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Theorem fveqf1o 6108
Description: Given a bijection  F, produce another bijection  G which additionally maps two specified points. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
fveqf1o.1  |-  G  =  ( F  o.  (
(  _I  |`  ( A  \  { C , 
( `' F `  D ) } ) )  u.  { <. C ,  ( `' F `  D ) >. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } ) )
Assertion
Ref Expression
fveqf1o  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  ( G : A -1-1-onto-> B  /\  ( G `  C
)  =  D ) )

Proof of Theorem fveqf1o
StepHypRef Expression
1 simp1 988 . . . 4  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  F : A -1-1-onto-> B )
2 f1oi 5783 . . . . . . . 8  |-  (  _I  |`  ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } ) ) : ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } ) -1-1-onto-> ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } )
32a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  (  _I  |`  ( A  \  { C , 
( `' F `  D ) } ) ) : ( A 
\  { C , 
( `' F `  D ) } ) -1-1-onto-> ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } ) )
4 simp2 989 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  C  e.  A )
5 f1ocnv 5760 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  `' F : B -1-1-onto-> A )
6 f1of 5748 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' F : B -1-1-onto-> A  ->  `' F : B --> A )
71, 5, 63syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  `' F : B --> A )
8 simp3 990 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  D  e.  B )
97, 8ffvelrnd 5952 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  ( `' F `  D )  e.  A
)
10 f1oprswap 5787 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  A  /\  ( `' F `  D )  e.  A )  ->  { <. C ,  ( `' F `  D )
>. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } : { C ,  ( `' F `  D ) } -1-1-onto-> { C ,  ( `' F `  D ) } )
114, 9, 10syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  { <. C ,  ( `' F `  D )
>. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } : { C ,  ( `' F `  D ) } -1-1-onto-> { C ,  ( `' F `  D ) } )
12 incom 3650 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } )  i^i  { C , 
( `' F `  D ) } )  =  ( { C ,  ( `' F `  D ) }  i^i  ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } ) )
13 disjdif 3858 . . . . . . . . 9  |-  ( { C ,  ( `' F `  D ) }  i^i  ( A 
\  { C , 
( `' F `  D ) } ) )  =  (/)
1412, 13eqtri 2483 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } )  i^i  { C , 
( `' F `  D ) } )  =  (/)
1514a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  ( ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } )  i^i  { C ,  ( `' F `  D ) } )  =  (/) )
16 f1oun 5767 . . . . . . 7  |-  ( ( ( (  _I  |`  ( A  \  { C , 
( `' F `  D ) } ) ) : ( A 
\  { C , 
( `' F `  D ) } ) -1-1-onto-> ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } )  /\  { <. C , 
( `' F `  D ) >. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } : { C ,  ( `' F `  D ) } -1-1-onto-> { C ,  ( `' F `  D ) } )  /\  (
( ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } )  i^i  { C ,  ( `' F `  D ) } )  =  (/)  /\  ( ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } )  i^i  { C ,  ( `' F `  D ) } )  =  (/) ) )  ->  (
(  _I  |`  ( A  \  { C , 
( `' F `  D ) } ) )  u.  { <. C ,  ( `' F `  D ) >. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } ) : ( ( A 
\  { C , 
( `' F `  D ) } )  u.  { C , 
( `' F `  D ) } ) -1-1-onto-> ( ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } )  u.  { C ,  ( `' F `  D ) } ) )
173, 11, 15, 15, 16syl22anc 1220 . . . . . 6  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  ( (  _I  |`  ( A  \  { C , 
( `' F `  D ) } ) )  u.  { <. C ,  ( `' F `  D ) >. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } ) : ( ( A 
\  { C , 
( `' F `  D ) } )  u.  { C , 
( `' F `  D ) } ) -1-1-onto-> ( ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } )  u.  { C ,  ( `' F `  D ) } ) )
18 uncom 3607 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } )  u.  { C , 
( `' F `  D ) } )  =  ( { C ,  ( `' F `  D ) }  u.  ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } ) )
19 prssi 4136 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  A  /\  ( `' F `  D )  e.  A )  ->  { C ,  ( `' F `  D ) }  C_  A )
204, 9, 19syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  { C ,  ( `' F `  D ) }  C_  A )
21 undif 3866 . . . . . . . . 9  |-  ( { C ,  ( `' F `  D ) }  C_  A  <->  ( { C ,  ( `' F `  D ) }  u.  ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } ) )  =  A )
2220, 21sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  ( { C , 
( `' F `  D ) }  u.  ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } ) )  =  A )
2318, 22syl5eq 2507 . . . . . . 7  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  ( ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } )  u.  { C ,  ( `' F `  D ) } )  =  A )
24 f1oeq2 5740 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } )  u.  { C ,  ( `' F `  D ) } )  =  A  ->  ( ( (  _I  |`  ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } ) )  u. 
