Theorem funun 5621

Description: The union of functions with disjoint domains is a function. Theorem 4.6 of [Monk1] p. 43. (Contributed by NM, 12-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
funun	|- ( ( ( Fun F /\ Fun G ) /\ ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> Fun ( F u. G ) )

Proof of Theorem funun

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funrel 5596	. . . . 5 |- ( Fun F -> Rel F )
2		funrel 5596	. . . . 5 |- ( Fun G -> Rel G )
3	1, 2	anim12i 566	. . . 4 |- ( ( Fun F /\ Fun G ) -> ( Rel F /\ Rel G ) )
4		relun 5110	. . . 4 |- ( Rel ( F u. G ) <-> ( Rel F /\ Rel G ) )
5	3, 4	sylibr 212	. . 3 |- ( ( Fun F /\ Fun G ) -> Rel ( F u. G ) )
6	5	adantr 465	. 2 |- ( ( ( Fun F /\ Fun G ) /\ ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> Rel ( F u. G ) )
7		elun 3638	. . . . . . . 8 |- ( <. x , y >. e. ( F u. G ) <-> ( <. x , y >. e. F \/ <. x , y >. e. G ) )
8		elun 3638	. . . . . . . 8 |- ( <. x , z >. e. ( F u. G ) <-> ( <. x , z >. e. F \/ <. x , z >. e. G ) )
9	7, 8	anbi12i 697	. . . . . . 7 |- ( ( <. x , y >. e. ( F u. G ) /\ <. x , z >. e. ( F u. G ) ) <-> ( ( <. x , y >. e. F \/ <. x , y >. e. G ) /\ ( <. x , z >. e. F \/ <. x , z >. e. G ) ) )
10		anddi 866	. . . . . . 7 |- ( ( ( <. x , y >. e. F \/ <. x , y >. e. G ) /\ ( <. x , z >. e. F \/ <. x , z >. e. G ) ) <-> ( ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) \/ ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. G ) ) \/ ( ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. F ) \/ ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. G ) ) ) )
11	9, 10	bitri 249	. . . . . 6 |- ( ( <. x , y >. e. ( F u. G ) /\ <. x , z >. e. ( F u. G ) ) <-> ( ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) \/ ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. G ) ) \/ ( ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. F ) \/ ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. G ) ) ) )
12		disj1 3862	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( dom F i^i dom G ) = (/) <-> A. x ( x e. dom F -> -. x e. dom G ) )
13	12	biimpi 194	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( dom F i^i dom G ) = (/) -> A. x ( x e. dom F -> -. x e. dom G ) )
14	13	19.21bi 1813	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( dom F i^i dom G ) = (/) -> ( x e. dom F -> -. x e. dom G ) )
15		imnan 422	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. dom F -> -. x e. dom G ) <-> -. ( x e. dom F /\ x e. dom G ) )
16	14, 15	sylib 196	. . . . . . . . . 10 |- ( ( dom F i^i dom G ) = (/) -> -. ( x e. dom F /\ x e. dom G ) )
17		vex 3109	. . . . . . . . . . . 12 |- x e. _V
18		vex 3109	. . . . . . . . . . . 12 |- y e. _V
19	17, 18	opeldm 5197	. . . . . . . . . . 11 |- ( <. x , y >. e. F -> x e. dom F )
20		vex 3109	. . . . . . . . . . . 12 |- z e. _V
21	17, 20	opeldm 5197	. . . . . . . . . . 11 |- ( <. x , z >. e. G -> x e. dom G )
22	19, 21	anim12i 566	. . . . . . . . . 10 |- ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. G ) -> ( x e. dom F /\ x e. dom G ) )
23	16, 22	nsyl 121	. . . . . . . . 9 |- ( ( dom F i^i dom G ) = (/) -> -. ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. G ) )
24		orel2 383	. . . . . . . . 9 |- ( -. ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. G ) -> ( ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) \/ ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. G ) ) -> ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) ) )
25	23, 24	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( dom F i^i dom G ) = (/) -> ( ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) \/ ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. G ) ) -> ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) ) )
26	14	con2d 115	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( dom F i^i dom G ) = (/) -> ( x e. dom G -> -. x e. dom F ) )
27		imnan 422	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. dom G -> -. x e. dom F ) <-> -. ( x e. dom G /\ x e. dom F ) )
28	26, 27	sylib 196	. . . . . . . . . 10 |- ( ( dom F i^i dom G ) = (/) -> -. ( x e. dom G /\ x e. dom F ) )
29	17, 18	opeldm 5197	. . . . . . . . . . 11 |- ( <. x , y >. e. G -> x e. dom G )
30	17, 20	opeldm 5197	. . . . . . . . . . 11 |- ( <. x , z >. e. F -> x e. dom F )
31	29, 30	anim12i 566	. . . . . . . . . 10 |- ( ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. F ) -> ( x e. dom G /\ x e. dom F ) )
32	28, 31	nsyl 121	. . . . . . . . 9 |- ( ( dom F i^i dom G ) = (/) -> -. ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. F ) )
33		orel1 382	. . . . . . . . 9 |- ( -. ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. F ) -> ( ( ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. F ) \/ ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. G ) ) -> ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. G ) ) )
