MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fvsn Structured version   Unicode version

Theorem fvsn 6040
Description: The value of a singleton of an ordered pair is the second member. (Contributed by NM, 12-Aug-1994.)
Hypotheses
Ref Expression
fvsn.1  |-  A  e. 
_V
fvsn.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
fvsn  |-  ( {
<. A ,  B >. } `
 A )  =  B

Proof of Theorem fvsn
StepHypRef Expression
1 fvsn.1 . . 3  |-  A  e. 
_V
2 fvsn.2 . . 3  |-  B  e. 
_V
31, 2funsn 5573 . 2  |-  Fun  { <. A ,  B >. }
4 opex 4654 . . 3  |-  <. A ,  B >.  e.  _V
54snid 3999 . 2  |-  <. A ,  B >.  e.  { <. A ,  B >. }
6 funopfv 5844 . 2  |-  ( Fun 
{ <. A ,  B >. }  ->  ( <. A ,  B >.  e.  { <. A ,  B >. }  ->  ( { <. A ,  B >. } `  A )  =  B ) )
73, 5, 6mp2 9 1  |-  ( {
<. A ,  B >. } `
 A )  =  B
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1405    e. wcel 1842   _Vcvv 3058   {csn 3971   <.cop 3977   Fun wfun 5519   ` cfv 5525
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pr 4629
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-br 4395  df-opab 4453  df-id 4737  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fv 5533
This theorem is referenced by:  fvsng  6041  fvsnun1  6042  fvpr1  6050  elixpsn  7466  mapsnen  7551  ac6sfi  7718  dcomex  8779  axdc3lem4  8785  0ram  14639  mdet0fv0  19280  chpmat0d  19519  imasdsf1olem  21060  axlowdimlem8  24550  axlowdimlem11  24553  wlkntrllem2  24860  constr1trl  24888  grposn  25511  rngosn  25700  subfacp1lem2a  29358  subfacp1lem5  29362  cvmliftlem4  29466  finixpnum  31391  fdc  31501
  Copyright terms: Public domain W3C validator