MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fvpr1g Structured version   Unicode version

Theorem fvpr1g 6035
Description: The value of a function with a domain of (at most) two elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
fvpr1g  |-  ( ( A  e.  V  /\  C  e.  W  /\  A  =/=  B )  -> 
( { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. } `  A
)  =  C )

Proof of Theorem fvpr1g
StepHypRef Expression
1 df-pr 3991 . . . . 5  |-  { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. }  =  ( { <. A ,  C >. }  u.  { <. B ,  D >. } )
21fveq1i 5803 . . . 4  |-  ( {
<. A ,  C >. , 
<. B ,  D >. } `
 A )  =  ( ( { <. A ,  C >. }  u.  {
<. B ,  D >. } ) `  A )
3 necom 2721 . . . . 5  |-  ( A  =/=  B  <->  B  =/=  A )
4 fvunsn 6022 . . . . 5  |-  ( B  =/=  A  ->  (
( { <. A ,  C >. }  u.  { <. B ,  D >. } ) `  A )  =  ( { <. A ,  C >. } `  A ) )
53, 4sylbi 195 . . . 4  |-  ( A  =/=  B  ->  (
( { <. A ,  C >. }  u.  { <. B ,  D >. } ) `  A )  =  ( { <. A ,  C >. } `  A ) )
62, 5syl5eq 2507 . . 3  |-  ( A  =/=  B  ->  ( { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. } `  A )  =  ( { <. A ,  C >. } `  A ) )
763ad2ant3 1011 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  C  e.  W  /\  A  =/=  B )  -> 
( { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. } `  A
)  =  ( {
<. A ,  C >. } `
 A ) )
8 fvsng 6024 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  C  e.  W )  ->  ( { <. A ,  C >. } `  A
)  =  C )
983adant3 1008 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  C  e.  W  /\  A  =/=  B )  -> 
( { <. A ,  C >. } `  A
)  =  C )
107, 9eqtrd 2495 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  C  e.  W  /\  A  =/=  B )  -> 
( { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. } `  A
)  =  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648    u. cun 3437   {csn 3988   {cpr 3990   <.cop 3994   ` cfv 5529
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-br 4404  df-opab 4462  df-id 4747  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-res 4963  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fv 5537
This theorem is referenced by:  fvtp1g  6040  wrdlen2i  12667  constr1trl  23659  1pthon  23662  constr3lem4  23705  zlmodzxzscm  30922  zlmodzxzadd  30923  lincvalpr  31104  ldepspr  31159
  Copyright terms: Public domain W3C validator