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Theorem fveqf1o 5988
Description: Given a bijection  F, produce another bijection  G which additionally maps two specified points. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
fveqf1o.1  |-  G  =  ( F  o.  (
(  _I  |`  ( A  \  { C , 
( `' F `  D ) } ) )  u.  { <. C ,  ( `' F `  D ) >. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } ) )
Assertion
Ref Expression
fveqf1o  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  ( G : A -1-1-onto-> B  /\  ( G `  C
)  =  D ) )

Proof of Theorem fveqf1o
StepHypRef Expression
1 simp1 957 . . . 4  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  F : A -1-1-onto-> B )
2 f1oi 5672 . . . . . . . 8  |-  (  _I  |`  ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } ) ) : ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } ) -1-1-onto-> ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } )
32a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  (  _I  |`  ( A  \  { C , 
( `' F `  D ) } ) ) : ( A 
\  { C , 
( `' F `  D ) } ) -1-1-onto-> ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } ) )
4 simp2 958 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  C  e.  A )
5 f1ocnv 5646 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  `' F : B -1-1-onto-> A )
6 f1of 5633 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' F : B -1-1-onto-> A  ->  `' F : B --> A )
71, 5, 63syl 19 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  `' F : B --> A )
8 simp3 959 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  D  e.  B )
97, 8ffvelrnd 5830 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  ( `' F `  D )  e.  A
)
10 f1oprswap 5676 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  A  /\  ( `' F `  D )  e.  A )  ->  { <. C ,  ( `' F `  D )
>. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } : { C ,  ( `' F `  D ) } -1-1-onto-> { C ,  ( `' F `  D ) } )
114, 9, 10syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  { <. C ,  ( `' F `  D )
>. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } : { C ,  ( `' F `  D ) } -1-1-onto-> { C ,  ( `' F `  D ) } )
12 incom 3493 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } )  i^i  { C , 
( `' F `  D ) } )  =  ( { C ,  ( `' F `  D ) }  i^i  ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } ) )
13 disjdif 3660 . . . . . . . . 9  |-  ( { C ,  ( `' F `  D ) }  i^i  ( A 
\  { C , 
( `' F `  D ) } ) )  =  (/)
1412, 13eqtri 2424 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } )  i^i  { C , 
( `' F `  D ) } )  =  (/)
1514a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  ( ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } )  i^i  { C ,  ( `' F `  D ) } )  =  (/) )
16 f1oun 5653 . . . . . . 7  |-  ( ( ( (  _I  |`  ( A  \  { C , 
( `' F `  D ) } ) ) : ( A 
\  { C , 
( `' F `  D ) } ) -1-1-onto-> ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } )  /\  { <. C , 
( `' F `  D ) >. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } : { C ,  ( `' F `  D ) } -1-1-onto-> { C ,  ( `' F `  D ) } )  /\  (
( ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } )  i^i  { C ,  ( `' F `  D ) } )  =  (/)  /\  ( ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } )  i^i  { C ,  ( `' F `  D ) } )  =  (/) ) )  ->  (
(  _I  |`  ( A  \  { C , 
( `' F `  D ) } ) )  u.  { <. C ,  ( `' F `  D ) >. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } ) : ( ( A 
\  { C , 
( `' F `  D ) } )  u.  { C , 
( `' F `  D ) } ) -1-1-onto-> ( ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } )  u.  { C ,  ( `' F `  D ) } ) )
173, 11, 15, 15, 16syl22anc 1185 . . . . . 6  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  ( (  _I  |`  ( A  \  { C , 
( `' F `  D ) } ) )  u.  { <. C ,  ( `' F `  D ) >. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } ) : ( ( A 
\  { C , 
( `' F `  D ) } )  u.  { C , 
( `' F `  D ) } ) -1-1-onto-> ( ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } )  u.  { C ,  ( `' F `  D ) } ) )
18 uncom 3451 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } )  u.  { C , 
( `' F `  D ) } )  =  ( { C ,  ( `' F `  D ) }  u.  ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } ) )
19 prssi 3914 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  A  /\  ( `' F `  D )  e.  A )  ->  { C ,  ( `' F `  D ) }  C_  A )
204, 9, 19syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  { C ,  ( `' F `  D ) }  C_  A )
21 undif 3668 . . . . . . . . 9  |-  ( { C ,  ( `' F `  D ) }  C_  A  <->  ( { C ,  ( `' F `  D ) }  u.  ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } ) )  =  A )
2220, 21sylib 189 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  ( { C , 
( `' F `  D ) }  u.  ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } ) )  =  A )
2318, 22syl5eq 2448 . . . . . . 7  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  ( ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } )  u.  { C ,  ( `' F `  D ) } )  =  A )
24 f1oeq2 5625 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } )  u.  { C ,  ( `' F `  D ) } )  =  A  ->  ( ( (  _I  |`  ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } ) )  u. 
