Theorem fvopabn 4749

Description: This somewhat non-intuitive theorem tells us the value of its function is the empty set when the class C it would otherwise map to is a proper class. This is a technical lemma that can help eliminate redundant sethood antecedents otherwise required by fvopabg 4748.

Hypothesis

Ref	Expression
fvopabn.1	|- (x = A -> B = C)

Assertion

Ref	Expression
fvopabn	|- (-. C e. _V -> ({<.x, y>. | y = B}` A) = (/))

Distinct variable groups:   x,y,A   x,C,y

Proof of Theorem fvopabn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		visset 2295	. . . . . . . . . . 11 |- z e. _V
2	1	snnz 3119	. . . . . . . . . 10 |- {z} =/= (/)
3		df-ne 2019	. . . . . . . . . 10 |- ({z} =/= (/) <-> -. {z} = (/))
4	2, 3	mpbi 206	. . . . . . . . 9 |- -. {z} = (/)
5		opeq1 3158	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (z = A -> <.z, w>. = <.A, w>.)
6	5	eleq1d 1963	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (z = A -> (<.z, w>. e. {<.x, y>. | y = B} <-> <.A, w>. e. {<.x, y>. | y = B}))
7	6	ceqsexgv 2393	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (A e. _V -> (E.z(z = A /\ <.z, w>. e. {<.x, y>. | y = B}) <-> <.A, w>. e. {<.x, y>. | y = B}))
8		elsn 3058	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (z e. {A} <-> z = A)
9	8	anbi1i 539	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((z e. {A} /\ <.z, w>. e. {<.x, y>. | y = B}) <-> (z = A /\ <.z, w>. e. {<.x, y>. | y = B}))
10	9	exbii 1398	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (E.z(z e. {A} /\ <.z, w>. e. {<.x, y>. | y = B}) <-> E.z(z = A /\ <.z, w>. e. {<.x, y>. | y = B}))
11	7, 10	syl5bb 591	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (A e. _V -> (E.z(z e. {A} /\ <.z, w>. e. {<.x, y>. | y = B}) <-> <.A, w>. e. {<.x, y>. | y = B}))
12		visset 2295	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- w e. _V
13		fvopabn.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (x = A -> B = C)
14	13	eqeq2d 1895	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (x = A -> (y = B <-> y = C))
15		eqeq1 1890	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (y = w -> (y = C <-> w = C))
16	14, 15	opelopabg 3567	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((A e. _V /\ w e. _V) -> (<.A, w>. e. {<.x, y>. | y = B} <-> w = C))
17	12, 16	mpan2 760	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (A e. _V -> (<.A, w>. e. {<.x, y>. | y = B} <-> w = C))
18	11, 17	bitrd 587	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (A e. _V -> (E.z(z e. {A} /\ <.z, w>. e. {<.x, y>. | y = B}) <-> w = C))
19	18	abbidv 2008	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A e. _V -> {w | E.z(z e. {A} /\ <.z, w>. e. {<.x, y>. | y = B})} = {w | w = C})
20		eleq1 1957	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (w = C -> (w e. _V <-> C e. _V))
21	12, 20	mpbii 210	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (w = C -> C e. _V)
22	21	19.23aiv 1674	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (E.w w = C -> C e. _V)
23	22	con3i 114	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (-. C e. _V -> -. E.w w = C)
24		abn0 2892	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ({w | w = C} =/= (/) <-> E.w w = C)
25	24	necon1bbii 2060	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (-. E.w w = C <-> {w | w = C} = (/))
26	23, 25	sylib 215	. . . . . . . . . . . . 13 |- (-. C e. _V -> {w | w = C} = (/))
27	19, 26	sylan9eq 1948	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. _V /\ -. C e. _V) -> {w | E.z(z e. {A} /\ <.z, w>. e. {<.x, y>. | y = B})} = (/))
28		dfima3 4267	. . . . . . . . . . . 12 |- ({<.x, y>. | y = B}"{A}) = {w | E.z(z e. {A} /\ <.z, w>. e. {<.x, y>. | y = B})}
29	27, 28	syl5eq 1940	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. _V /\ -. C e. _V) -> ({<.x, y>. | y = B}"{A}) = (/))
30	29	eqeq1d 1892	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. _V /\ -. C e. _V) -> (({<.x, y>. | y = B}"{A}) = {z} <-> (/) = {z}))
31		eqcom 1886	. . . . . . . . . 10 |- ((/) = {z} <-> {z} = (/))
32	30, 31	syl6bb 595	. . . . . . . . 9 |- ((A e. _V /\ -. C e. _V) -> (({<.x, y>. | y = B}"{A}) = {z} <-> {z} = (/)))
33	4, 32	mtbiri 785	. . . . . . . 8 |- ((A e. _V /\ -. C e. _V) -> -. ({<.x, y>. | y = B}"{A}) = {z})
34	33	nexdv 1711	. . . . . . 7 |- ((A e. _V /\ -. C e. _V) -> -. E.z({<.x, y>. | y = B}"{A}) = {z})
35		abn0 2892	. . . . . . . 8 |- ({z | ({<.x, y>. | y = B}"{A}) = {z}} =/= (/) <-> E.z({<.x, y>. | y = B}"{A}) = {z})
36	35	necon1bbii 2060	. . . . . . 7 |- (-. E.z({<.x, y>. | y = B}"{A}) = {z} <-> {z | ({<.x, y>. | y = B}"{A}) = {z}} = (/))
37	34, 36	sylib 215	. . . . . 6 |- ((A e. _V /\ -. C e. _V) -> {z | ({<.x, y>. | y = B}"{A}) = {z}} = (/))
38	37	unieqd 3188	. . . . 5 |- ((A e. _V /\ -. C e. _V) -> U.{z | ({<.x, y>. | y = B}"{A}) = {z}} = U.(/))
39		df-fv 4014	. . . . 5 |- ({<.x, y>. | y = B}` A) = U.{z | ({<.x, y>. | y = B}"{A}) = {z}}
40	38, 39	syl5eq 1940	. . . 4 |- ((A e. _V /\ -. C e. _V) -> ({<.x, y>. | y = B}` A) = U.(/))
41		uni0 3205	. . . 4 |- U.(/) = (/)
42	40, 41	syl6eq 1944	. . 3 |- ((A e. _V /\ -. C e. _V) -> ({<.x, y>. | y = B}` A) = (/))
43	42	ex 402	. 2 |- (A e. _V -> (-. C e. _V -> ({<.x, y>. | y = B}` A) = (/)))
44		fvprc 4678	. . 3 |- (-. A e. _V -> ({<.x, y>. | y = B}` A) = (/))
45	44	a1d 15	. 2 |- (-. A e. _V -> (-. C e. _V -> ({<.x, y>. | y = B}` A) = (/)))
46	43, 45	pm2.61i 140	1 |- (-. C e. _V -> ({<.x, y>. | y = B}` A) = (/))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  {cab 1871   =/= wne 2017  _Vcvv 2292  (/)c0 2875  {csn 3044  <.cop 3046  U.cuni 3177  {copab 3395  "cima 3989  ` cfv 3998

This theorem is referenced by:  fvopabnf 4751

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-xp 4000  df-cnv 4002  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fv 4014

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