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Theorem fv2 5373
Description: Alternate definition of function value. Definition 10.11 of [Quine] p. 68. (Contributed by NM, 30-Apr-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 17-Sep-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fv2  |-  ( F `
 A )  = 
U. { x  | 
A. y ( A F y  <->  y  =  x ) }
Distinct variable groups:    x, y, A    x, F, y

Proof of Theorem fv2
StepHypRef Expression
1 df-fv 4608 . 2  |-  ( F `
 A )  = 
U. { x  |  ( F " { A } )  =  {
x } }
2 imasng 4942 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  _V  ->  ( F " { A }
)  =  { y  |  A F y } )
3 df-sn 3550 . . . . . . . 8  |-  { x }  =  { y  |  y  =  x }
43a1i 12 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  _V  ->  { x }  =  { y  |  y  =  x } )
52, 4eqeq12d 2267 . . . . . 6  |-  ( A  e.  _V  ->  (
( F " { A } )  =  {
x }  <->  { y  |  A F y }  =  { y  |  y  =  x }
) )
6 abbi 2359 . . . . . 6  |-  ( A. y ( A F y  <->  y  =  x )  <->  { y  |  A F y }  =  { y  |  y  =  x } )
75, 6syl6bbr 256 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  (
( F " { A } )  =  {
x }  <->  A. y
( A F y  <-> 
y  =  x ) ) )
8 snprc 3599 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  A  e.  _V  <->  { A }  =  (/) )
9 imaeq2 4915 . . . . . . . . 9  |-  ( { A }  =  (/)  ->  ( F " { A } )  =  ( F " (/) ) )
108, 9sylbi 189 . . . . . . . 8  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( F " { A } )  =  ( F " (/) ) )
11 ima0 4937 . . . . . . . 8  |-  ( F
" (/) )  =  (/)
1210, 11syl6eq 2301 . . . . . . 7  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( F " { A } )  =  (/) )
1312eqeq1d 2261 . . . . . 6  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( ( F " { A } )  =  {
x }  <->  (/)  =  {
x } ) )
14 vex 2730 . . . . . . . . . . 11  |-  x  e. 
_V
1514snnz 3648 . . . . . . . . . 10  |-  { x }  =/=  (/)
1615necomi 2494 . . . . . . . . 9  |-  (/)  =/=  {
x }
17 df-ne 2414 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  =/=  { x }  <->  -.  (/)  =  {
x } )
1816, 17mpbi 201 . . . . . . . 8  |-  -.  (/)  =  {
x }
1918a1i 12 . . . . . . 7  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  -.  (/)  =  { x }
)
20 dtruALT2 4113 . . . . . . . 8  |-  -.  A. y  y  =  x
21 equid 1818 . . . . . . . . . 10  |-  x  =  x
22 breq2 3924 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  x  ->  ( A F y  <->  A F x ) )
23 equequ1 1829 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  x  ->  (
y  =  x  <->  x  =  x ) )
2422, 23bibi12d 314 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  (
( A F y  <-> 
y  =  x )  <-> 
( A F x  <-> 
x  =  x ) ) )
2524a4v 1996 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y ( A F y  <->  y  =  x )  ->  ( A F x  <->  x  =  x
) )
2621, 25mpbiri 226 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y ( A F y  <->  y  =  x )  ->  A F x )
27 bi1 180 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A F y  <->  y  =  x )  ->  ( A F y  ->  y  =  x ) )
28 opprc1 3718 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  <. A ,  y >.  =  (/) )
29 opprc1 3718 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  <. A ,  x >.  =  (/) )
3028, 29eqtr4d 2288 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  <. A ,  y >.  = 
<. A ,  x >. )
3130eleq1d 2319 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  (
<. A ,  y >.  e.  F  <->  <. A ,  x >.  e.  F ) )
32 df-br 3921 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A F y  <->  <. A , 
y >.  e.  F )
33 df-br 3921 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A F x  <->  <. A ,  x >.  e.  F )
3431, 32, 333bitr4g 281 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( A F y  <->  A F x ) )
3534imbi1d 310 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( ( A F y  ->  y  =  x )  <->  ( A F x  ->  y  =  x ) ) )
3627, 35syl5ib 212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( ( A F y  <-> 
y  =  x )  ->  ( A F x  ->  y  =  x ) ) )
3736alimdv 2017 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( A. y ( A F y  <->  y  =  x )  ->  A. y
( A F x  ->  y  =  x ) ) )
38 19.21v 2011 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y ( A F x  ->  y  =  x )  <->  ( A F x  ->  A. y 
y  =  x ) )
3937, 38syl6ib 219 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( A. y ( A F y  <->  y  =  x )  ->  ( A F x  ->  A. y 
y  =  x ) ) )
4026, 39mpdi 40 . . . . . . . 8  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( A. y ( A F y  <->  y  =  x )  ->  A. y 
y  =  x ) )
4120, 40mtoi 171 . . . . . . 7  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  -. 
A. y ( A F y  <->  y  =  x ) )
4219, 412falsed 342 . . . . . 6  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  (
(/)  =  { x } 
<-> 
A. y ( A F y  <->  y  =  x ) ) )
4313, 42bitrd 246 . . . . 5  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( ( F " { A } )  =  {
x }  <->  A. y
( A F y  <-> 
y  =  x ) ) )
447, 43pm2.61i 158 . . . 4  |-  ( ( F " { A } )  =  {
x }  <->  A. y
( A F y  <-> 
y  =  x ) )
4544abbii 2361 . . 3  |-  { x  |  ( F " { A } )  =  { x } }  =  { x  |  A. y ( A F y  <->  y  =  x ) }
4645unieqi 3737 . 2  |-  U. {
x  |  ( F
" { A }
)  =  { x } }  =  U. { x  |  A. y ( A F y  <->  y  =  x ) }
471, 46eqtri 2273 1  |-  ( F `
 A )  = 
U. { x  | 
A. y ( A F y  <->  y  =  x ) }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178   A.wal 1532    = wceq 1619    e. wcel 1621   {cab 2239    =/= wne 2412   _Vcvv 2727   (/)c0 3362   {csn 3544   <.cop 3547   U.cuni 3727   class class class wbr 3920   "cima 4583   ` cfv 4592
This theorem is referenced by:  elfv  5375  ovtpos  6101  fv4  6172
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pr 4108
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-sn 3550  df-pr 3551  df-op 3553  df-uni 3728  df-br 3921  df-opab 3975  df-xp 4594  df-cnv 4596  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fv 4608
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