{ <. C ,  ( `' F `  D )
>. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } ) : ( ( A 
\  { C , 
( `' F `  D ) } )  u.  { C , 
( `' F `  D ) } ) -1-1-onto-> ( ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } )  u.  { C ,  ( `' F `  D ) } )  <->  ( (  _I  |`  ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } ) )  u. 
{ <. C ,  ( `' F `  D )
>. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } ) : A -1-1-onto-> ( ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } )  u.  { C ,  ( `' F `  D ) } ) ) )
2523, 24syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  ( ( (  _I  |`  ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } ) )  u. 
{ <. C ,  ( `' F `  D )
>. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } ) : ( ( A 
\  { C , 
( `' F `  D ) } )  u.  { C , 
( `' F `  D ) } ) -1-1-onto-> ( ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } )  u.  { C ,  ( `' F `  D ) } )  <->  ( (  _I  |`  ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } ) )  u. 
{ <. C ,  ( `' F `  D )
>. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } ) : A -1-1-onto-> ( ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } )  u.  { C ,  ( `' F `  D ) } ) ) )
2617, 25mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  ( (  _I  |`  ( A  \  { C , 
( `' F `  D ) } ) )  u.  { <. C ,  ( `' F `  D ) >. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } ) : A -1-1-onto-> ( ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } )  u.  { C ,  ( `' F `  D ) } ) )
27 f1oeq3 5626 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } )  u.  { C ,  ( `' F `  D ) } )  =  A  ->  ( ( (  _I  |`  ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } ) )  u. 
{ <. C ,  ( `' F `  D )
>. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } ) : A -1-1-onto-> ( ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } )  u.  { C ,  ( `' F `  D ) } )  <->  ( (  _I  |`  ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } ) )  u. 
{ <. C ,  ( `' F `  D )
>. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } ) : A -1-1-onto-> A ) )
2823, 27syl 16 . . . . 5  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  ( ( (  _I  |`  ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } ) )  u. 
{ <. C ,  ( `' F `  D )
>. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } ) : A -1-1-onto-> ( ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } )  u.  { C ,  ( `' F `  D ) } )  <->  ( (  _I  |`  ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } ) )  u. 
{ <. C ,  ( `' F `  D )
>. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } ) : A -1-1-onto-> A ) )
2926, 28mpbid 202 . . . 4  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  ( (  _I  |`  ( A  \  { C , 
( `' F `  D ) } ) )  u.  { <. C ,  ( `' F `  D ) >. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } ) : A -1-1-onto-> A )
30 f1oco 5657 . . . 4  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  ( (  _I  |`  ( A  \  { C , 
( `' F `  D ) } ) )  u.  { <. C ,  ( `' F `  D ) >. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } ) : A -1-1-onto-> A )  ->  ( F  o.  ( (  _I  |`  ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } ) )  u. 
