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Theorem fveqf1o 6108
Description: Given a bijection F, produce another bijection G which additionally maps two specified points. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
fveqf1o.1 |- G = ( F o. ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) u. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ) )
Assertion
Ref Expression
fveqf1o |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A /\ D e. B ) -> ( G : A -1-1-onto-> B /\ ( G ` C ) = D ) )
Proof of Theorem fveqf1o
StepHypRef Expression
1 simp1 988 . . . 4 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A /\ D e. B ) -> F : A -1-1-onto-> B )
2 f1oi 5783 . . . . . . . 8 |- ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) : ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) -1-1-onto-> ( A \ { C , ( `' F ` D ) } )
32a1i 11 . . . . . . 7 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A /\ D e. B ) -> ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) : ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) -1-1-onto-> ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) )
4 simp2 989 . . . . . . . 8 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A /\ D e. B ) -> C e. A )
5 f1ocnv 5760 . . . . . . . . . 10 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> `' F : B -1-1-onto-> A )
6 f1of 5748 . . . . . . . . . 10 |- ( `' F : B -1-1-onto-> A -> `' F : B --> A )
71, 5, 63syl 20 . . . . . . . . 9 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A /\ D e. B ) -> `' F : B --> A )
8 simp3 990 . . . . . . . . 9 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A /\ D e. B ) -> D e. B )
97, 8ffvelrnd 5952 . . . . . . . 8 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A /\ D e. B ) -> ( `' F ` D ) e. A )
10 f1oprswap 5787 . . . . . . . 8 |- ( ( C e. A /\ ( `' F ` D ) e. A ) -> { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } : { C , ( `' F ` D ) } -1-1-onto-> { C , ( `' F ` D ) } )
114, 9, 10syl2anc 661 . . . . . . 7 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A /\ D e. B ) -> { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } : { C , ( `' F ` D ) } -1-1-onto-> { C , ( `' F ` D ) } )
12 incom 3650 . . . . . . . . 9 |- ( ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) i^i { C , ( `' F ` D ) } ) = ( { C , ( `' F ` D ) } i^i ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) )
13 disjdif 3858 . . . . . . . . 9 |- ( { C , ( `' F ` D ) } i^i ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) = (/)
1412, 13eqtri 2483 . . . . . . . 8 |- ( ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) i^i { C , ( `' F ` D ) } ) = (/)
1514a1i 11 . . . . . . 7 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A /\ D e. B ) -> ( ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) i^i { C , ( `' F ` D ) } ) = (/) )
16 f1oun 5767 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) : ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) -1-1-onto-> ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) /\ { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } : { C , ( `' F ` D ) } -1-1-onto-> { C , ( `' F ` D ) } ) /\ ( ( ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) i^i { C , ( `' F ` D ) } ) = (/) /\ ( ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) i^i { C , ( `' F ` D ) } ) = (/) ) ) -> ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) u. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ) : ( ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) u. { C , ( `' F ` D ) } ) -1-1-onto-> ( ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) u. { C , ( `' F ` D ) } ) )
173, 11, 15, 15, 16syl22anc 1220 . . . . . 6 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A /\ D e. B ) -> ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) u. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ) : ( ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) u. { C , ( `' F ` D ) } ) -1-1-onto-> ( ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) u. { C , ( `' F ` D ) } ) )
18 uncom 3607 . . . . . . . 8 |- ( ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) u. { C , ( `' F ` D ) } ) = ( { C , ( `' F ` D ) } u. ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) )
19 prssi 4136 . . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. A /\ ( `' F ` D ) e. A ) -> { C , ( `' F ` D ) } C_ A )
204, 9, 19syl2anc 661 . . . . . . . . 9 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A /\ D e. B ) -> { C , ( `' F ` D ) } C_ A )
21 undif 3866 . . . . . . . . 9 |- ( { C , ( `' F ` D ) } C_ A <-> ( { C , ( `' F ` D ) } u. ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) = A )
2220, 21sylib 196 . . . . . . . 8 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A /\ D e. B ) -> ( { C , ( `' F ` D ) } u. ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) = A )
2318, 22syl5eq 2507 . . . . . . 7 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A /\ D e. B ) -> ( ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) u. { C , ( `' F ` D ) } ) = A )
