Theorem fvopabg 4748

Description: The value of a function given by ordered-pair class abstraction.

Hypothesis

Ref	Expression
fvopabg.1	|- (x = A -> B = C)

Assertion

Ref	Expression
fvopabg	|- ((A e. D /\ C e. R) -> ({<.x, y>. | y = B}` A) = C)

Distinct variable groups:   x,y,A   y,B   x,C,y

Proof of Theorem fvopabg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvopabg.1	. . 3 |- (x = A -> B = C)
2		visset 2295	. . . . 5 |- x e. _V
3	2	biantrur 794	. . . 4 |- (y = B <-> (x e. _V /\ y = B))
4	3	opabbii 3402	. . 3 |- {<.x, y>. | y = B} = {<.x, y>. | (x e. _V /\ y = B)}
5	1, 4	fvopab4g 4742	. 2 |- ((A e. _V /\ C e. R) -> ({<.x, y>. | y = B}` A) = C)
6		elisset 2299	. 2 |- (A e. D -> A e. _V)
7	5, 6	sylan 497	1 |- ((A e. D /\ C e. R) -> ({<.x, y>. | y = B}` A) = C)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  _Vcvv 2292  {copab 3395  ` cfv 3998

This theorem is referenced by:  fvopabgf 4750  1stval 5022  2ndval 5023  onopruni 5117  tz9.12lem3 5772  oncardval 5865  cardval 5975  limsupval 7772  bafval 9555  findabrcl 14255  gepsup 14593  seinf 14594  expm 14725  vtarsu 15263

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fv 4014

Copyright terms: Public domain