{ <. C ,  ( `' F `  D )
>. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } ) : ( ( A 
\  { C , 
( `' F `  D ) } )  u.  { C , 
( `' F `  D ) } ) -1-1-onto-> ( ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } )  u.  { C ,  ( `' F `  D ) } )  <->  ( (  _I  |`  ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } ) )  u. 
{ <. C ,  ( `' F `  D )
>. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } ) : A -1-1-onto-> ( ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } )  u.  { C ,  ( `' F `  D ) } ) ) )
2523, 24syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  ( ( (  _I  |`  ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } ) )  u. 
{ <. C ,  ( `' F `  D )
>. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } ) : ( ( A 
\  { C , 
( `' F `  D ) } )  u.  { C , 
( `' F `  D ) } ) -1-1-onto-> ( ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } )  u.  { C ,  ( `' F `  D ) } )  <->  ( (  _I  |`  ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } ) )  u. 
{ <. C ,  ( `' F `  D )
>. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } ) : A -1-1-onto-> ( ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } )  u.  { C ,  ( `' F `  D ) } ) ) )
2617, 25mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  ( (  _I  |`  ( A  \  { C , 
( `' F `  D ) } ) )  u.  { <. C ,  ( `' F `  D ) >. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } ) : A -1-1-onto-> ( ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } )  u.  { C ,  ( `' F `  D ) } ) )
27 f1oeq3 5741 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } )  u.  { C ,  ( `' F `  D ) } )  =  A  ->  ( ( (  _I  |`  ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } ) )  u. 
{ <. C ,  ( `' F `  D )
>. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } ) : A -1-1-onto-> ( ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } )  u.  { C ,  ( `' F `  D ) } )  <->  ( (  _I  |`  ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } ) )  u. 
{ <. C ,  ( `' F `  D )
>. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } ) : A -1-1-onto-> A ) )
2823, 27syl 16 . . . . 5  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  ( ( (  _I  |`  ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } ) )  u. 
{ <. C ,  ( `' F `  D )
>. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } ) : A -1-1-onto-> ( ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } )  u.  { C ,  ( `' F `  D ) } )  <->  ( (  _I  |`  ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } ) )  u. 
{ <. C ,  ( `' F `  D )
>. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } ) : A -1-1-onto-> A ) )
2926, 28mpbid 210 . . . 4  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  ( (  _I  |`  ( A  \  { C , 
( `' F `  D ) } ) )  u.  { <. C ,  ( `' F `  D ) >. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } ) : A -1-1-onto-> A )
30 f1oco 5770 . . . 4  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  ( (  _I  |`  ( A  \  { C , 
( `' F `  D ) } ) )  u.  { <. C ,  ( `' F `  D ) >. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } ) : A -1-1-onto-> A )  ->  ( F  o.  ( (  _I  |`  ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } ) )  u. 