24 f1oeq2 5740 . . . . . . 7 |- ( ( ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) u. { C , ( `' F ` D ) } ) = A -> ( ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) u. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ) : ( ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) u. { C , ( `' F ` D ) } ) -1-1-onto-> ( ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) u. { C , ( `' F ` D ) } ) <-> ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) u. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ) : A -1-1-onto-> ( ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) u. { C , ( `' F ` D ) } ) ) )
2523, 24syl 16 . . . . . 6 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A /\ D e. B ) -> ( ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) u. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ) : ( ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) u. { C , ( `' F ` D ) } ) -1-1-onto-> ( ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) u. { C , ( `' F ` D ) } ) <-> ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) u. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ) : A -1-1-onto-> ( ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) u. { C , ( `' F ` D ) } ) ) )
2617, 25mpbid 210 . . . . 5 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A /\ D e. B ) -> ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) u. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ) : A -1-1-onto-> ( ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) u. { C , ( `' F ` D ) } ) )
27 f1oeq3 5741 . . . . . 6 |- ( ( ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) u. { C , ( `' F ` D ) } ) = A -> ( ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) u. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ) : A -1-1-onto-> ( ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) u. { C , ( `' F ` D ) } ) <-> ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) u. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ) : A -1-1-onto-> A ) )
2823, 27syl 16 . . . . 5 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A /\ D e. B ) -> ( ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) u. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ) : A -1-1-onto-> ( ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) u. { C , ( `' F ` D ) } ) <-> ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) u. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ) : A -1-1-onto-> A ) )
2926, 28mpbid 210 . . . 4 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A /\ D e. B ) -> ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) u. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ) : A -1-1-onto-> A )
30 f1oco 5770 . . . 4 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) u. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ) : A -1-1-onto-> A ) -> ( F o. ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) u. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ) ) : A -1-1-onto-> B )
311, 29, 30syl2anc 661 . . 3 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A /\ D e. B ) -> ( F o. ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) u. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ) ) : A -1-1-onto-> B )
32 fveqf1o.1 . . . 4 |- G = ( F o. ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) u. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ) )
33 f1oeq1 5739 . . . 4 |- ( G = ( F o. ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) u. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ) ) -> ( G : A -1-1-onto-> B <-> ( F o. ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) u. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ) ) : A -1-1-onto-> B ) )
3432, 33ax-mp 5 . . 3 |- ( G : A -1-1-onto-> B <-> ( F o. ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) u. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ) ) : A -1-1-onto-> B )
3531, 34sylibr 212 . 2 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A /\ D e. B ) -> G : A -1-1-onto-> B )
3632fveq1i 5799 . . . 4 |- ( G ` C ) = ( ( F o. ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) u. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ) ) ` C )
37 f1of 5748 . . . . . 6 |- ( ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) u. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ) : A -1-1-onto-> A -> ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) u. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ) : A --> A )
3829, 37syl 16 . . . . 5 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A /\ D e. B ) -> ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) u. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ) : A --> A )
39 fvco3 5876 . . . . 5 |- ( ( ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) u. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ) : A --> A /\ C e. A ) -> ( ( F o. ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) u. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ) ) ` C ) = ( F ` ( ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) u. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ) ` C ) ) )
