Theorem fv3 5878

Description: Alternate definition of the value of a function. Definition 6.11 of [TakeutiZaring] p. 26. (Contributed by NM, 30-Apr-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fv3	|- ( F ` A ) = { x | ( E. y ( x e. y /\ A F y ) /\ E! y A F y ) }

Distinct variable groups:   x, y, F   x, A, y

Proof of Theorem fv3

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfv 5863	. . 3 |- ( x e. ( F ` A ) <-> E. z ( x e. z /\ A. y ( A F y <-> y = z ) ) )
2		biimpr 202	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A F y <-> y = z ) -> ( y = z -> A F y ) )
3	2	alimi 1684	. . . . . . . . 9 |- ( A. y ( A F y <-> y = z ) -> A. y ( y = z -> A F y ) )
4		vex 3048	. . . . . . . . . 10 |- z e. _V
5		breq2 4406	. . . . . . . . . 10 |- ( y = z -> ( A F y <-> A F z ) )
6	4, 5	ceqsalv 3075	. . . . . . . . 9 |- ( A. y ( y = z -> A F y ) <-> A F z )
7	3, 6	sylib 200	. . . . . . . 8 |- ( A. y ( A F y <-> y = z ) -> A F z )
8	7	anim2i 573	. . . . . . 7 |- ( ( x e. z /\ A. y ( A F y <-> y = z ) ) -> ( x e. z /\ A F z ) )
9	8	eximi 1707	. . . . . 6 |- ( E. z ( x e. z /\ A. y ( A F y <-> y = z ) ) -> E. z ( x e. z /\ A F z ) )
10		elequ2 1901	. . . . . . . 8 |- ( z = y -> ( x e. z <-> x e. y ) )
11		breq2 4406	. . . . . . . 8 |- ( z = y -> ( A F z <-> A F y ) )
12	10, 11	anbi12d 717	. . . . . . 7 |- ( z = y -> ( ( x e. z /\ A F z ) <-> ( x e. y /\ A F y ) ) )
13	12	cbvexv 2117	. . . . . 6 |- ( E. z ( x e. z /\ A F z ) <-> E. y ( x e. y /\ A F y ) )
14	9, 13	sylib 200	. . . . 5 |- ( E. z ( x e. z /\ A. y ( A F y <-> y = z ) ) -> E. y ( x e. y /\ A F y ) )
15		exsimpr 1730	. . . . . 6 |- ( E. z ( x e. z /\ A. y ( A F y <-> y = z ) ) -> E. z A. y ( A F y <-> y = z ) )
16		df-eu 2303	. . . . . 6 |- ( E! y A F y <-> E. z A. y ( A F y <-> y = z ) )
17	15, 16	sylibr 216	. . . . 5 |- ( E. z ( x e. z /\ A. y ( A F y <-> y = z ) ) -> E! y A F y )
18	14, 17	jca 535	. . . 4 |- ( E. z ( x e. z /\ A. y ( A F y <-> y = z ) ) -> ( E. y ( x e. y /\ A F y ) /\ E! y A F y ) )
19		nfeu1 2309	. . . . . . 7 |- F/ y E! y A F y
20		nfv 1761	. . . . . . . . 9 |- F/ y x e. z
21		nfa1 1979	. . . . . . . . 9 |- F/ y A. y ( A F y <-> y = z )
22	20, 21	nfan 2011	. . . . . . . 8 |- F/ y ( x e. z /\ A. y ( A F y <-> y = z ) )
23	22	nfex 2031	. . . . . . 7 |- F/ y E. z ( x e. z /\ A. y ( A F y <-> y = z ) )
24	19, 23	nfim 2003	. . . . . 6 |- F/ y ( E! y A F y -> E. z ( x e. z /\ A. y ( A F y <-> y = z ) ) )
25		biimp 197	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A F y <-> y = z ) -> ( A F y -> y = z ) )
26		ax9 1900	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = z -> ( x e. y -> x e. z ) )
27	25, 26	syl6 34	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A F y <-> y = z ) -> ( A F y -> ( x e. y -> x e. z ) ) )
28	27	com23 81	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A F y <-> y = z ) -> ( x e. y -> ( A F y -> x e. z ) ) )
29	28	impd 433	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A F y <-> y = z ) -> ( ( x e. y /\ A F y ) -> x e. z ) )
30	29	sps 1943	. . . . . . . . . 10 |- ( A. y ( A F y <-> y = z ) -> ( ( x e. y /\ A F y ) -> x e. z ) )
31	30	anc2ri 561	. . . . . . . . 9 |- ( A. y ( A F y <-> y = z ) -> ( ( x e. y /\ A F y ) -> ( x e. z /\ A. y ( A F y <-> y = z ) ) ) )
32	31	com12 32	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. y /\ A F y ) -> ( A. y ( A F y <-> y = z ) -> ( x e. z /\ A. y ( A F y <-> y = z ) ) ) )
33	32	eximdv 1764	. . . . . . 7 |- ( ( x e. y /\ A F y ) -> ( E. z A. y ( A F y <-> y = z ) -> E. z ( x e. z /\ A. y ( A F y <-> y = z ) ) ) )
34	16, 33	syl5bi 221	. . . . . 6 |- ( ( x e. y /\ A F y ) -> ( E! y A F y -> E. z ( x e. z /\ A. y ( A F y <-> y = z ) ) ) )
35	24, 34	exlimi 1995	. . . . 5 |- ( E. y ( x e. y /\ A F y ) -> ( E! y A F y -> E. z ( x e. z /\ A. y ( A F y <-> y = z ) ) ) )
36	35	imp 431	. . . 4 |- ( ( E. y ( x e. y /\ A F y ) /\ E! y A F y ) -> E. z ( x e. z /\ A. y ( A F y <-> y = z ) ) )
37	18, 36	impbii 191	. . 3 |- ( E. z ( x e. z /\ A. y ( A F y <-> y = z ) ) <-> ( E. y ( x e. y /\ A F y ) /\ E! y A F y ) )
38	1, 37	bitri 253	. 2 |- ( x e. ( F ` A ) <-> ( E. y ( x e. y /\ A F y ) /\ E! y A F y ) )
39	38	abbi2i 2566	1 |- ( F ` A ) = { x | ( E. y ( x e. y /\ A F y ) /\ E! y A F y ) }

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   A.wal 1442   = wceq 1444   E.wex 1663   e. wcel 1887   E!weu 2299   {cab 2437   class class class wbr 4402   ` cfv 5582

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-br 4403  df-iota 5546  df-fv 5590

This theorem is referenced by: (None)