Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fvmpt2curryd Structured version   Unicode version

Theorem fvmpt2curryd 7018
 Description: The value of the value of a curried operation given in maps-to notation is the operation value of the original operation. (Contributed by AV, 27-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fvmpt2curryd.f
fvmpt2curryd.c
fvmpt2curryd.y
fvmpt2curryd.a
fvmpt2curryd.b
Assertion
Ref Expression
fvmpt2curryd curry
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,)

Proof of Theorem fvmpt2curryd
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvmpt2curryd.b . . 3
2 csbcom 3845 . . . . 5
3 csbco 3440 . . . . . 6
43csbeq2i 3844 . . . . 5
5 csbcom 3845 . . . . . 6
6 csbco 3440 . . . . . . 7
76csbeq2i 3844 . . . . . 6
85, 7eqtri 2486 . . . . 5
92, 4, 83eqtri 2490 . . . 4
10 fvmpt2curryd.a . . . . 5
11 fvmpt2curryd.c . . . . 5
12 nfcsb1v 3446 . . . . . . . 8
1312nfel1 2635 . . . . . . 7
14 nfcsb1v 3446 . . . . . . . 8
1514nfel1 2635 . . . . . . 7
16 csbeq1a 3439 . . . . . . . 8
1716eleq1d 2526 . . . . . . 7
18 csbeq1a 3439 . . . . . . . 8
1918eleq1d 2526 . . . . . . 7
2013, 15, 17, 19rspc2 3218 . . . . . 6
2120imp 429 . . . . 5
2210, 1, 11, 21syl21anc 1227 . . . 4
239, 22syl5eqel 2549 . . 3
24 eqid 2457 . . . 4
2524fvmpts 5958 . . 3
261, 23, 25syl2anc 661 . 2
27 fvmpt2curryd.f . . . . 5
28 nfcv 2619 . . . . . 6
29 nfcv 2619 . . . . . 6
30 nfcv 2619 . . . . . . 7
31 nfcsb1v 3446 . . . . . . 7
3230, 31nfcsb 3448 . . . . . 6
33 nfcsb1v 3446 . . . . . 6
34 csbeq1a 3439 . . . . . . 7
35 csbeq1a 3439 . . . . . . 7
3634, 35sylan9eq 2518 . . . . . 6
3728, 29, 32, 33, 36cbvmpt2 6375 . . . . 5
3827, 37eqtri 2486 . . . 4
3931nfel1 2635 . . . . . . 7
4033nfel1 2635 . . . . . . 7
4134eleq1d 2526 . . . . . . 7
4235eleq1d 2526 . . . . . . 7
4339, 40, 41, 42rspc2 3218 . . . . . 6
4411, 43mpan9 469 . . . . 5
4544ralrimivva 2878 . . . 4
46 ne0i 3799 . . . . 5
471, 46syl 16 . . . 4
48 fvmpt2curryd.y . . . 4
4938, 45, 47, 48, 10mpt2curryvald 7017 . . 3 curry
5049fveq1d 5874 . 2 curry
5127a1i 11 . . 3
52 csbco 3440 . . . . . . . 8
53 csbid 3438 . . . . . . . 8
5452, 53eqtr2i 2487 . . . . . . 7
5554a1i 11 . . . . . 6
5655csbeq2dv 3843 . . . . 5
57 csbco 3440 . . . . . 6
58 csbid 3438 . . . . . 6
5957, 58eqtri 2486 . . . . 5
60 csbcom 3845 . . . . 5
6156, 59, 603eqtr3g 2521 . . . 4
62 csbeq1 3433 . . . . . . 7
6362adantr 465 . . . . . 6
6463csbeq2dv 3843 . . . . 5
65 csbeq1 3433 . . . . . 6
6665adantl 466 . . . . 5
6764, 66eqtrd 2498 . . . 4
6861, 67sylan9eq 2518 . . 3
69 eqidd 2458 . . 3
70 nfv 1708 . . 3
71 nfv 1708 . . 3
72 nfcv 2619 . . 3
73 nfcv 2619 . . 3
74 nfcv 2619 . . . . 5
7574, 32nfcsb 3448 . . . 4
7673, 75nfcsb 3448 . . 3
779, 14nfcxfr 2617 . . 3
7851, 68, 69, 10, 1, 23, 70, 71, 72, 73, 76, 77ovmpt2dxf 6427 . 2
7926, 50, 783eqtr4d 2508 1 curry
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1395   wcel 1819   wne 2652  wral 2807  csb 3430  c0 3793   cmpt 4515  cfv 5594  (class class class)co 6296   cmpt2 6298  curry ccur 7012 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-cur 7014 This theorem is referenced by:  pmatcollpw3lem  19411
 Copyright terms: Public domain W3C validator