Theorem fv3 5807

Description: Alternate definition of the value of a function. Definition 6.11 of [TakeutiZaring] p. 26. (Contributed by NM, 30-Apr-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fv3	|- ( F ` A ) = { x | ( E. y ( x e. y /\ A F y ) /\ E! y A F y ) }

Distinct variable groups:   x, y, F   x, A, y

Proof of Theorem fv3

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfv 5792	. . 3 |- ( x e. ( F ` A ) <-> E. z ( x e. z /\ A. y ( A F y <-> y = z ) ) )
2		bi2 198	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A F y <-> y = z ) -> ( y = z -> A F y ) )
3	2	alimi 1605	. . . . . . . . 9 |- ( A. y ( A F y <-> y = z ) -> A. y ( y = z -> A F y ) )
4		vex 3075	. . . . . . . . . 10 |- z e. _V
5		breq2 4399	. . . . . . . . . 10 |- ( y = z -> ( A F y <-> A F z ) )
6	4, 5	ceqsalv 3100	. . . . . . . . 9 |- ( A. y ( y = z -> A F y ) <-> A F z )
7	3, 6	sylib 196	. . . . . . . 8 |- ( A. y ( A F y <-> y = z ) -> A F z )
8	7	anim2i 569	. . . . . . 7 |- ( ( x e. z /\ A. y ( A F y <-> y = z ) ) -> ( x e. z /\ A F z ) )
9	8	eximi 1626	. . . . . 6 |- ( E. z ( x e. z /\ A. y ( A F y <-> y = z ) ) -> E. z ( x e. z /\ A F z ) )
10		elequ2 1763	. . . . . . . 8 |- ( z = y -> ( x e. z <-> x e. y ) )
11		breq2 4399	. . . . . . . 8 |- ( z = y -> ( A F z <-> A F y ) )
12	10, 11	anbi12d 710	. . . . . . 7 |- ( z = y -> ( ( x e. z /\ A F z ) <-> ( x e. y /\ A F y ) ) )
13	12	cbvexv 1983	. . . . . 6 |- ( E. z ( x e. z /\ A F z ) <-> E. y ( x e. y /\ A F y ) )
14	9, 13	sylib 196	. . . . 5 |- ( E. z ( x e. z /\ A. y ( A F y <-> y = z ) ) -> E. y ( x e. y /\ A F y ) )
15		exsimpr 1646	. . . . . 6 |- ( E. z ( x e. z /\ A. y ( A F y <-> y = z ) ) -> E. z A. y ( A F y <-> y = z ) )
16		df-eu 2265	. . . . . 6 |- ( E! y A F y <-> E. z A. y ( A F y <-> y = z ) )
17	15, 16	sylibr 212	. . . . 5 |- ( E. z ( x e. z /\ A. y ( A F y <-> y = z ) ) -> E! y A F y )
18	14, 17	jca 532	. . . 4 |- ( E. z ( x e. z /\ A. y ( A F y <-> y = z ) ) -> ( E. y ( x e. y /\ A F y ) /\ E! y A F y ) )
19		nfeu1 2274	. . . . . . 7 |- F/ y E! y A F y
20		nfv 1674	. . . . . . . . 9 |- F/ y x e. z
21		nfa1 1835	. . . . . . . . 9 |- F/ y A. y ( A F y <-> y = z )
22	20, 21	nfan 1865	. . . . . . . 8 |- F/ y ( x e. z /\ A. y ( A F y <-> y = z ) )
23	22	nfex 1885	. . . . . . 7 |- F/ y E. z ( x e. z /\ A. y ( A F y <-> y = z ) )
24	19, 23	nfim 1857	. . . . . 6 |- F/ y ( E! y A F y -> E. z ( x e. z /\ A. y ( A F y <-> y = z ) ) )
25		bi1 186	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A F y <-> y = z ) -> ( A F y -> y = z ) )
26		ax-9 1762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = z -> ( x e. y -> x e. z ) )
27	25, 26	syl6 33	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A F y <-> y = z ) -> ( A F y -> ( x e. y -> x e. z ) ) )
28	27	com23 78	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A F y <-> y = z ) -> ( x e. y -> ( A F y -> x e. z ) ) )
29	28	impd 431	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A F y <-> y = z ) -> ( ( x e. y /\ A F y ) -> x e. z ) )
30	29	sps 1804	. . . . . . . . . 10 |- ( A. y ( A F y <-> y = z ) -> ( ( x e. y /\ A F y ) -> x e. z ) )
31	30	anc2ri 558	. . . . . . . . 9 |- ( A. y ( A F y <-> y = z ) -> ( ( x e. y /\ A F y ) -> ( x e. z /\ A. y ( A F y <-> y = z ) ) ) )
32	31	com12 31	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. y /\ A F y ) -> ( A. y ( A F y <-> y = z ) -> ( x e. z /\ A. y ( A F y <-> y = z ) ) ) )
33	32	eximdv 1677	. . . . . . 7 |- ( ( x e. y /\ A F y ) -> ( E. z A. y ( A F y <-> y = z ) -> E. z ( x e. z /\ A. y ( A F y <-> y = z ) ) ) )
34	16, 33	syl5bi 217	. . . . . 6 |- ( ( x e. y /\ A F y ) -> ( E! y A F y -> E. z ( x e. z /\ A. y ( A F y <-> y = z ) ) ) )
35	24, 34	exlimi 1849	. . . . 5 |- ( E. y ( x e. y /\ A F y ) -> ( E! y A F y -> E. z ( x e. z /\ A. y ( A F y <-> y = z ) ) ) )
36	35	imp 429	. . . 4 |- ( ( E. y ( x e. y /\ A F y ) /\ E! y A F y ) -> E. z ( x e. z /\ A. y ( A F y <-> y = z ) ) )
37	18, 36	impbii 188	. . 3 |- ( E. z ( x e. z /\ A. y ( A F y <-> y = z ) ) <-> ( E. y ( x e. y /\ A F y ) /\ E! y A F y ) )
38	1, 37	bitri 249	. 2 |- ( x e. ( F ` A ) <-> ( E. y ( x e. y /\ A F y ) /\ E! y A F y ) )
39	38	abbi2i 2585	1 |- ( F ` A ) = { x | ( E. y ( x e. y /\ A F y ) /\ E! y A F y ) }

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   A.wal 1368   = wceq 1370   E.wex 1587   e. wcel 1758   E!weu 2261   {cab 2437   class class class wbr 4395   ` cfv 5521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-rex 2802  df-rab 2805  df-v 3074  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-nul 3741  df-if 3895  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4195  df-br 4396  df-iota 5484  df-fv 5529

This theorem is referenced by: (None)