{ <. C ,  ( `' F `  D )
>. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } ) ) : A -1-1-onto-> B )
311, 29, 30syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  ( F  o.  (
(  _I  |`  ( A  \  { C , 
( `' F `  D ) } ) )  u.  { <. C ,  ( `' F `  D ) >. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } ) ) : A -1-1-onto-> B )
32 fveqf1o.1 . . . 4  |-  G  =  ( F  o.  (
(  _I  |`  ( A  \  { C , 
( `' F `  D ) } ) )  u.  { <. C ,  ( `' F `  D ) >. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } ) )
33 f1oeq1 5624 . . . 4  |-  ( G  =  ( F  o.  ( (  _I  |`  ( A  \  { C , 
( `' F `  D ) } ) )  u.  { <. C ,  ( `' F `  D ) >. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } ) )  ->  ( G : A -1-1-onto-> B  <->  ( F  o.  ( (  _I  |`  ( A  \  { C , 
( `' F `  D ) } ) )  u.  { <. C ,  ( `' F `  D ) >. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } ) ) : A -1-1-onto-> B ) )
3432, 33ax-mp 8 . . 3  |-  ( G : A -1-1-onto-> B  <->  ( F  o.  ( (  _I  |`  ( A  \  { C , 
( `' F `  D ) } ) )  u.  { <. C ,  ( `' F `  D ) >. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } ) ) : A -1-1-onto-> B )
3531, 34sylibr 204 . 2  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  G : A -1-1-onto-> B )
3632fveq1i 5688 . . . 4  |-  ( G `
 C )  =  ( ( F  o.  ( (  _I  |`  ( A  \  { C , 
( `' F `  D ) } ) )  u.  { <. C ,  ( `' F `  D ) >. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } ) ) `  C )
37 f1of 5633 . . . . . 6  |-  ( ( (  _I  |`  ( A  \  { C , 
( `' F `  D ) } ) )  u.  { <. C ,  ( `' F `  D ) >. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } ) : A -1-1-onto-> A  ->  ( (  _I  |`  ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } ) )  u. 
{ <. C ,  ( `' F `  D )
>. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } ) : A --> A )
3829, 37syl 16 . . . . 5  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  ( (  _I  |`  ( A  \  { C , 
( `' F `  D ) } ) )  u.  { <. C ,  ( `' F `  D ) >. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } ) : A --> A )
39 fvco3 5759 . . . . 5  |-  ( ( ( (  _I  |`  ( A  \  { C , 
( `' F `  D ) } ) )  u.  { <. C ,  ( `' F `  D ) >. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } ) : A --> A  /\  C  e.  A )  ->  ( ( F  o.  ( (  _I  |`  ( A  \  { C , 
( `' F `  D ) } ) )  u.  { <. C ,  ( `' F `  D ) >. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } ) ) `  C )  =  ( F `  ( ( (  _I  |`  ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } ) )  u. 
{ <. C ,  ( `' F `  D )
>. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } ) `
 C ) ) )
4038, 4, 39syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  ( ( F  o.  ( (  _I  |`  ( A  \  { C , 
( `' F `  D ) } ) )  u.  { <. C ,  ( `' F `  D ) >. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } ) ) `  C )  =  ( F `  ( ( (  _I  |`  ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } ) )  u. 
{ <. C ,  ( `' F `  D )
>. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } ) `
 C ) ) )
4136, 40syl5eq 2448 . . 3  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  ( G `  C
)  =  ( F `
 ( ( (  _I  |`  ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } ) )  u. 
