MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fvcoe1 Structured version   Unicode version

Theorem fvcoe1 18010
Description: Value of a multivariate coefficient in terms of the coefficient vector. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
coe1fval.a  |-  A  =  (coe1 `  F )
Assertion
Ref Expression
fvcoe1  |-  ( ( F  e.  V  /\  X  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  -> 
( F `  X
)  =  ( A `
 ( X `  (/) ) ) )

Proof of Theorem fvcoe1
StepHypRef Expression
1 df1o2 7132 . . . . 5  |-  1o  =  { (/) }
2 nn0ex 10790 . . . . 5  |-  NN0  e.  _V
3 0ex 4570 . . . . 5  |-  (/)  e.  _V
41, 2, 3mapsnconst 7454 . . . 4  |-  ( X  e.  ( NN0  ^m  1o )  ->  X  =  ( 1o  X.  {
( X `  (/) ) } ) )
54adantl 466 . . 3  |-  ( ( F  e.  V  /\  X  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  ->  X  =  ( 1o  X.  { ( X `  (/) ) } ) )
65fveq2d 5861 . 2  |-  ( ( F  e.  V  /\  X  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  -> 
( F `  X
)  =  ( F `
 ( 1o  X.  { ( X `  (/) ) } ) ) )
7 elmapi 7430 . . . 4  |-  ( X  e.  ( NN0  ^m  1o )  ->  X : 1o
--> NN0 )
8 0lt1o 7144 . . . 4  |-  (/)  e.  1o
9 ffvelrn 6010 . . . 4  |-  ( ( X : 1o --> NN0  /\  (/) 
e.  1o )  -> 
( X `  (/) )  e. 
NN0 )
107, 8, 9sylancl 662 . . 3  |-  ( X  e.  ( NN0  ^m  1o )  ->  ( X `
 (/) )  e.  NN0 )
11 coe1fval.a . . . 4  |-  A  =  (coe1 `  F )
1211coe1fv 18009 . . 3  |-  ( ( F  e.  V  /\  ( X `  (/) )  e. 
NN0 )  ->  ( A `  ( X `  (/) ) )  =  ( F `  ( 1o  X.  { ( X `
 (/) ) } ) ) )
1310, 12sylan2 474 . 2  |-  ( ( F  e.  V  /\  X  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  -> 
( A `  ( X `  (/) ) )  =  ( F `  ( 1o  X.  { ( X `  (/) ) } ) ) )
146, 13eqtr4d 2504 1  |-  ( ( F  e.  V  /\  X  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  -> 
( F `  X
)  =  ( A `
 ( X `  (/) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   (/)c0 3778   {csn 4020    X. cxp 4990   -->wf 5575   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   1oc1o 7113    ^m cmap 7410   NN0cn0 10784  coe1cco1 17981
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-map 7412  df-nn 10526  df-n0 10785  df-coe1 17986
This theorem is referenced by:  coe1mul2  18074  ply1coe  18101  ply1coeOLD  18102  deg1ldg  22220  deg1leb  22223
  Copyright terms: Public domain W3C validator