{ <. C ,  ( `' F `  D )
>. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } ) ) : A -1-1-onto-> B )
311, 29, 30syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  ( F  o.  (
(  _I  |`  ( A  \  { C , 
( `' F `  D ) } ) )  u.  { <. C ,  ( `' F `  D ) >. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } ) ) : A -1-1-onto-> B )
32 fveqf1o.1 . . . 4  |-  G  =  ( F  o.  (
(  _I  |`  ( A  \  { C , 
( `' F `  D ) } ) )  u.  { <. C ,  ( `' F `  D ) >. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } ) )
33 f1oeq1 5739 . . . 4  |-  ( G  =  ( F  o.  ( (  _I  |`  ( A  \  { C , 
( `' F `  D ) } ) )  u.  { <. C ,  ( `' F `  D ) >. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } ) )  ->  ( G : A -1-1-onto-> B  <->  ( F  o.  ( (  _I  |`  ( A  \  { C , 
( `' F `  D ) } ) )  u.  { <. C ,  ( `' F `  D ) >. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } ) ) : A -1-1-onto-> B ) )
3432, 33ax-mp 5 . . 3  |-  ( G : A -1-1-onto-> B  <->  ( F  o.  ( (  _I  |`  ( A  \  { C , 
( `' F `  D ) } ) )  u.  { <. C ,  ( `' F `  D ) >. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } ) ) : A -1-1-onto-> B )
3531, 34sylibr 212 . 2  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  G : A -1-1-onto-> B )
3632fveq1i 5799 . . . 4  |-  ( G `
 C )  =  ( ( F  o.  ( (  _I  |`  ( A  \  { C , 
( `' F `  D ) } ) )  u.  { <. C ,  ( `' F `  D ) >. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } ) ) `  C )
37 f1of 5748 . . . . . 6  |-  ( ( (  _I  |`  ( A  \  { C , 
( `' F `  D ) } ) )  u.  { <. C ,  ( `' F `  D ) >. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } ) : A -1-1-onto-> A  ->  ( (  _I  |`  ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } ) )  u. 
{ <. C ,  ( `' F `  D )
>. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } ) : A --> A )
3829, 37syl 16 . . . . 5  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  ( (  _I  |`  ( A  \  { C , 
( `' F `  D ) } ) )  u.  { <. C ,  ( `' F `  D ) >. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } ) : A --> A )
39 fvco3 5876 . . . . 5  |-  ( ( ( (  _I  |`  ( A  \  { C , 
( `' F `  D ) } ) )  u.  { <. C ,  ( `' F `  D ) >. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } ) : A --> A  /\  C  e.  A )  ->  ( ( F  o.  ( (  _I  |`  ( A  \  { C , 
( `' F `  D ) } ) )  u.  { <. C ,  ( `' F `  D ) >. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } ) ) `  C )  =  ( F `  ( ( (  _I  |`  ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } ) )  u. 
{ <. C ,  ( `' F `  D )
>. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } ) `
 C ) ) )
4038, 4, 39syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  ( ( F  o.  ( (  _I  |`  ( A  \  { C , 
( `' F `  D ) } ) )  u.  { <. C ,  ( `' F `  D ) >. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } ) ) `  C )  =  ( F `  ( ( (  _I  |`  ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } ) )  u. 
{ <. C ,  ( `' F `  D )
>. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } ) `
 C ) ) )
4136, 40syl5eq 2507 . . 3  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  ( G `  C
)  =  ( F `
 ( ( (  _I  |`  ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } ) )  u. 
{ <. C ,  ( `' F `  D )
>. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } ) `
 C ) ) )
42 fnresi 5635 . . . . . . . 8  |-  (  _I  |`  ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } ) )  Fn  ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } )
4342a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  (  _I  |`  ( A  \  { C , 
( `' F `  D ) } ) )  Fn  ( A 
\  { C , 
( `' F `  D ) } ) )
44 f1ofn 5749 . . . . . . . 8  |-  ( {
<. C ,  ( `' F `  D )
>. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } : { C ,  ( `' F `  D ) } -1-1-onto-> { C ,  ( `' F `  D ) }  ->  { <. C , 
( `' F `  D ) >. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. }  Fn  { C ,  ( `' F `  D ) } )
4511, 44syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  { <. C ,  ( `' F `  D )
>. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. }  Fn  { C ,  ( `' F `  D ) } )
46 prid1g 4088 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  A  ->  C  e.  { C ,  ( `' F `  D ) } )
474, 46syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  C  e.  { C ,  ( `' F `  D ) } )
48 fvun2 5871 . . . . . . 7  |-  ( ( (  _I  |`  ( A  \  { C , 
( `' F `  D ) } ) )  Fn  ( A 
\  { C , 
( `' F `  D ) } )  /\  { <. C , 
( `' F `  D ) >. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. }  Fn  { C ,  ( `' F `  D ) }  /\  ( ( ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } )  i^i  { C ,  ( `' F `  D ) } )  =  (/)  /\  C  e.  { C ,  ( `' F `  D ) } ) )  ->  ( (
(  _I  |`  ( A  \  { C , 
( `' F `  D ) } ) )  u.  { <. C ,  ( `' F `  D ) >. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } ) `
 C )  =  ( { <. C , 
( `' F `  D ) >. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } `  C ) )
4943, 45, 15, 47, 48syl112anc 1223 . . . . . 6  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  ( ( (  _I  |`  ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } ) )  u. 