{ <. C ,  ( `' F `  D )
>. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } ) `
 C ) ) )
42 fnresi 5521 . . . . . . . 8  |-  (  _I  |`  ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } ) )  Fn  ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } )
4342a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  (  _I  |`  ( A  \  { C , 
( `' F `  D ) } ) )  Fn  ( A 
\  { C , 
( `' F `  D ) } ) )
44 f1ofn 5634 . . . . . . . 8  |-  ( {
<. C ,  ( `' F `  D )
>. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } : { C ,  ( `' F `  D ) } -1-1-onto-> { C ,  ( `' F `  D ) }  ->  { <. C , 
( `' F `  D ) >. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. }  Fn  { C ,  ( `' F `  D ) } )
4511, 44syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  { <. C ,  ( `' F `  D )
>. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. }  Fn  { C ,  ( `' F `  D ) } )
46 prid1g 3870 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  A  ->  C  e.  { C ,  ( `' F `  D ) } )
474, 46syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  C  e.  { C ,  ( `' F `  D ) } )
48 fvun2 5754 . . . . . . 7  |-  ( ( (  _I  |`  ( A  \  { C , 
( `' F `  D ) } ) )  Fn  ( A 
\  { C , 
( `' F `  D ) } )  /\  { <. C , 
( `' F `  D ) >. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. }  Fn  { C ,  ( `' F `  D ) }  /\  ( ( ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } )  i^i  { C ,  ( `' F `  D ) } )  =  (/)  /\  C  e.  { C ,  ( `' F `  D ) } ) )  ->  ( (
(  _I  |`  ( A  \  { C , 
( `' F `  D ) } ) )  u.  { <. C ,  ( `' F `  D ) >. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } ) `
 C )  =  ( { <. C , 
( `' F `  D ) >. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } `  C ) )
4943, 45, 15, 47, 48syl112anc 1188 . . . . . 6  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  ( ( (  _I  |`  ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } ) )  u. 
{ <. C ,  ( `' F `  D )
>. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } ) `
 C )  =  ( { <. C , 
( `' F `  D ) >. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } `  C ) )
50 f1ofun 5635 . . . . . . . 8  |-  ( {
<. C ,  ( `' F `  D )
>. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } : { C ,  ( `' F `  D ) } -1-1-onto-> { C ,  ( `' F `  D ) }  ->  Fun  { <. C ,  ( `' F `  D ) >. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } )
5111, 50syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  Fun  { <. C , 
( `' F `  D ) >. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } )
52 opex 4387 . . . . . . . 8  |-  <. C , 
( `' F `  D ) >.  e.  _V
5352prid1 3872 . . . . . . 7  |-  <. C , 
( `' F `  D ) >.  e.  { <. C ,  ( `' F `  D )
>. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. }
54 funopfv 5725 . . . . . . 7  |-  ( Fun 
{ <. C ,  ( `' F `  D )
>. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. }  ->  (
<. C ,  ( `' F `  D )
>.  e.  { <. C , 
( `' F `  D ) >. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. }  ->  ( { <. C ,  ( `' F `  D )
>. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } `  C )  =  ( `' F `  D ) ) )
5551, 53, 54ee10 1382 . . . . . 6  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  ( { <. C , 
( `' F `  D ) >. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } `  C )  =  ( `' F `  D ) )
5649, 55eqtrd 2436 . . . . 5  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  ( ( (  _I  |`  ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } ) )  u. 
{ <. C ,  ( `' F `  D )
>. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } ) `
 C )  =  ( `' F `  D ) )
5756fveq2d 5691 . . . 4  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  ( F `  (
( (  _I  |`  ( A  \  { C , 
( `' F `  D ) } ) )  u.  { <. C ,  ( `' F `  D ) >. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } ) `
 C ) )  =  ( F `  ( `' F `  D ) ) )
58 f1ocnvfv2 5974 . . . . 5  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  D  e.  B )  ->  ( F `  ( `' F `  D ) )  =  D )
591, 8, 58syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  ( F `  ( `' F `  D ) )  =  D )
6057, 59eqtrd 2436 . . 3  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  ( F `  (
( (  _I  |`  ( A  \  { C , 
( `' F `  D ) } ) )  u.  { <. C ,  ( `' F `  D ) >. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } ) `
 C ) )  =  D )
6141, 60eqtrd 2436 . 2  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  ( G `  C
)  =  D )
6235, 61jca 519 1  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  ( G : A -1-1-onto-> B  /\  ( G `  C
)  =  D ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    \ cdif 3277    u. cun 3278    i^i cin 3279    C_ wss 3280   (/)c0 3588   {cpr 3775   <.cop 3777    _I cid 4453   `'ccnv 4836    |` cres 4839    o. ccom 4841   Fun wfun 5407    Fn wfn 5408   -->wf 5409   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413
This theorem is referenced by:  infxpenc2  7859
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421
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