Theorem fvelrn 4785

Description: A function's value belongs to its range.

Assertion

Ref	Expression
fvelrn	|- ((Fun F /\ A e. dom F) -> (F` A) e. ran F)

Proof of Theorem fvelrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 1957	. . . . 5 |- (x = A -> (x e. dom F <-> A e. dom F))
2	1	anbi2d 678	. . . 4 |- (x = A -> ((Fun F /\ x e. dom F) <-> (Fun F /\ A e. dom F)))
3		fveq2 4681	. . . . 5 |- (x = A -> (F` x) = (F` A))
4	3	eleq1d 1963	. . . 4 |- (x = A -> ((F` x) e. ran F <-> (F` A) e. ran F))
5	2, 4	imbi12d 688	. . 3 |- (x = A -> (((Fun F /\ x e. dom F) -> (F` x) e. ran F) <-> ((Fun F /\ A e. dom F) -> (F` A) e. ran F)))
6		funfvop 4776	. . . . 5 |- ((Fun F /\ x e. dom F) -> <.x, (F` x)>. e. F)
7		visset 2295	. . . . . 6 |- x e. _V
8		opeq1 3158	. . . . . . 7 |- (y = x -> <.y, (F` x)>. = <.x, (F` x)>.)
9	8	eleq1d 1963	. . . . . 6 |- (y = x -> (<.y, (F` x)>. e. F <-> <.x, (F` x)>. e. F))
10	7, 9	cla4ev 2371	. . . . 5 |- (<.x, (F` x)>. e. F -> E.y<.y, (F` x)>. e. F)
11	6, 10	syl 12	. . . 4 |- ((Fun F /\ x e. dom F) -> E.y<.y, (F` x)>. e. F)
12		fvex 4689	. . . . 5 |- (F` x) e. _V
13	12	elrn2 4196	. . . 4 |- ((F` x) e. ran F <-> E.y<.y, (F` x)>. e. F)
14	11, 13	sylibr 217	. . 3 |- ((Fun F /\ x e. dom F) -> (F` x) e. ran F)
15	5, 14	vtoclg 2346	. 2 |- (A e. dom F -> ((Fun F /\ A e. dom F) -> (F` A) e. ran F))
16	15	anabsi7 555	1 |- ((Fun F /\ A e. dom F) -> (F` A) e. ran F)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  <.cop 3046  dom cdm 3986  ran crn 3987  Fun wfun 3992  ` cfv 3998

This theorem is referenced by:  fnfvelrn 4786  funfvima 4828  elunirnALT 4845  tz7.48-2 5166  fvrn0 13837  nofv 13998  bdayelon 14017  axfelem12 14042  fnoprvrn2 14352  bwt2 14960  supnuf 15041  rdmob 15095  rcmob 15096  dualalg 15131  indexdom 15754

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014

Copyright terms: Public domain