Theorem fveqsb 16431

Description: Implicit substitution of a value of a function into a wff.

Hypotheses

Ref	Expression
fvsb.1	|- A e. _V
fveqsb.2	|- (x = (F` A) -> (ph <-> ps))
fveqsb.3	|- (ps -> A.xps)

Assertion

Ref	Expression
fveqsb	|- (E!y AFy -> (ps <-> E.x(A.y(AFy <-> y = x) /\ ph)))

Distinct variable groups:   x,A,y   x,F,y

Proof of Theorem fveqsb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvsb.1	. . 3 |- A e. _V
2	1	fvsb 16430	. 2 |- (E!y AFy -> ([(F` A) / x]ph <-> E.x(A.y(AFy <-> y = x) /\ ph)))
3		fvex 4689	. . 3 |- (F` A) e. _V
4		fveqsb.3	. . . . 5 |- (ps -> A.xps)
5	4	a1i 8	. . . 4 |- ((F` A) e. _V -> (ps -> A.xps))
6		fveqsb.2	. . . 4 |- (x = (F` A) -> (ph <-> ps))
7	5, 6	sbciegf 2483	. . 3 |- ((F` A) e. _V -> ([(F` A) / x]ph <-> ps))
8	3, 7	ax-mp 7	. 2 |- ([(F` A) / x]ph <-> ps)
9	2, 8	syl5bbr 593	1 |- (E!y AFy -> (ps <-> E.x(A.y(AFy <-> y = x) /\ ph)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  [wsbc 1534  E!weu 1771  _Vcvv 2292   class class class wbr 3338  ` cfv 3998

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-rex 2110  df-v 2294  df-sbc 2454  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-xp 4000  df-cnv 4002  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fv 4014  df-iota 5089

Copyright terms: Public domain