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Theorem funun 5642
Description: The union of functions with disjoint domains is a function. Theorem 4.6 of [Monk1] p. 43. (Contributed by NM, 12-Aug-1994.)
Assertion
Ref Expression
funun  |-  ( ( ( Fun  F  /\  Fun  G )  /\  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  ->  Fun  ( F  u.  G
) )

Proof of Theorem funun
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 funrel 5617 . . . . 5  |-  ( Fun 
F  ->  Rel  F )
2 funrel 5617 . . . . 5  |-  ( Fun 
G  ->  Rel  G )
31, 2anim12i 574 . . . 4  |-  ( ( Fun  F  /\  Fun  G )  ->  ( Rel  F  /\  Rel  G ) )
4 relun 4968 . . . 4  |-  ( Rel  ( F  u.  G
)  <->  ( Rel  F  /\  Rel  G ) )
53, 4sylibr 217 . . 3  |-  ( ( Fun  F  /\  Fun  G )  ->  Rel  ( F  u.  G ) )
65adantr 471 . 2  |-  ( ( ( Fun  F  /\  Fun  G )  /\  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  ->  Rel  ( F  u.  G
) )
7 elun 3585 . . . . . . . 8  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( F  u.  G
)  <->  ( <. x ,  y >.  e.  F  \/  <. x ,  y
>.  e.  G ) )
8 elun 3585 . . . . . . . 8  |-  ( <.
x ,  z >.  e.  ( F  u.  G
)  <->  ( <. x ,  z >.  e.  F  \/  <. x ,  z
>.  e.  G ) )
97, 8anbi12i 708 . . . . . . 7  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  ( F  u.  G
)  /\  <. x ,  z >.  e.  ( F  u.  G )
)  <->  ( ( <.
x ,  y >.  e.  F  \/  <. x ,  y >.  e.  G
)  /\  ( <. x ,  z >.  e.  F  \/  <. x ,  z
>.  e.  G ) ) )
10 anddi 886 . . . . . . 7  |-  ( ( ( <. x ,  y
>.  e.  F  \/  <. x ,  y >.  e.  G
)  /\  ( <. x ,  z >.  e.  F  \/  <. x ,  z
>.  e.  G ) )  <-> 
( ( ( <.
x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  \/  ( <.
x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  G
) )  \/  (
( <. x ,  y
>.  e.  G  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  \/  ( <.
x ,  y >.  e.  G  /\  <. x ,  z >.  e.  G
) ) ) )
119, 10bitri 257 . . . . . 6  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  ( F  u.  G
)  /\  <. x ,  z >.  e.  ( F  u.  G )
)  <->  ( ( (
<. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  \/  ( <.
x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  G
) )  \/  (
( <. x ,  y
>.  e.  G  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  \/  ( <.
x ,  y >.  e.  G  /\  <. x ,  z >.  e.  G
) ) ) )
12 disj1 3818 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( dom  F  i^i  dom  G )  =  (/)  <->  A. x
( x  e.  dom  F  ->  -.  x  e.  dom  G ) )
1312biimpi 199 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( dom  F  i^i  dom  G )  =  (/)  ->  A. x
( x  e.  dom  F  ->  -.  x  e.  dom  G ) )
141319.21bi 1957 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( dom  F  i^i  dom  G )  =  (/)  ->  (
x  e.  dom  F  ->  -.  x  e.  dom  G ) )
15 imnan 428 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  dom  F  ->  -.  x  e.  dom  G )  <->  -.  ( x  e.  dom  F  /\  x  e.  dom  G ) )
1614, 15sylib 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( dom  F  i^i  dom  G )  =  (/)  ->  -.  ( x  e.  dom  F  /\  x  e.  dom  G ) )
17 vex 3059 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
18 vex 3059 . . . . . . . . . . . 12  |-  y  e. 
_V
1917, 18opeldm 5056 . . . . . . . . . . 11  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  F  ->  x  e. 
dom  F )
20 vex 3059 . . . . . . . . . . . 12  |-  z  e. 
_V
2117, 20opeldm 5056 . . . . . . . . . . 11  |-  ( <.
x ,  z >.  e.  G  ->  x  e. 
dom  G )
2219, 21anim12i 574 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  G
)  ->  ( x  e.  dom  F  /\  x  e.  dom  G ) )
2316, 22nsyl 126 . . . . . . . . 9  |-  ( ( dom  F  i^i  dom  G )  =  (/)  ->  -.  ( <. x ,  y
>.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  G
) )
24 orel2 389 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( <. x ,  y
>.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  G
)  ->  ( (
( <. x ,  y
>.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  \/  ( <.
x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  G
) )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
) ) )
2523, 24syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( dom  F  i^i  dom  G )  =  (/)  ->  (
( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  \/  ( <. x ,  y
>.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  G
) )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
) ) )
2614con2d 120 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( dom  F  i^i  dom  G )  =  (/)  ->  (
x  e.  dom  G  ->  -.  x  e.  dom  F ) )
27 imnan 428 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  dom  G  ->  -.  x  e.  dom  F )  <->  -.  ( x  e.  dom  G  /\  x  e.  dom  F ) )
2826, 27sylib 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( dom  F  i^i  dom  G )  =  (/)  ->  -.  ( x  e.  dom  G  /\  x  e.  dom  F ) )
2917, 18opeldm 5056 . . . . . . . . . . 11  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  G  ->  x  e. 
