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Theorem fveqf1o 5995
Description: Given a bijection F, produce another bijection G which additionally maps two specified points. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
fveqf1o.1 |- G = ( F o. ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) u. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ) )
Assertion
Ref Expression
fveqf1o |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A /\ D e. B ) -> ( G : A -1-1-onto-> B /\ ( G ` C ) = D ) )
Proof of Theorem fveqf1o
StepHypRef Expression
1 simp1 988 . . . 4 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A /\ D e. B ) -> F : A -1-1-onto-> B )
2 f1oi 5671 . . . . . . . 8 |- ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) : ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) -1-1-onto-> ( A \ { C , ( `' F ` D ) } )
32a1i 11 . . . . . . 7 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A /\ D e. B ) -> ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) : ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) -1-1-onto-> ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) )
4 simp2 989 . . . . . . . 8 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A /\ D e. B ) -> C e. A )
5 f1ocnv 5648 . . . . . . . . . 10 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> `' F : B -1-1-onto-> A )
6 f1of 5636 . . . . . . . . . 10 |- ( `' F : B -1-1-onto-> A -> `' F : B --> A )
71, 5, 63syl 20 . . . . . . . . 9 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A /\ D e. B ) -> `' F : B --> A )
8 simp3 990 . . . . . . . . 9 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A /\ D e. B ) -> D e. B )
97, 8ffvelrnd 5839 . . . . . . . 8 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A /\ D e. B ) -> ( `' F ` D ) e. A )
10 f1oprswap 5675 . . . . . . . 8 |- ( ( C e. A /\ ( `' F ` D ) e. A ) -> { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } : { C , ( `' F ` D ) } -1-1-onto-> { C , ( `' F ` D ) } )
114, 9, 10syl2anc 661 . . . . . . 7 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A /\ D e. B ) -> { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } : { C , ( `' F ` D ) } -1-1-onto-> { C , ( `' F ` D ) } )
12 incom 3538 . . . . . . . . 9 |- ( ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) i^i { C , ( `' F ` D ) } ) = ( { C , ( `' F ` D ) } i^i ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) )
13 disjdif 3746 . . . . . . . . 9 |- ( { C , ( `' F ` D ) } i^i ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) = (/)
1412, 13eqtri 2458 . . . . . . . 8 |- ( ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) i^i { C , ( `' F ` D ) } ) = (/)
1514a1i 11 . . . . . . 7 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A /\ D e. B ) -> ( ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) i^i { C , ( `' F ` D ) } ) = (/) )
16 f1oun 5655 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) : ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) -1-1-onto-> ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) /\ { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } : { C , ( `' F ` D ) } -1-1-onto-> { C , ( `' F ` D ) } ) /\ ( ( ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) i^i { C , ( `' F ` D ) } ) = (/) /\ ( ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) i^i { C , ( `' F ` D ) } ) = (/) ) ) -> ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) u. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ) : ( ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) u. { C , ( `' F ` D ) } ) -1-1-onto-> ( ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) u. { C , ( `' F ` D ) } ) )
173, 11, 15, 15, 16syl22anc 1219 . . . . . 6 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A /\ D e. B ) -> ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) u. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ) : ( ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) u. { C , ( `' F ` D ) } ) -1-1-onto-> ( ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) u. { C , ( `' F ` D ) } ) )
18 uncom 3495 . . . . . . . 8 |- ( ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) u. { C , ( `' F ` D ) } ) = ( { C , ( `' F ` D ) } u. ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) )
19 prssi 4024 . . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. A /\ ( `' F ` D ) e. A ) -> { C , ( `' F ` D ) } C_ A )
204, 9, 19syl2anc 661 . . . . . . . . 9 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A /\ D e. B ) -> { C , ( `' F ` D ) } C_ A )
21 undif 3754 . . . . . . . . 9 |- ( { C , ( `' F ` D ) } C_ A <-> ( { C , ( `' F ` D ) } u. ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) = A )
2220, 21sylib 196 . . . . . . . 8 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A /\ D e. B ) -> ( { C , ( `' F ` D ) } u. ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) = A )
2318, 22syl5eq 2482 . . . . . . 7 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A /\ D e. B ) -> ( ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) u. { C , ( `' F ` D ) } ) = A )
24 f1oeq2 5628 . . . . . . 7 |- ( ( ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) u. { C , ( `' F ` D ) } ) = A -> ( ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) u. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ) : ( ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) u. { C , ( `' F ` D ) } ) -1-1-onto-> ( ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) u. { C , ( `' F ` D ) } ) <-> ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) u. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ) : A -1-1-onto-> ( ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) u. { C , ( `' F ` D ) } ) ) )
2523, 24syl 16 . . . . . 6 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A /\ D e. B ) -> ( ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) u. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ) : ( ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) u. { C , ( `' F ` D ) } ) -1-1-onto-> ( ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) u. { C , ( `' F ` D ) } ) <-> ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) u. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ) : A -1-1-onto-> ( ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) u. { C , ( `' F ` D ) } ) ) )
2617, 25mpbid 210 . . . . 5 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A /\ D e. B ) -> ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) u. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ) : A -1-1-onto-> ( ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) u. { C , ( `' F ` D ) } ) )
27 f1oeq3 5629 . . . . . 6 |- ( ( ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) u. { C , ( `' F ` D ) } ) = A -> ( ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) u. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ) : A -1-1-onto-> ( ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) u. { C , ( `' F ` D ) } ) <-> ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) u. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ) : A -1-1-onto-> A ) )
2823, 27syl 16 . . . . 5 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A /\ D e. B ) -> ( ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) u. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ) : A -1-1-onto-> ( ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) u. { C , ( `' F ` D ) } ) <-> ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) u. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ) : A -1-1-onto-> A ) )
