Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fvmptss Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem fvmptss 5973
 Description: If all the values of the mapping are subsets of a class , then so is any evaluation of the mapping, even if is not in the base set . (Contributed by Mario Carneiro, 13-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
mptrcl.1
Assertion
Ref Expression
fvmptss
Distinct variable groups:   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()

Proof of Theorem fvmptss
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mptrcl.1 . . . . 5
21dmmptss 5338 . . . 4
32sseli 3414 . . 3
4 fveq2 5879 . . . . . . 7
54sseq1d 3445 . . . . . 6
65imbi2d 323 . . . . 5
7 nfcv 2612 . . . . . 6
8 nfra1 2785 . . . . . . 7
9 nfmpt1 4485 . . . . . . . . . 10
101, 9nfcxfr 2610 . . . . . . . . 9
1110, 7nffv 5886 . . . . . . . 8
12 nfcv 2612 . . . . . . . 8
1311, 12nfss 3411 . . . . . . 7
148, 13nfim 2023 . . . . . 6
15 fveq2 5879 . . . . . . . 8
1615sseq1d 3445 . . . . . . 7
1716imbi2d 323 . . . . . 6
181dmmpt 5337 . . . . . . . . . . 11
1918rabeq2i 3028 . . . . . . . . . 10
201fvmpt2 5972 . . . . . . . . . . 11
21 eqimss 3470 . . . . . . . . . . 11
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . 10
2319, 22sylbi 200 . . . . . . . . 9
24 ndmfv 5903 . . . . . . . . . 10
25 0ss 3766 . . . . . . . . . 10
2624, 25syl6eqss 3468 . . . . . . . . 9
2723, 26pm2.61i 169 . . . . . . . 8
28 rsp 2773 . . . . . . . . 9
2928impcom 437 . . . . . . . 8
3027, 29syl5ss 3429 . . . . . . 7
3130ex 441 . . . . . 6
327, 14, 17, 31vtoclgaf 3098 . . . . 5
336, 32vtoclga 3099 . . . 4
3433impcom 437 . . 3
353, 34sylan2 482 . 2
36 ndmfv 5903 . . . 4
3736adantl 473 . . 3
38 0ss 3766 . . 3
3937, 38syl6eqss 3468 . 2
4035, 39pm2.61dan 808 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 376   wceq 1452   wcel 1904  wral 2756  cvv 3031   wss 3390  c0 3722   cmpt 4454   cdm 4839  cfv 5589 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fv 5597 This theorem is referenced by:  relmptopab  6536  ovmptss  6896
 Copyright terms: Public domain W3C validator