Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fveqf1o Structured version   Unicode version

Theorem fveqf1o 6193
 Description: Given a bijection , produce another bijection which additionally maps two specified points. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
fveqf1o.1
Assertion
Ref Expression
fveqf1o

Proof of Theorem fveqf1o
StepHypRef Expression
1 simp1 996 . . . 4
2 f1oi 5851 . . . . . . . 8
32a1i 11 . . . . . . 7
4 simp2 997 . . . . . . . 8
5 f1ocnv 5828 . . . . . . . . . 10
6 f1of 5816 . . . . . . . . . 10
71, 5, 63syl 20 . . . . . . . . 9
8 simp3 998 . . . . . . . . 9
97, 8ffvelrnd 6022 . . . . . . . 8
10 f1oprswap 5855 . . . . . . . 8
114, 9, 10syl2anc 661 . . . . . . 7
12 incom 3691 . . . . . . . . 9
13 disjdif 3899 . . . . . . . . 9
1412, 13eqtri 2496 . . . . . . . 8
1514a1i 11 . . . . . . 7
16 f1oun 5835 . . . . . . 7
173, 11, 15, 15, 16syl22anc 1229 . . . . . 6
18 uncom 3648 . . . . . . . 8
19 prssi 4183 . . . . . . . . . 10
204, 9, 19syl2anc 661 . . . . . . . . 9
21 undif 3907 . . . . . . . . 9
2220, 21sylib 196 . . . . . . . 8
2318, 22syl5eq 2520 . . . . . . 7
24 f1oeq2 5808 . . . . . . 7
2523, 24syl 16 . . . . . 6
2617, 25mpbid 210 . . . . 5
27 f1oeq3 5809 . . . . . 6
2823, 27syl 16 . . . . 5
2926, 28mpbid 210 . . . 4
30 f1oco 5838 . . . 4
311, 29, 30syl2anc 661 . . 3
32 fveqf1o.1 . . . 4
33 f1oeq1 5807 . . . 4
3432, 33ax-mp 5 . . 3
3531, 34sylibr 212 . 2
3632fveq1i 5867 . . . 4
37 f1of 5816 . . . . . 6
3829, 37syl 16 . . . . 5
39 fvco3 5944 . . . . 5
4038, 4, 39syl2anc 661 . . . 4
4136, 40syl5eq 2520 . . 3
42 fnresi 5698 . . . . . . . 8
4342a1i 11 . . . . . . 7
44 f1ofn 5817 . . . . . . . 8
4511, 44syl 16 . . . . . . 7
46 prid1g 4133 . . . . . . . 8
474, 46syl 16 . . . . . . 7
48 fvun2 5939 . . . . . . 7
4943, 45, 15, 47, 48syl112anc 1232 . . . . . 6
50 f1ofun 5818 . . . . . . . 8
5111, 50syl 16 . . . . . . 7
52 opex 4711 . . . . . . . 8
5352prid1 4135 . . . . . . 7
54 funopfv 5907 . . . . . . 7
5551, 53, 54mpisyl 18 . . . . . 6
5649, 55eqtrd 2508 . . . . 5
5756fveq2d 5870 . . . 4
58 f1ocnvfv2 6171 . . . . 5
591, 8, 58syl2anc 661 . . . 4
6057, 59eqtrd 2508 . . 3
6141, 60eqtrd 2508 . 2
6235, 61jca 532 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 973   wceq 1379   wcel 1767   cdif 3473   cun 3474   cin 3475   wss 3476  c0 3785  cpr 4029  cop 4033   cid 4790  ccnv 4998   cres 5001   ccom 5003   wfun 5582   wfn 5583  wf 5584  wf1o 5587  cfv 5588 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596 This theorem is referenced by:  infxpenc2  8399  infxpenc2OLD  8403
 Copyright terms: Public domain W3C validator