4038, 4, 39syl2anc 661 . . . 4 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A /\ D e. B ) -> ( ( F o. ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) u. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ) ) ` C ) = ( F ` ( ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) u. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ) ` C ) ) )
4136, 40syl5eq 2507 . . 3 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A /\ D e. B ) -> ( G ` C ) = ( F ` ( ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) u. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ) ` C ) ) )
42 fnresi 5635 . . . . . . . 8 |- ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) Fn ( A \ { C , ( `' F ` D ) } )
4342a1i 11 . . . . . . 7 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A /\ D e. B ) -> ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) Fn ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) )
44 f1ofn 5749 . . . . . . . 8 |- ( { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } : { C , ( `' F ` D ) } -1-1-onto-> { C , ( `' F ` D ) } -> { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } Fn { C , ( `' F ` D ) } )
4511, 44syl 16 . . . . . . 7 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A /\ D e. B ) -> { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } Fn { C , ( `' F ` D ) } )
46 prid1g 4088 . . . . . . . 8 |- ( C e. A -> C e. { C , ( `' F ` D ) } )
474, 46syl 16 . . . . . . 7 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A /\ D e. B ) -> C e. { C , ( `' F ` D ) } )
48 fvun2 5871 . . . . . . 7 |- ( ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) Fn ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) /\ { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } Fn { C , ( `' F ` D ) } /\ ( ( ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) i^i { C , ( `' F ` D ) } ) = (/) /\ C e. { C , ( `' F ` D ) } ) ) -> ( ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) u. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ) ` C ) = ( { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ` C ) )
4943, 45, 15, 47, 48syl112anc 1223 . . . . . 6 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A /\ D e. B ) -> ( ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) u. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ) ` C ) = ( { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ` C ) )
50 f1ofun 5750 . . . . . . . 8 |- ( { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } : { C , ( `' F ` D ) } -1-1-onto-> { C , ( `' F ` D ) } -> Fun { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } )
5111, 50syl 16 . . . . . . 7 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A /\ D e. B ) -> Fun { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } )
52 opex 4663 . . . . . . . 8 |- <. C , ( `' F ` D ) >. e. _V
5352prid1 4090 . . . . . . 7 |- <. C , ( `' F ` D ) >. e. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. }
54 funopfv 5839 . . . . . . 7 |- ( Fun { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } -> ( <. C , ( `' F ` D ) >. e. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } -> ( { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ` C ) = ( `' F ` D ) ) )
5551, 53, 54mpisyl 18 . . . . . 6 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A /\ D e. B ) -> ( { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ` C ) = ( `' F ` D ) )
5649, 55eqtrd 2495 . . . . 5 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A /\ D e. B ) -> ( ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) u. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ) ` C ) = ( `' F ` D ) )
5756fveq2d 5802 . . . 4 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A /\ D e. B ) -> ( F ` ( ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) u. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ) ` C ) ) = ( F ` ( `' F ` D ) ) )
58 f1ocnvfv2 6092 . . . . 5 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ D e. B ) -> ( F ` ( `' F ` D ) ) = D )
591, 8, 58syl2anc 661 . . . 4 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A /\ D e. B ) -> ( F ` ( `' F ` D ) ) = D )
6057, 59eqtrd 2495 . . 3 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A /\ D e. B ) -> ( F ` ( ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) u. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ) ` C ) ) = D )
6141, 60eqtrd 2495 . 2 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A /\ D e. B ) -> ( G ` C ) = D )
6235, 61jca 532 1 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A /\ D e. B ) -> ( G : A -1-1-onto-> B /\ ( G ` C ) = D ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1370   e. wcel 1758   \ cdif 3432   u. cun 3433   i^i cin 3434   C_ wss 3435   (/)c0 3744   {cpr 3986   <.cop 3990   _I cid 4738   `'ccnv 4946   |` cres 4949   o. ccom 4951   Fun wfun 5519   Fn wfn 5520   -->wf 5521   -1-1-onto->wf1o 5524   ` cfv 5525
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-ral 2803  df-rex 2804  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-nul 3745  df-if 3899  df-sn 3985  df-pr 3987  df-op 3991  df-uni 4199  df-br 4400  df-opab 4458  df-id 4743  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533
This theorem is referenced by:  infxpenc2  8298  infxpenc2OLD  8302
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