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Theorem fveqf1o 6215
Description: Given a bijection F, produce another bijection G which additionally maps two specified points. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
fveqf1o.1 |- G = ( F o. ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) u. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ) )
Assertion
Ref Expression
fveqf1o |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A /\ D e. B ) -> ( G : A -1-1-onto-> B /\ ( G ` C ) = D ) )
Proof of Theorem fveqf1o
StepHypRef Expression
1 simp1 1005 . . . 4 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A /\ D e. B ) -> F : A -1-1-onto-> B )
2 f1oi 5866 . . . . . . . 8 |- ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) : ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) -1-1-onto-> ( A \ { C , ( `' F ` D ) } )
32a1i 11 . . . . . . 7 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A /\ D e. B ) -> ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) : ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) -1-1-onto-> ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) )
4 simp2 1006 . . . . . . . 8 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A /\ D e. B ) -> C e. A )
5 f1ocnv 5843 . . . . . . . . . 10 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> `' F : B -1-1-onto-> A )
6 f1of 5831 . . . . . . . . . 10 |- ( `' F : B -1-1-onto-> A -> `' F : B --> A )
71, 5, 63syl 18 . . . . . . . . 9 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A /\ D e. B ) -> `' F : B --> A )
8 simp3 1007 . . . . . . . . 9 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A /\ D e. B ) -> D e. B )
97, 8ffvelrnd 6038 . . . . . . . 8 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A /\ D e. B ) -> ( `' F ` D ) e. A )
10 f1oprswap 5870 . . . . . . . 8 |- ( ( C e. A /\ ( `' F ` D ) e. A ) -> { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } : { C , ( `' F ` D ) } -1-1-onto-> { C , ( `' F ` D ) } )
114, 9, 10syl2anc 665 . . . . . . 7 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A /\ D e. B ) -> { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } : { C , ( `' F ` D ) } -1-1-onto-> { C , ( `' F ` D ) } )
12 incom 3661 . . . . . . . . 9 |- ( ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) i^i { C , ( `' F ` D ) } ) = ( { C , ( `' F ` D ) } i^i ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) )
13 disjdif 3873 . . . . . . . . 9 |- ( { C , ( `' F ` D ) } i^i ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) = (/)
1412, 13eqtri 2458 . . . . . . . 8 |- ( ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) i^i { C , ( `' F ` D ) } ) = (/)
1514a1i 11 . . . . . . 7 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A /\ D e. B ) -> ( ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) i^i { C , ( `' F ` D ) } ) = (/) )
16 f1oun 5850 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) : ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) -1-1-onto-> ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) /\ { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } : { C , ( `' F ` D ) } -1-1-onto-> { C , ( `' F ` D ) } ) /\ ( ( ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) i^i { C , ( `' F ` D ) } ) = (/) /\ ( ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) i^i { C , ( `' F ` D ) } ) = (/) ) ) -> ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) u. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ) : ( ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) u. { C , ( `' F ` D ) } ) -1-1-onto-> ( ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) u. { C , ( `' F ` D ) } ) )
173, 11, 15, 15, 16syl22anc 1265 . . . . . 6 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A /\ D e. B ) -> ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) u. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ) : ( ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) u. { C , ( `' F ` D ) } ) -1-1-onto-> ( ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) u. { C , ( `' F ` D ) } ) )
18 uncom 3616 . . . . . . . 8 |- ( ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) u. { C , ( `' F ` D ) } ) = ( { C , ( `' F ` D ) } u. ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) )
19 prssi 4159 . . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. A /\ ( `' F ` D ) e. A ) -> { C , ( `' F ` D ) } C_ A )
204, 9, 19syl2anc 665 . . . . . . . . 9 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A /\ D e. B ) -> { C , ( `' F ` D ) } C_ A )
21 undif 3882 . . . . . . . . 9 |- ( { C , ( `' F ` D ) } C_ A <-> ( { C , ( `' F ` D ) } u. ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) = A )
2220, 21sylib 199 . . . . . . . 8 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A /\ D e. B ) -> ( { C , ( `' F ` D ) } u. ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) = A )
2318, 22syl5eq 2482 . . . . . . 7 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A /\ D e. B ) -> ( ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) u. { C , ( `' F ` D ) } ) = A )