2926, 28mpbid 210 . . . 4 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A /\ D e. B ) -> ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) u. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ) : A -1-1-onto-> A )
30 f1oco 5658 . . . 4 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) u. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ) : A -1-1-onto-> A ) -> ( F o. ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) u. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ) ) : A -1-1-onto-> B )
311, 29, 30syl2anc 661 . . 3 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A /\ D e. B ) -> ( F o. ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) u. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ) ) : A -1-1-onto-> B )
32 fveqf1o.1 . . . 4 |- G = ( F o. ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) u. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ) )
33 f1oeq1 5627 . . . 4 |- ( G = ( F o. ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) u. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ) ) -> ( G : A -1-1-onto-> B <-> ( F o. ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) u. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ) ) : A -1-1-onto-> B ) )
3432, 33ax-mp 5 . . 3 |- ( G : A -1-1-onto-> B <-> ( F o. ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) u. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ) ) : A -1-1-onto-> B )
3531, 34sylibr 212 . 2 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A /\ D e. B ) -> G : A -1-1-onto-> B )
3632fveq1i 5687 . . . 4 |- ( G ` C ) = ( ( F o. ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) u. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ) ) ` C )
37 f1of 5636 . . . . . 6 |- ( ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) u. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ) : A -1-1-onto-> A -> ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) u. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ) : A --> A )
3829, 37syl 16 . . . . 5 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A /\ D e. B ) -> ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) u. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ) : A --> A )
39 fvco3 5763 . . . . 5 |- ( ( ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) u. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ) : A --> A /\ C e. A ) -> ( ( F o. ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) u. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ) ) ` C ) = ( F ` ( ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) u. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ) ` C ) ) )
4038, 4, 39syl2anc 661 . . . 4 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A /\ D e. B ) -> ( ( F o. ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) u. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ) ) ` C ) = ( F ` ( ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) u. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ) ` C ) ) )
4136, 40syl5eq 2482 . . 3 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A /\ D e. B ) -> ( G ` C ) = ( F ` ( ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) u. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ) ` C ) ) )
42 fnresi 5523 . . . . . . . 8 |- ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) Fn ( A \ { C , ( `' F ` D ) } )
4342a1i 11 . . . . . . 7 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A /\ D e. B ) -> ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) Fn ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) )
44 f1ofn 5637 . . . . . . . 8 |- ( { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } : { C , ( `' F ` D ) } -1-1-onto-> { C , ( `' F ` D ) } -> { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } Fn { C , ( `' F ` D ) } )
4511, 44syl 16 . . . . . . 7 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A /\ D e. B ) -> { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } Fn { C , ( `' F ` D ) } )
46 prid1g 3976 . . . . . . . 8 |- ( C e. A -> C e. { C , ( `' F ` D ) } )
474, 46syl 16 . . . . . . 7 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A /\ D e. B ) -> C e. { C , ( `' F ` D ) } )
48 fvun2 5758 . . . . . . 7 |- ( ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) Fn ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) /\ { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } Fn { C , ( `' F ` D ) } /\ ( ( ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) i^i { C , ( `' F ` D ) } ) = (/) /\ C e. { C , ( `' F ` D ) } ) ) -> ( ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) u. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ) ` C ) = ( { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ` C ) )
4943, 45, 15, 47, 48syl112anc 1222 . . . . . 6 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A /\ D e. B ) -> ( ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) u. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ) ` C ) = ( { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ` C ) )
50 f1ofun 5638 . . . . . . . 8 |- ( { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } : { C , ( `' F ` D ) } -1-1-onto-> { C , ( `' F ` D ) } -> Fun { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } )
5111, 50syl 16 . . . . . . 7 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A /\ D e. B ) -> Fun { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } )
52 opex 4551 . . . . . . . 8 |- <. C , ( `' F ` D ) >. e. _V
5352prid1 3978 . . . . . . 7 |- <. C , ( `' F ` D ) >. e. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. }
54 funopfv 5726 . . . . . . 7 |- ( Fun { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } -> ( <. C , ( `' F ` D ) >. e. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } -> ( { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ` C ) = ( `' F ` D ) ) )
5551, 53, 54mpisyl 18 . . . . . 6 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A /\ D e. B ) -> ( { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ` C ) = ( `' F ` D ) )
5649, 55eqtrd 2470 . . . . 5 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A /\ D e. B ) -> ( ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) u. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ) ` C ) = ( `' F ` D ) )
5756fveq2d 5690 . . . 4 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A /\ D e. B ) -> ( F ` ( ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) u. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ) ` C ) ) = ( F ` ( `' F ` D ) ) )
58 f1ocnvfv2 5979 . . . . 5 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ D e. B ) -> ( F ` ( `' F ` D ) ) = D )
591, 8, 58syl2anc 661 . . . 4 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A /\ D e. B ) -> ( F ` ( `' F ` D ) ) = D )
6057, 59eqtrd 2470 . . 3 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A /\ D e. B ) -> ( F ` ( ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) u. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ) ` C ) ) = D )
6141, 60eqtrd 2470 . 2 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A /\ D e. B ) -> ( G ` C ) = D )
6235, 61jca 532 1 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A /\ D e. B ) -> ( G : A -1-1-onto-> B /\ ( G ` C ) = D ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   \ cdif 3320   u. cun 3321   i^i cin 3322   C_ wss 3323   (/)c0 3632   {cpr 3874   <.cop 3878   _I cid 4626   `'ccnv 4834   |` cres 4837   o. ccom 4839   Fun wfun 5407   Fn wfn 5408   -->wf 5409   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-br 4288  df-opab 4346  df-id 4631  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421
This theorem is referenced by:  infxpenc2  8180  infxpenc2OLD  8184
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