MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fvsn Structured version   Unicode version

Theorem fvsn 6092
Description: The value of a singleton of an ordered pair is the second member. (Contributed by NM, 12-Aug-1994.)
Hypotheses
Ref Expression
fvsn.1  |-  A  e. 
_V
fvsn.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
fvsn  |-  ( {
<. A ,  B >. } `
 A )  =  B

Proof of Theorem fvsn
StepHypRef Expression
1 fvsn.1 . . 3  |-  A  e. 
_V
2 fvsn.2 . . 3  |-  B  e. 
_V
31, 2funsn 5634 . 2  |-  Fun  { <. A ,  B >. }
4 opex 4711 . . 3  |-  <. A ,  B >.  e.  _V
54snid 4055 . 2  |-  <. A ,  B >.  e.  { <. A ,  B >. }
6 funopfv 5905 . 2  |-  ( Fun 
{ <. A ,  B >. }  ->  ( <. A ,  B >.  e.  { <. A ,  B >. }  ->  ( { <. A ,  B >. } `  A )  =  B ) )
73, 5, 6mp2 9 1  |-  ( {
<. A ,  B >. } `
 A )  =  B
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3113   {csn 4027   <.cop 4033   Fun wfun 5580   ` cfv 5586
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pr 4686
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fv 5594
This theorem is referenced by:  fvsng  6093  fvsnun1  6094  fvpr1  6102  elixpsn  7505  mapsnen  7590  ac6sfi  7760  dcomex  8823  axdc3lem4  8829  0ram  14393  mdet0fv0  18863  chpmat0d  19102  imasdsf1olem  20611  axlowdimlem8  23928  axlowdimlem11  23931  wlkntrllem2  24238  constr1trl  24266  grposn  24893  rngosn  25082  subfacp1lem2a  28264  subfacp1lem5  28268  cvmliftlem4  28373  finixpnum  29615  fdc  29841
  Copyright terms: Public domain W3C validator