Theorem fvprc 4678

Description: A function's value at a proper class is the empty set.

Assertion

Ref	Expression
fvprc	|- (-. A e. _V -> (F` A) = (/))

Proof of Theorem fvprc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		visset 2295	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
2	1	snnz 3119	. . . . . . . 8 |- {x} =/= (/)
3		df-ne 2019	. . . . . . . 8 |- ({x} =/= (/) <-> -. {x} = (/))
4	2, 3	mpbi 206	. . . . . . 7 |- -. {x} = (/)
5		snprc 3092	. . . . . . . . . . 11 |- (-. A e. _V <-> {A} = (/))
6		imaeq2 4260	. . . . . . . . . . 11 |- ({A} = (/) -> (F"{A}) = (F"(/)))
7	5, 6	sylbi 216	. . . . . . . . . 10 |- (-. A e. _V -> (F"{A}) = (F"(/)))
8		ima0 4283	. . . . . . . . . 10 |- (F"(/)) = (/)
9	7, 8	syl6eq 1944	. . . . . . . . 9 |- (-. A e. _V -> (F"{A}) = (/))
10	9	eqeq1d 1892	. . . . . . . 8 |- (-. A e. _V -> ((F"{A}) = {x} <-> (/) = {x}))
11		eqcom 1886	. . . . . . . 8 |- ((/) = {x} <-> {x} = (/))
12	10, 11	syl6bb 595	. . . . . . 7 |- (-. A e. _V -> ((F"{A}) = {x} <-> {x} = (/)))
13	4, 12	mtbiri 785	. . . . . 6 |- (-. A e. _V -> -. (F"{A}) = {x})
14	13	nexdv 1711	. . . . 5 |- (-. A e. _V -> -. E.x(F"{A}) = {x})
15		abn0 2892	. . . . . 6 |- ({x | (F"{A}) = {x}} =/= (/) <-> E.x(F"{A}) = {x})
16	15	necon1bbii 2060	. . . . 5 |- (-. E.x(F"{A}) = {x} <-> {x | (F"{A}) = {x}} = (/))
17	14, 16	sylib 215	. . . 4 |- (-. A e. _V -> {x | (F"{A}) = {x}} = (/))
18	17	unieqd 3188	. . 3 |- (-. A e. _V -> U.{x | (F"{A}) = {x}} = U.(/))
19		df-fv 4014	. . 3 |- (F` A) = U.{x | (F"{A}) = {x}}
20	18, 19	syl5eq 1940	. 2 |- (-. A e. _V -> (F` A) = U.(/))
21		uni0 3205	. 2 |- U.(/) = (/)
22	20, 21	syl6eq 1944	1 |- (-. A e. _V -> (F` A) = (/))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  {cab 1871   =/= wne 2017  _Vcvv 2292  (/)c0 2875  {csn 3044  U.cuni 3177  "cima 3989  ` cfv 3998

This theorem is referenced by:  tz6.12-2 4696  ndmfv 4702  nfunsnOLD 4707  dffv2 4734  fvopabn 4749  1stval 5022  2ndval 5023  riotav 5565  riotaprc 5567  rankon 5782  ranklim 5796  r1pwcl 5798  rankuni 5809  cardval 5975  card1 5983  sdomsdomcard 6000  cardidm 6001  vafval 9554  bafval 9555  smfval 9556  0vfval 9557  vsfval 9586  sltval2 13997  sltintdifex 14004  domval 15070  codval 15071  idval 15072  cmpval 15073  atombase 17003

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-xp 4000  df-cnv 4002  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fv 4014

Copyright terms: Public domain