MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fvpr2g Structured version   Unicode version

Theorem fvpr2g 6025
Description: The value of a function with a domain of (at most) two elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
fvpr2g  |-  ( ( B  e.  V  /\  D  e.  W  /\  A  =/=  B )  -> 
( { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. } `  B
)  =  D )

Proof of Theorem fvpr2g
StepHypRef Expression
1 prcom 4053 . . . . . 6  |-  { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. }  =  { <. B ,  D >. ,  <. A ,  C >. }
2 df-pr 3980 . . . . . 6  |-  { <. B ,  D >. ,  <. A ,  C >. }  =  ( { <. B ,  D >. }  u.  { <. A ,  C >. } )
31, 2eqtri 2480 . . . . 5  |-  { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. }  =  ( { <. B ,  D >. }  u.  { <. A ,  C >. } )
43fveq1i 5792 . . . 4  |-  ( {
<. A ,  C >. , 
<. B ,  D >. } `
 B )  =  ( ( { <. B ,  D >. }  u.  {
<. A ,  C >. } ) `  B )
5 fvunsn 6011 . . . 4  |-  ( A  =/=  B  ->  (
( { <. B ,  D >. }  u.  { <. A ,  C >. } ) `  B )  =  ( { <. B ,  D >. } `  B ) )
64, 5syl5eq 2504 . . 3  |-  ( A  =/=  B  ->  ( { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. } `  B )  =  ( { <. B ,  D >. } `  B ) )
763ad2ant3 1011 . 2  |-  ( ( B  e.  V  /\  D  e.  W  /\  A  =/=  B )  -> 
( { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. } `  B
)  =  ( {
<. B ,  D >. } `
 B ) )
8 fvsng 6013 . . 3  |-  ( ( B  e.  V  /\  D  e.  W )  ->  ( { <. B ,  D >. } `  B
)  =  D )
983adant3 1008 . 2  |-  ( ( B  e.  V  /\  D  e.  W  /\  A  =/=  B )  -> 
( { <. B ,  D >. } `  B
)  =  D )
107, 9eqtrd 2492 1  |-  ( ( B  e.  V  /\  D  e.  W  /\  A  =/=  B )  -> 
( { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. } `  B
)  =  D )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2644    u. cun 3426   {csn 3977   {cpr 3979   <.cop 3983   ` cfv 5518
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-nul 3738  df-if 3892  df-sn 3978  df-pr 3980  df-op 3984  df-uni 4192  df-br 4393  df-opab 4451  df-id 4736  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-res 4952  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fv 5526
This theorem is referenced by:  wrdlen2i  12650  constr1trl  23624  1pthon  23627  constr3lem4  23670  zlmodzxzscm  30894  zlmodzxzadd  30895  lincvalpr  31061  ldepspr  31116
  Copyright terms: Public domain W3C validator