Theorem fvresex 4833

Description: Existence of the class of values of a restricted class.

Hypothesis

Ref	Expression
fvresex.1	|- A e. _V

Assertion

Ref	Expression
fvresex	|- {y | E.x y = ((F |` A)` x)} e. _V

Distinct variable groups:   x,y,F   x,A,y

Proof of Theorem fvresex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		visset 2295	. . . . . . 7 |- x e. _V
2		fvex 4689	. . . . . . 7 |- (F` x) e. _V
3		fveq2 4681	. . . . . . 7 |- (z = x -> (F` z) = (F` x))
4	1, 2, 3	fvopab 4753	. . . . . 6 |- ({<.z, w>. | w = (F` z)}` x) = (F` x)
5		fveqres 4708	. . . . . 6 |- (({<.z, w>. | w = (F` z)}` x) = (F` x) -> (({<.z, w>. | w = (F` z)} |` A)` x) = ((F |` A)` x))
6	4, 5	ax-mp 7	. . . . 5 |- (({<.z, w>. | w = (F` z)} |` A)` x) = ((F |` A)` x)
7	6	eqeq2i 1894	. . . 4 |- (y = (({<.z, w>. | w = (F` z)} |` A)` x) <-> y = ((F |` A)` x))
8	7	exbii 1398	. . 3 |- (E.x y = (({<.z, w>. | w = (F` z)} |` A)` x) <-> E.x y = ((F |` A)` x))
9	8	abbii 2006	. 2 |- {y | E.x y = (({<.z, w>. | w = (F` z)} |` A)` x)} = {y | E.x y = ((F |` A)` x)}
10		funopabeq 4456	. . . 4 |- Fun {<.z, w>. | w = (F` z)}
11		fvresex.1	. . . 4 |- A e. _V
12		resfunexg 4500	. . . 4 |- ((Fun {<.z, w>. | w = (F` z)} /\ A e. _V) -> ({<.z, w>. | w = (F` z)} |` A) e. _V)
13	10, 11, 12	mp2an 761	. . 3 |- ({<.z, w>. | w = (F` z)} |` A) e. _V
14	13	fvclex 4832	. 2 |- {y | E.x y = (({<.z, w>. | w = (F` z)} |` A)` x)} e. _V
15	9, 14	eqeltrri 1968	1 |- {y | E.x y = ((F |` A)` x)} e. _V

Syntax hints:   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  {cab 1871  _Vcvv 2292  {copab 3395   |` cres 3988  Fun wfun 3992  ` cfv 3998

This theorem is referenced by:  abrexexlem1 4834

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fv 4014

Copyright terms: Public domain