MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fv3 Unicode version

Theorem fv3 5703
Description: Alternate definition of the value of a function. Definition 6.11 of [TakeutiZaring] p. 26. (Contributed by NM, 30-Apr-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fv3  |-  ( F `
 A )  =  { x  |  ( E. y ( x  e.  y  /\  A F y )  /\  E! y  A F
y ) }
Distinct variable groups:    x, y, F    x, A, y

Proof of Theorem fv3
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfv 5685 . . 3  |-  ( x  e.  ( F `  A )  <->  E. z
( x  e.  z  /\  A. y ( A F y  <->  y  =  z ) ) )
2 bi2 190 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A F y  <->  y  =  z )  ->  (
y  =  z  ->  A F y ) )
32alimi 1565 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y ( A F y  <->  y  =  z )  ->  A. y
( y  =  z  ->  A F y ) )
4 vex 2919 . . . . . . . . . 10  |-  z  e. 
_V
5 breq2 4176 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  z  ->  ( A F y  <->  A F
z ) )
64, 5ceqsalv 2942 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y ( y  =  z  ->  A F
y )  <->  A F
z )
73, 6sylib 189 . . . . . . . 8  |-  ( A. y ( A F y  <->  y  =  z )  ->  A F
z )
87anim2i 553 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  z  /\  A. y ( A F y  <->  y  =  z ) )  ->  (
x  e.  z  /\  A F z ) )
98eximi 1582 . . . . . 6  |-  ( E. z ( x  e.  z  /\  A. y
( A F y  <-> 
y  =  z ) )  ->  E. z
( x  e.  z  /\  A F z ) )
10 elequ2 1726 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  (
x  e.  z  <->  x  e.  y ) )
11 breq2 4176 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  ( A F z  <->  A F
y ) )
1210, 11anbi12d 692 . . . . . . 7  |-  ( z  =  y  ->  (
( x  e.  z  /\  A F z )  <->  ( x  e.  y  /\  A F y ) ) )
1312cbvexv 2053 . . . . . 6  |-  ( E. z ( x  e.  z  /\  A F z )  <->  E. y
( x  e.  y  /\  A F y ) )
149, 13sylib 189 . . . . 5  |-  ( E. z ( x  e.  z  /\  A. y
( A F y  <-> 
y  =  z ) )  ->  E. y
( x  e.  y  /\  A F y ) )
15 19.40 1616 . . . . . . 7  |-  ( E. z ( x  e.  z  /\  A. y
( A F y  <-> 
y  =  z ) )  ->  ( E. z  x  e.  z  /\  E. z A. y
( A F y  <-> 
y  =  z ) ) )
1615simprd 450 . . . . . 6  |-  ( E. z ( x  e.  z  /\  A. y
( A F y  <-> 
y  =  z ) )  ->  E. z A. y ( A F y  <->  y  =  z ) )
17 df-eu 2258 . . . . . 6  |-  ( E! y  A F y  <->  E. z A. y ( A F y  <->  y  =  z ) )
1816, 17sylibr 204 . . . . 5  |-  ( E. z ( x  e.  z  /\  A. y
( A F y  <-> 
y  =  z ) )  ->  E! y  A F y )
1914, 18jca 519 . . . 4  |-  ( E. z ( x  e.  z  /\  A. y
( A F y  <-> 
y  =  z ) )  ->  ( E. y ( x  e.  y  /\  A F y )  /\  E! y  A F y ) )
20 nfeu1 2264 . . . . . . 7  |-  F/ y E! y  A F y
21 nfv 1626 . . . . . . . . 9  |-  F/ y  x  e.  z
22 nfa1 1802 . . . . . . . . 9  |-  F/ y A. y ( A F y  <->  y  =  z )
2321, 22nfan 1842 . . . . . . . 8  |-  F/ y ( x  e.  z  /\  A. y ( A F y  <->  y  =  z ) )
2423nfex 1861 . . . . . . 7  |-  F/ y E. z ( x  e.  z  /\  A. y ( A F y  <->  y  =  z ) )
2520, 24nfim 1828 . . . . . 6  |-  F/ y ( E! y  A F y  ->  E. z
( x  e.  z  /\  A. y ( A F y  <->  y  =  z ) ) )
26 bi1 179 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A F y  <->  y  =  z )  ->  ( A F y  ->  y  =  z ) )
27 ax-14 1725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  z  ->  (
x  e.  y  ->  x  e.  z )
)
2826, 27syl6 31 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A F y  <->  y  =  z )  ->  ( A F y  ->  (
x  e.  y  ->  x  e.  z )
) )
2928com23 74 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A F y  <->  y  =  z )  ->  (
x  e.  y  -> 
( A F y  ->  x  e.  z ) ) )
3029imp3a 421 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A F y  <->  y  =  z )  ->  (
( x  e.  y  /\  A F y )  ->  x  e.  z ) )
3130sps 1766 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y ( A F y  <->  y  =  z )  ->  ( (
x  e.  y  /\  A F y )  ->  x  e.  z )
)
3231anc2ri 542 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y ( A F y  <->  y  =  z )  ->  ( (
x  e.  y  /\  A F y )  -> 
( x  e.  z  /\  A. y ( A F y  <->  y  =  z ) ) ) )
3332com12 29 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  y  /\  A F y )  -> 
( A. y ( A F y  <->  y  =  z )  ->  (
x  e.  z  /\  A. y ( A F y  <->  y  =  z ) ) ) )
3433eximdv 1629 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  y  /\  A F y )  -> 
( E. z A. y ( A F y  <->  y  =  z )  ->  E. z
( x  e.  z  /\  A. y ( A F y  <->  y  =  z ) ) ) )
3517, 34syl5bi 209 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  y  /\  A F y )  -> 
( E! y  A F y  ->  E. z
( x  e.  z  /\  A. y ( A F y  <->  y  =  z ) ) ) )
3625, 35exlimi 1817 . . . . 5  |-  ( E. y ( x  e.  y  /\  A F y )  ->  ( E! y  A F
y  ->  E. z
( x  e.  z  /\  A. y ( A F y  <->  y  =  z ) ) ) )
3736imp 419 . . . 4  |-  ( ( E. y ( x  e.  y  /\  A F y )  /\  E! y  A F
y )  ->  E. z
( x  e.  z  /\  A. y ( A F y  <->  y  =  z ) ) )
3819, 37impbii 181 . . 3  |-  ( E. z ( x  e.  z  /\  A. y
( A F y  <-> 
y  =  z ) )  <->  ( E. y
( x  e.  y  /\  A F y )  /\  E! y  A F y ) )
391, 38bitri 241 . 2  |-  ( x  e.  ( F `  A )  <->  ( E. y ( x  e.  y  /\  A F y )  /\  E! y  A F y ) )
4039abbi2i 2515 1  |-  ( F `
 A )  =  { x  |  ( E. y ( x  e.  y  /\  A F y )  /\  E! y  A F
y ) }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   A.wal 1546   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721   E!weu 2254   {cab 2390   class class class wbr 4172   ` cfv 5413
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-iota 5377  df-fv 5421
  Copyright terms: Public domain W3C validator