MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fvpr1 Structured version   Unicode version

Theorem fvpr1 6122
Description: The value of a function with a domain of two elements. (Contributed by Jeff Madsen, 20-Jun-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
fvpr1.1  |-  A  e. 
_V
fvpr1.2  |-  C  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
fvpr1  |-  ( A  =/=  B  ->  ( { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. } `  A )  =  C )

Proof of Theorem fvpr1
StepHypRef Expression
1 df-pr 4005 . . . 4  |-  { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. }  =  ( { <. A ,  C >. }  u.  { <. B ,  D >. } )
21fveq1i 5882 . . 3  |-  ( {
<. A ,  C >. , 
<. B ,  D >. } `
 A )  =  ( ( { <. A ,  C >. }  u.  {
<. B ,  D >. } ) `  A )
3 necom 2700 . . . 4  |-  ( A  =/=  B  <->  B  =/=  A )
4 fvunsn 6111 . . . 4  |-  ( B  =/=  A  ->  (
( { <. A ,  C >. }  u.  { <. B ,  D >. } ) `  A )  =  ( { <. A ,  C >. } `  A ) )
53, 4sylbi 198 . . 3  |-  ( A  =/=  B  ->  (
( { <. A ,  C >. }  u.  { <. B ,  D >. } ) `  A )  =  ( { <. A ,  C >. } `  A ) )
62, 5syl5eq 2482 . 2  |-  ( A  =/=  B  ->  ( { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. } `  A )  =  ( { <. A ,  C >. } `  A ) )
7 fvpr1.1 . . 3  |-  A  e. 
_V
8 fvpr1.2 . . 3  |-  C  e. 
_V
97, 8fvsn 6112 . 2  |-  ( {
<. A ,  C >. } `
 A )  =  C
106, 9syl6eq 2486 1  |-  ( A  =/=  B  ->  ( { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. } `  A )  =  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1437    e. wcel 1870    =/= wne 2625   _Vcvv 3087    u. cun 3440   {csn 4002   {cpr 4004   <.cop 4008   ` cfv 5601
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-br 4427  df-opab 4485  df-id 4769  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-res 4866  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fv 5609
This theorem is referenced by:  fvpr2  6123  fvtp1  6126  fnprb  6138  m2detleiblem3  19585  m2detleiblem4  19586  axlowdimlem6  24823  wlkntrllem2  25135  wlkntrllem3  25136  2wlklem1  25172  fprb  30200  poimirlem22  31666  nnsum3primes4  38273  nnsum3primesgbe  38277  zlmodzxzldeplem3  39055  zlmodzxzldeplem4  39056
  Copyright terms: Public domain W3C validator