem fvsn 6012
Description: The value of a singleton of an ordered pair is the second member. (Contributed by NM, 12-Aug-1994.)
Hypotheses
Ref Expression
fvsn.1  |-  A  e. 
_V
fvsn.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
fvsn  |-  ( {
<. A ,  B >. } `
 A )  =  B

Proof of Theorem fvsn
StepHypRef Expression
1 fvsn.1 . . 3  |-  A  e. 
_V
2 fvsn.2 . . 3  |-  B  e. 
_V
31, 2funsn 5566 . 2  |-  Fun  { <. A ,  B >. }
4 opex 4656 . . 3  |-  <. A ,  B >.  e.  _V
54snid 4005 . 2  |-  <. A ,  B >.  e.  { <. A ,  B >. }
6 funopfv 5832 . 2  |-  ( Fun 
{ <. A ,  B >. }  ->  ( <. A ,  B >.  e.  { <. A ,  B >. }  ->  ( { <. A ,  B >. } `  A )  =  B ) )
73, 5, 6mp2 9 1  |-  ( {
<. A ,  B >. } `
 A )  =  B
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3070   {csn 3977   <.cop 3983   Fun wfun 5512   ` cfv 5518
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pr 4631
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-nul 3738  df-if 3892  df-sn 3978  df-pr 3980  df-op 3984  df-uni 4192  df-br 4393  df-opab 4451  df-id 4736  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fv 5526
This theorem is referenced by:  fvsng  6013  fvsnun1  6014  fvpr1  6022  elixpsn  7404  mapsnen  7489  ac6sfi  7659  dcomex  8719  axdc3lem4  8725  0ram  14185  mdet0fv0  18518  imasdsf1olem  20066  axlowdimlem8  23332  axlowdimlem11  23335  wlkntrllem2  23596  constr1trl  23624  grposn  23839  rngosn  24028  subfacp1lem2a  27204  subfacp1lem5  27208  cvmliftlem4  27313  finixpnum  28554  fdc  28781  cpmat0d  31290
  Copyright terms: Public domain W3C validator