24 f1oeq2 5823 . . . . . . 7 |- ( ( ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) u. { C , ( `' F ` D ) } ) = A -> ( ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) u. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ) : ( ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) u. { C , ( `' F ` D ) } ) -1-1-onto-> ( ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) u. { C , ( `' F ` D ) } ) <-> ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) u. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ) : A -1-1-onto-> ( ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) u. { C , ( `' F ` D ) } ) ) )
2523, 24syl 17 . . . . . 6 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A /\ D e. B ) -> ( ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) u. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ) : ( ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) u. { C , ( `' F ` D ) } ) -1-1-onto-> ( ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) u. { C , ( `' F ` D ) } ) <-> ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) u. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ) : A -1-1-onto-> ( ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) u. { C , ( `' F ` D ) } ) ) )
2617, 25mpbid 213 . . . . 5 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A /\ D e. B ) -> ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) u. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ) : A -1-1-onto-> ( ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) u. { C , ( `' F ` D ) } ) )
27 f1oeq3 5824 . . . . . 6 |- ( ( ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) u. { C , ( `' F ` D ) } ) = A -> ( ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) u. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ) : A -1-1-onto-> ( ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) u. { C , ( `' F ` D ) } ) <-> ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) u. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ) : A -1-1-onto-> A ) )
2823, 27syl 17 . . . . 5 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A /\ D e. B ) -> ( ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) u. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ) : A -1-1-onto-> ( ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) u. { C , ( `' F ` D ) } ) <-> ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) u. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ) : A -1-1-onto-> A ) )
2926, 28mpbid 213 . . . 4 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A /\ D e. B ) -> ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) u. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ) : A -1-1-onto-> A )
30 f1oco 5853 . . . 4 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) u. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ) : A -1-1-onto-> A ) -> ( F o. ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) u. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ) ) : A -1-1-onto-> B )
311, 29, 30syl2anc 665 . . 3 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A /\ D e. B ) -> ( F o. ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) u. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ) ) : A -1-1-onto-> B )
32 fveqf1o.1 . . . 4 |- G = ( F o. ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) u. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ) )
33 f1oeq1 5822 . . . 4 |- ( G = ( F o. ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) u. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ) ) -> ( G : A -1-1-onto-> B <-> ( F o. ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) u. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ) ) : A -1-1-onto-> B ) )
3432, 33ax-mp 5 . . 3 |- ( G : A -1-1-onto-> B <-> ( F o. ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) u. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ) ) : A -1-1-onto-> B )
3531, 34sylibr 215 . 2 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A /\ D e. B ) -> G : A -1-1-onto-> B )
3632fveq1i 5882 . . . 4 |- ( G ` C ) = ( ( F o. ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) u. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ) ) ` C )
37 f1of 5831 . . . . . 6 |- ( ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) u. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ) : A -1-1-onto-> A -> ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) u. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ) : A --> A )
3829, 37syl 17 . . . . 5 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A /\ D e. B ) -> ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) u. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ) : A --> A )
39 fvco3 5958 . . . . 5 |- ( ( ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) u. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ) : A --> A /\ C e. A ) -> ( ( F o. ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) u. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ) ) ` C ) = ( F ` ( ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) u. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ) ` C ) ) )