34	32, 33	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( dom F i^i dom G ) = (/) -> ( ( ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. F ) \/ ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. G ) ) -> ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. G ) ) )
35	25, 34	orim12d 835	. . . . . . 7 |- ( ( dom F i^i dom G ) = (/) -> ( ( ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) \/ ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. G ) ) \/ ( ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. F ) \/ ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. G ) ) ) -> ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) \/ ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. G ) ) ) )
36	35	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( ( Fun F /\ Fun G ) /\ ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> ( ( ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) \/ ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. G ) ) \/ ( ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. F ) \/ ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. G ) ) ) -> ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) \/ ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. G ) ) ) )
37	11, 36	syl5bi 217	. . . . 5 |- ( ( ( Fun F /\ Fun G ) /\ ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> ( ( <. x , y >. e. ( F u. G ) /\ <. x , z >. e. ( F u. G ) ) -> ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) \/ ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. G ) ) ) )
38		dffun4 5591	. . . . . . . . . 10 |- ( Fun F <-> ( Rel F /\ A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) -> y = z ) ) )
39	38	simprbi 464	. . . . . . . . 9 |- ( Fun F -> A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) -> y = z ) )
40	39	19.21bi 1813	. . . . . . . 8 |- ( Fun F -> A. y A. z ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) -> y = z ) )
41	40	19.21bbi 1903	. . . . . . 7 |- ( Fun F -> ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) -> y = z ) )
42		dffun4 5591	. . . . . . . . . 10 |- ( Fun G <-> ( Rel G /\ A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. G ) -> y = z ) ) )
43	42	simprbi 464	. . . . . . . . 9 |- ( Fun G -> A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. G ) -> y = z ) )
44	43	19.21bi 1813	. . . . . . . 8 |- ( Fun G -> A. y A. z ( ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. G ) -> y = z ) )
45	44	19.21bbi 1903	. . . . . . 7 |- ( Fun G -> ( ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. G ) -> y = z ) )
46	41, 45	jaao 509	. . . . . 6 |- ( ( Fun F /\ Fun G ) -> ( ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) \/ ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. G ) ) -> y = z ) )
47	46	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ( Fun F /\ Fun G ) /\ ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> ( ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) \/ ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. G ) ) -> y = z ) )
48	37, 47	syld 44	. . . 4 |- ( ( ( Fun F /\ Fun G ) /\ ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> ( ( <. x , y >. e. ( F u. G ) /\ <. x , z >. e. ( F u. G ) ) -> y = z ) )
49	48	alrimiv 1690	. . 3 |- ( ( ( Fun F /\ Fun G ) /\ ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> A. z ( ( <. x , y >. e. ( F u. G ) /\ <. x , z >. e. ( F u. G ) ) -> y = z ) )
50	49	alrimivv 1691	. 2 |- ( ( ( Fun F /\ Fun G ) /\ ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. ( F u. G ) /\ <. x , z >. e. ( F u. G ) ) -> y = z ) )
51		dffun4 5591	. 2 |- ( Fun ( F u. G ) <-> ( Rel ( F u. G ) /\ A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. ( F u. G ) /\ <. x , z >. e. ( F u. G ) ) -> y = z ) ) )
52	6, 50, 51	sylanbrc 664	1 |- ( ( ( Fun F /\ Fun G ) /\ ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> Fun ( F u. G ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 368   /\ wa 369   A.wal 1372   = wceq 1374   e. wcel 1762   u. cun 3467   i^i cin 3468   (/)c0 3778   <.cop 4026   dom cdm 4992   Rel wrel 4997   Fun wfun 5573

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pr 4679

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rab 2816  df-v 3108  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-br 4441  df-opab 4499  df-id 4788  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-fun 5581

This theorem is referenced by:  funprg  5628  funtpg  5629  funtp  5631  fnun  5678  fvun  5928  tfrlem10  7046  sbthlem7  7623  sbthlem8  7624  fodomr  7658  funsnfsupp  7842  axdc3lem4  8822  strlemor1  14571  strleun  14574  wfrlem13  28918  bnj1421  33052