Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fvline2 Structured version   Unicode version

Theorem fvline2 28199
Description: Alternate definition of a line. (Contributed by Scott Fenton, 25-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
fvline2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B ) )  -> 
( ALine B )  =  { x  e.  ( EE `  N
)  |  x  Colinear  <. A ,  B >. } )
Distinct variable groups:    x, N    x, A    x, B

Proof of Theorem fvline2
StepHypRef Expression
1 fvline 28197 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B ) )  -> 
( ALine B )  =  { x  |  x  Colinear  <. A ,  B >. } )
2 liness 28198 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B ) )  -> 
( ALine B ) 
C_  ( EE `  N ) )
31, 2eqsstr3d 3412 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B ) )  ->  { x  |  x  Colinear  <. A ,  B >. } 
C_  ( EE `  N ) )
4 df-ss 3363 . . . 4  |-  ( { x  |  x  Colinear  <. A ,  B >. }  C_  ( EE `  N )  <-> 
( { x  |  x  Colinear  <. A ,  B >. }  i^i  ( EE
`  N ) )  =  { x  |  x  Colinear  <. A ,  B >. } )
53, 4sylib 196 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B ) )  -> 
( { x  |  x  Colinear  <. A ,  B >. }  i^i  ( EE
`  N ) )  =  { x  |  x  Colinear  <. A ,  B >. } )
61, 5eqtr4d 2478 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B ) )  -> 
( ALine B )  =  ( { x  |  x  Colinear  <. A ,  B >. }  i^i  ( EE `  N ) ) )
7 dfrab2 3647 . 2  |-  { x  e.  ( EE `  N
)  |  x  Colinear  <. A ,  B >. }  =  ( { x  |  x 
Colinear 
<. A ,  B >. }  i^i  ( EE `  N ) )
86, 7syl6eqr 2493 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B ) )  -> 
( ALine B )  =  { x  e.  ( EE `  N
)  |  x  Colinear  <. A ,  B >. } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   {cab 2429    =/= wne 2620   {crab 2740    i^i cin 3348    C_ wss 3349   <.cop 3904   class class class wbr 4313   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   NNcn 10343   EEcee 23156    Colinear ccolin 28090  Linecline2 28187
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-er 7122  df-ec 7124  df-map 7237  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-nn 10344  df-z 10668  df-uz 10883  df-fz 11459  df-ee 23159  df-colinear 28092  df-line2 28190
This theorem is referenced by:  lineunray  28200  lineelsb2  28201  linerflx1  28202  linecom  28203
  Copyright terms: Public domain W3C validator