MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fvpr2g Structured version   Unicode version

Theorem fvpr2g 6033
Description: The value of a function with a domain of (at most) two elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
fvpr2g  |-  ( ( B  e.  V  /\  D  e.  W  /\  A  =/=  B )  -> 
( { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. } `  B
)  =  D )

Proof of Theorem fvpr2g
StepHypRef Expression
1 prcom 4035 . . . . . 6  |-  { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. }  =  { <. B ,  D >. ,  <. A ,  C >. }
2 df-pr 3960 . . . . . 6  |-  { <. B ,  D >. ,  <. A ,  C >. }  =  ( { <. B ,  D >. }  u.  { <. A ,  C >. } )
31, 2eqtri 2421 . . . . 5  |-  { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. }  =  ( { <. B ,  D >. }  u.  { <. A ,  C >. } )
43fveq1i 5788 . . . 4  |-  ( {
<. A ,  C >. , 
<. B ,  D >. } `
 B )  =  ( ( { <. B ,  D >. }  u.  {
<. A ,  C >. } ) `  B )
5 fvunsn 6019 . . . 4  |-  ( A  =/=  B  ->  (
( { <. B ,  D >. }  u.  { <. A ,  C >. } ) `  B )  =  ( { <. B ,  D >. } `  B ) )
64, 5syl5eq 2445 . . 3  |-  ( A  =/=  B  ->  ( { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. } `  B )  =  ( { <. B ,  D >. } `  B ) )
763ad2ant3 1017 . 2  |-  ( ( B  e.  V  /\  D  e.  W  /\  A  =/=  B )  -> 
( { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. } `  B
)  =  ( {
<. B ,  D >. } `
 B ) )
8 fvsng 6021 . . 3  |-  ( ( B  e.  V  /\  D  e.  W )  ->  ( { <. B ,  D >. } `  B
)  =  D )
983adant3 1014 . 2  |-  ( ( B  e.  V  /\  D  e.  W  /\  A  =/=  B )  -> 
( { <. B ,  D >. } `  B
)  =  D )
107, 9eqtrd 2433 1  |-  ( ( B  e.  V  /\  D  e.  W  /\  A  =/=  B )  -> 
( { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. } `  B
)  =  D )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 971    = wceq 1399    e. wcel 1836    =/= wne 2587    u. cun 3400   {csn 3957   {cpr 3959   <.cop 3963   ` cfv 5509
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2016  ax-ext 2370  ax-sep 4501  ax-nul 4509  ax-pow 4556  ax-pr 4614
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2232  df-mo 2233  df-clab 2378  df-cleq 2384  df-clel 2387  df-nfc 2542  df-ne 2589  df-ral 2747  df-rex 2748  df-rab 2751  df-v 3049  df-sbc 3266  df-dif 3405  df-un 3407  df-in 3409  df-ss 3416  df-nul 3725  df-if 3871  df-sn 3958  df-pr 3960  df-op 3964  df-uni 4177  df-br 4381  df-opab 4439  df-id 4722  df-xp 4932  df-rel 4933  df-cnv 4934  df-co 4935  df-dm 4936  df-res 4938  df-iota 5473  df-fun 5511  df-fv 5517
This theorem is referenced by:  f1prex  6106  wrdlen2i  12814  constr1trl  24732  1pthon  24735  constr3lem4  24789  zlmodzxzscm  33181  zlmodzxzadd  33182  lincvalpr  33254  ldepspr  33309
  Copyright terms: Public domain W3C validator