4038, 4, 39syl2anc 665 . . . 4 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A /\ D e. B ) -> ( ( F o. ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) u. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ) ) ` C ) = ( F ` ( ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) u. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ) ` C ) ) )
4136, 40syl5eq 2482 . . 3 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A /\ D e. B ) -> ( G ` C ) = ( F ` ( ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) u. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ) ` C ) ) )
42 fnresi 5711 . . . . . . . 8 |- ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) Fn ( A \ { C , ( `' F ` D ) } )
4342a1i 11 . . . . . . 7 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A /\ D e. B ) -> ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) Fn ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) )
44 f1ofn 5832 . . . . . . . 8 |- ( { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } : { C , ( `' F ` D ) } -1-1-onto-> { C , ( `' F ` D ) } -> { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } Fn { C , ( `' F ` D ) } )
4511, 44syl 17 . . . . . . 7 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A /\ D e. B ) -> { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } Fn { C , ( `' F ` D ) } )
46 prid1g 4109 . . . . . . . 8 |- ( C e. A -> C e. { C , ( `' F ` D ) } )
474, 46syl 17 . . . . . . 7 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A /\ D e. B ) -> C e. { C , ( `' F ` D ) } )
48 fvun2 5953 . . . . . . 7 |- ( ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) Fn ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) /\ { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } Fn { C , ( `' F ` D ) } /\ ( ( ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) i^i { C , ( `' F ` D ) } ) = (/) /\ C e. { C , ( `' F ` D ) } ) ) -> ( ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) u. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ) ` C ) = ( { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ` C ) )
4943, 45, 15, 47, 48syl112anc 1268 . . . . . 6 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A /\ D e. B ) -> ( ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) u. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ) ` C ) = ( { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ` C ) )
50 f1ofun 5833 . . . . . . . 8 |- ( { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } : { C , ( `' F ` D ) } -1-1-onto-> { C , ( `' F ` D ) } -> Fun { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } )
5111, 50syl 17 . . . . . . 7 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A /\ D e. B ) -> Fun { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } )
52 opex 4686 . . . . . . . 8 |- <. C , ( `' F ` D ) >. e. _V
5352prid1 4111 . . . . . . 7 |- <. C , ( `' F ` D ) >. e. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. }
54 funopfv 5920 . . . . . . 7 |- ( Fun { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } -> ( <. C , ( `' F ` D ) >. e. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } -> ( { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ` C ) = ( `' F ` D ) ) )
5551, 53, 54mpisyl 22 . . . . . 6 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A /\ D e. B ) -> ( { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ` C ) = ( `' F ` D ) )
5649, 55eqtrd 2470 . . . . 5 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A /\ D e. B ) -> ( ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) u. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ) ` C ) = ( `' F ` D ) )
5756fveq2d 5885 . . . 4 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A /\ D e. B ) -> ( F ` ( ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) u. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ) ` C ) ) = ( F ` ( `' F ` D ) ) )
58 f1ocnvfv2 6191 . . . . 5 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ D e. B ) -> ( F ` ( `' F ` D ) ) = D )
591, 8, 58syl2anc 665 . . . 4 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A /\ D e. B ) -> ( F ` ( `' F ` D ) ) = D )
6057, 59eqtrd 2470 . . 3 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A /\ D e. B ) -> ( F ` ( ( ( _I |` ( A \ { C , ( `' F ` D ) } ) ) u. { <. C , ( `' F ` D ) >. , <. ( `' F ` D ) , C >. } ) ` C ) ) = D )
6141, 60eqtrd 2470 . 2 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A /\ D e. B ) -> ( G ` C ) = D )
6235, 61jca 534 1 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A /\ D e. B ) -> ( G : A -1-1-onto-> B /\ ( G ` C ) = D ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   /\ w3a 982   = wceq 1437   e. wcel 1870   \ cdif 3439   u. cun 3440   i^i cin 3441   C_ wss 3442   (/)c0 3767   {cpr 4004   <.cop 4008   _I cid 4764   `'ccnv 4853   |` cres 4856   o. ccom 4858   Fun wfun 5595   Fn wfn 5596   -->wf 5597   -1-1-onto->wf1o 5600   ` cfv 5601
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-br 4427  df-opab 4485  df-id 4769  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609
This theorem is referenced by:  infxpenc2  8451
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