MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fvpr1 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem fvpr1 6123
Description: The value of a function with a domain of two elements. (Contributed by Jeff Madsen, 20-Jun-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
fvpr1.1  |-  A  e. 
_V
fvpr1.2  |-  C  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
fvpr1  |-  ( A  =/=  B  ->  ( { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. } `  A )  =  C )

Proof of Theorem fvpr1
StepHypRef Expression
1 df-pr 3962 . . . 4  |-  { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. }  =  ( { <. A ,  C >. }  u.  { <. B ,  D >. } )
21fveq1i 5880 . . 3  |-  ( {
<. A ,  C >. , 
<. B ,  D >. } `
 A )  =  ( ( { <. A ,  C >. }  u.  {
<. B ,  D >. } ) `  A )
3 necom 2696 . . . 4  |-  ( A  =/=  B  <->  B  =/=  A )
4 fvunsn 6112 . . . 4  |-  ( B  =/=  A  ->  (
( { <. A ,  C >. }  u.  { <. B ,  D >. } ) `  A )  =  ( { <. A ,  C >. } `  A ) )
53, 4sylbi 200 . . 3  |-  ( A  =/=  B  ->  (
( { <. A ,  C >. }  u.  { <. B ,  D >. } ) `  A )  =  ( { <. A ,  C >. } `  A ) )
62, 5syl5eq 2517 . 2  |-  ( A  =/=  B  ->  ( { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. } `  A )  =  ( { <. A ,  C >. } `  A ) )
7 fvpr1.1 . . 3  |-  A  e. 
_V
8 fvpr1.2 . . 3  |-  C  e. 
_V
97, 8fvsn 6113 . 2  |-  ( {
<. A ,  C >. } `
 A )  =  C
106, 9syl6eq 2521 1  |-  ( A  =/=  B  ->  ( { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. } `  A )  =  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   _Vcvv 3031    u. cun 3388   {csn 3959   {cpr 3961   <.cop 3965   ` cfv 5589
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-br 4396  df-opab 4455  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-res 4851  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fv 5597
This theorem is referenced by:  fvpr2  6124  fvtp1  6127  fnprb  6139  m2detleiblem3  19731  m2detleiblem4  19732  axlowdimlem6  25056  wlkntrllem2  25369  wlkntrllem3  25370  2wlklem1  25406  fprb  30484  poimirlem22  32026  nnsum3primes4  39028  nnsum3primesgbe  39032  umgr2v2evd2  39750  zlmodzxzldeplem3  40803  zlmodzxzldeplem4  40804
  Copyright terms: Public domain W3C validator