MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fvpr2 Structured version   Unicode version

Theorem fvpr2 6032
Description: The value of a function with a domain of two elements. (Contributed by Jeff Madsen, 20-Jun-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
fvpr2.1  |-  B  e. 
_V
fvpr2.2  |-  D  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
fvpr2  |-  ( A  =/=  B  ->  ( { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. } `  B )  =  D )

Proof of Theorem fvpr2
StepHypRef Expression
1 prcom 4062 . . 3  |-  { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. }  =  { <. B ,  D >. ,  <. A ,  C >. }
21fveq1i 5801 . 2  |-  ( {
<. A ,  C >. , 
<. B ,  D >. } `
 B )  =  ( { <. B ,  D >. ,  <. A ,  C >. } `  B
)
3 necom 2721 . . 3  |-  ( A  =/=  B  <->  B  =/=  A )
4 fvpr2.1 . . . 4  |-  B  e. 
_V
5 fvpr2.2 . . . 4  |-  D  e. 
_V
64, 5fvpr1 6031 . . 3  |-  ( B  =/=  A  ->  ( { <. B ,  D >. ,  <. A ,  C >. } `  B )  =  D )
73, 6sylbi 195 . 2  |-  ( A  =/=  B  ->  ( { <. B ,  D >. ,  <. A ,  C >. } `  B )  =  D )
82, 7syl5eq 2507 1  |-  ( A  =/=  B  ->  ( { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. } `  B )  =  D )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648   _Vcvv 3078   {cpr 3988   <.cop 3992   ` cfv 5527
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3747  df-if 3901  df-sn 3987  df-pr 3989  df-op 3993  df-uni 4201  df-br 4402  df-opab 4460  df-id 4745  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-res 4961  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fv 5535
This theorem is referenced by:  fnprb  6046  fnprOLD  6047  m2detleiblem3  18568  m2detleiblem4  18569  axlowdimlem6  23346  wlkntrllem2  23612  wlkntrllem3  23613  2wlklem1  23649  ex-fv  23803  fprb  27729  zlmodzxzldeplem3  31177
  Copyright terms: Public domain W3C validator