{ <. C ,  ( `' F `  D )
>. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } ) `
 C )  =  ( { <. C , 
( `' F `  D ) >. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } `  C ) )
50 f1ofun 5750 . . . . . . . 8  |-  ( {
<. C ,  ( `' F `  D )
>. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } : { C ,  ( `' F `  D ) } -1-1-onto-> { C ,  ( `' F `  D ) }  ->  Fun  { <. C ,  ( `' F `  D ) >. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } )
5111, 50syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  Fun  { <. C , 
( `' F `  D ) >. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } )
52 opex 4663 . . . . . . . 8  |-  <. C , 
( `' F `  D ) >.  e.  _V
5352prid1 4090 . . . . . . 7  |-  <. C , 
( `' F `  D ) >.  e.  { <. C ,  ( `' F `  D )
>. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. }
54 funopfv 5839 . . . . . . 7  |-  ( Fun 
{ <. C ,  ( `' F `  D )
>. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. }  ->  (
<. C ,  ( `' F `  D )
>.  e.  { <. C , 
( `' F `  D ) >. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. }  ->  ( { <. C ,  ( `' F `  D )
>. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } `  C )  =  ( `' F `  D ) ) )
5551, 53, 54mpisyl 18 . . . . . 6  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  ( { <. C , 
( `' F `  D ) >. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } `  C )  =  ( `' F `  D ) )
5649, 55eqtrd 2495 . . . . 5  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  ( ( (  _I  |`  ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } ) )  u. 
{ <. C ,  ( `' F `  D )
>. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } ) `
 C )  =  ( `' F `  D ) )
5756fveq2d 5802 . . . 4  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  ( F `  (
( (  _I  |`  ( A  \  { C , 
( `' F `  D ) } ) )  u.  { <. C ,  ( `' F `  D ) >. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } ) `
 C ) )  =  ( F `  ( `' F `  D ) ) )
58 f1ocnvfv2 6092 . . . . 5  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  D  e.  B )  ->  ( F `  ( `' F `  D ) )  =  D )
591, 8, 58syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  ( F `  ( `' F `  D ) )  =  D )
6057, 59eqtrd 2495 . . 3  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  ( F `  (
( (  _I  |`  ( A  \  { C , 
( `' F `  D ) } ) )  u.  { <. C ,  ( `' F `  D ) >. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } ) `
 C ) )  =  D )
6141, 60eqtrd 2495 . 2  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  ( G `  C
)  =  D )
6235, 61jca 532 1  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  ( G : A -1-1-onto-> B  /\  ( G `  C
)  =  D ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    \ cdif 3432    u. cun 3433    i^i cin 3434    C_ wss 3435   (/)c0 3744   {cpr 3986   <.cop 3990    _I cid 4738   `'ccnv 4946    |` cres 4949    o. ccom 4951   Fun wfun 5519    Fn wfn 5520   -->wf 5521   -1-1-onto->wf1o 5524   ` cfv 5525
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-ral 2803  df-rex 2804  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-nul 3745  df-if 3899  df-sn 3985  df-pr 3987  df-op 3991  df-uni 4199  df-br 4400  df-opab 4458  df-id 4743  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533
This theorem is referenced by:  infxpenc2  8298  infxpenc2OLD  8302
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