MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fvsetsid Structured version   Unicode version

Theorem fvsetsid 14531
Description: The value of the structure replacement function for its first argument is its second argument. (Contributed by SO, 12-Jul-2018.)
Assertion
Ref Expression
fvsetsid  |-  ( ( F  e.  V  /\  X  e.  W  /\  Y  e.  U )  ->  ( ( F sSet  <. X ,  Y >. ) `  X )  =  Y )

Proof of Theorem fvsetsid
StepHypRef Expression
1 setsval 14530 . . . 4  |-  ( ( F  e.  V  /\  Y  e.  U )  ->  ( F sSet  <. X ,  Y >. )  =  ( ( F  |`  ( _V  \  { X }
) )  u.  { <. X ,  Y >. } ) )
213adant2 1015 . . 3  |-  ( ( F  e.  V  /\  X  e.  W  /\  Y  e.  U )  ->  ( F sSet  <. X ,  Y >. )  =  ( ( F  |`  ( _V  \  { X }
) )  u.  { <. X ,  Y >. } ) )
32fveq1d 5874 . 2  |-  ( ( F  e.  V  /\  X  e.  W  /\  Y  e.  U )  ->  ( ( F sSet  <. X ,  Y >. ) `  X )  =  ( ( ( F  |`  ( _V  \  { X } ) )  u. 
{ <. X ,  Y >. } ) `  X
) )
4 simp2 997 . . 3  |-  ( ( F  e.  V  /\  X  e.  W  /\  Y  e.  U )  ->  X  e.  W )
5 simp3 998 . . 3  |-  ( ( F  e.  V  /\  X  e.  W  /\  Y  e.  U )  ->  Y  e.  U )
6 neldifsn 4160 . . . . 5  |-  -.  X  e.  ( _V  \  { X } )
7 dmres 5300 . . . . . . 7  |-  dom  ( F  |`  ( _V  \  { X } ) )  =  ( ( _V 
\  { X }
)  i^i  dom  F )
8 inss1 3723 . . . . . . 7  |-  ( ( _V  \  { X } )  i^i  dom  F )  C_  ( _V  \  { X } )
97, 8eqsstri 3539 . . . . . 6  |-  dom  ( F  |`  ( _V  \  { X } ) ) 
C_  ( _V  \  { X } )
109sseli 3505 . . . . 5  |-  ( X  e.  dom  ( F  |`  ( _V  \  { X } ) )  ->  X  e.  ( _V  \  { X } ) )
116, 10mto 176 . . . 4  |-  -.  X  e.  dom  ( F  |`  ( _V  \  { X } ) )
1211a1i 11 . . 3  |-  ( ( F  e.  V  /\  X  e.  W  /\  Y  e.  U )  ->  -.  X  e.  dom  ( F  |`  ( _V 
\  { X }
) ) )
13 fsnunfv 6112 . . 3  |-  ( ( X  e.  W  /\  Y  e.  U  /\  -.  X  e.  dom  ( F  |`  ( _V 
\  { X }
) ) )  -> 
( ( ( F  |`  ( _V  \  { X } ) )  u. 
{ <. X ,  Y >. } ) `  X
)  =  Y )
144, 5, 12, 13syl3anc 1228 . 2  |-  ( ( F  e.  V  /\  X  e.  W  /\  Y  e.  U )  ->  ( ( ( F  |`  ( _V  \  { X } ) )  u. 
{ <. X ,  Y >. } ) `  X
)  =  Y )
153, 14eqtrd 2508 1  |-  ( ( F  e.  V  /\  X  e.  W  /\  Y  e.  U )  ->  ( ( F sSet  <. X ,  Y >. ) `  X )  =  Y )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3118    \ cdif 3478    u. cun 3479    i^i cin 3480   {csn 4033   <.cop 4039   dom cdm 5005    |` cres 5007   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   sSet csts 14504
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pr 4692  ax-un 6587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-opab 4512  df-id 4801  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-res 5017  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-fv 5602  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-sets 14512
This theorem is referenced by:  mdetunilem9  18989
  Copyright terms: Public domain W3C validator