dom  G )
3017, 20opeldm 5056 . . . . . . . . . . 11  |-  ( <.
x ,  z >.  e.  F  ->  x  e. 
dom  F )
3129, 30anim12i 574 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  G  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  ->  ( x  e.  dom  G  /\  x  e.  dom  F ) )
3228, 31nsyl 126 . . . . . . . . 9  |-  ( ( dom  F  i^i  dom  G )  =  (/)  ->  -.  ( <. x ,  y
>.  e.  G  /\  <. x ,  z >.  e.  F
) )
33 orel1 388 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( <. x ,  y
>.  e.  G  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  ->  ( (
( <. x ,  y
>.  e.  G  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  \/  ( <.
x ,  y >.  e.  G  /\  <. x ,  z >.  e.  G
) )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  G  /\  <. x ,  z >.  e.  G
) ) )
3432, 33syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( dom  F  i^i  dom  G )  =  (/)  ->  (
( ( <. x ,  y >.  e.  G  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  \/  ( <. x ,  y
>.  e.  G  /\  <. x ,  z >.  e.  G
) )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  G  /\  <. x ,  z >.  e.  G
) ) )
3525, 34orim12d 854 . . . . . . 7  |-  ( ( dom  F  i^i  dom  G )  =  (/)  ->  (
( ( ( <.
x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  \/  ( <.
x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  G
) )  \/  (
( <. x ,  y
>.  e.  G  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  \/  ( <.
x ,  y >.  e.  G  /\  <. x ,  z >.  e.  G
) ) )  -> 
( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  \/  ( <. x ,  y
>.  e.  G  /\  <. x ,  z >.  e.  G
) ) ) )
3635adantl 472 . . . . . 6  |-  ( ( ( Fun  F  /\  Fun  G )  /\  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  -> 
( ( ( (
<. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  \/  ( <.
x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  G
) )  \/  (
( <. x ,  y
>.  e.  G  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  \/  ( <.
x ,  y >.  e.  G  /\  <. x ,  z >.  e.  G
) ) )  -> 
( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  \/  ( <. x ,  y
>.  e.  G  /\  <. x ,  z >.  e.  G
) ) ) )
3711, 36syl5bi 225 . . . . 5  |-  ( ( ( Fun  F  /\  Fun  G )  /\  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  -> 
( ( <. x ,  y >.  e.  ( F  u.  G )  /\  <. x ,  z
>.  e.  ( F  u.  G ) )  -> 
( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  \/  ( <. x ,  y
>.  e.  G  /\  <. x ,  z >.  e.  G
) ) ) )
38 dffun4 5612 . . . . . . . . . 10  |-  ( Fun 
F  <->  ( Rel  F  /\  A. x A. y A. z ( ( <.
x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  ->  y  =  z ) ) )
3938simprbi 470 . . . . . . . . 9  |-  ( Fun 
F  ->  A. x A. y A. z ( ( <. x ,  y
>.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  ->  y  =  z ) )
403919.21bi 1957 . . . . . . . 8  |-  ( Fun 
F  ->  A. y A. z ( ( <.
x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  ->  y  =  z ) )
414019.21bbi 1958 . . . . . . 7  |-  ( Fun 
F  ->  ( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  ->  y  =  z ) )
42 dffun4 5612 . . . . . . . . . 10  |-  ( Fun 
G  <->  ( Rel  G  /\  A. x A. y A. z ( ( <.
x ,  y >.  e.  G  /\  <. x ,  z >.  e.  G
)  ->  y  =  z ) ) )
4342simprbi 470 . . . . . . . . 9  |-  ( Fun 
G  ->  A. x A. y A. z ( ( <. x ,  y
>.  e.  G  /\  <. x ,  z >.  e.  G
)  ->  y  =  z ) )
444319.21bi 1957 . . . . . . . 8  |-  ( Fun 
G  ->  A. y A. z ( ( <.
x ,  y >.  e.  G  /\  <. x ,  z >.  e.  G
)  ->  y  =  z ) )
454419.21bbi 1958 . . . . . . 7  |-  ( Fun 
G  ->  ( ( <. x ,  y >.  e.  G  /\  <. x ,  z >.  e.  G
)  ->  y  =  z ) )
4641, 45jaao 516 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  F  /\  Fun  G )  ->  ( (
( <. x ,  y
>.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  \/  ( <.
x ,  y >.  e.  G  /\  <. x ,  z >.  e.  G
) )  ->  y  =  z ) )
4746adantr 471 . . . . 5  |-  ( ( ( Fun  F  /\  Fun  G )  /\  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  -> 
( ( ( <.
x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  \/  ( <.
x ,  y >.  e.  G  /\  <. x ,  z >.  e.  G
) )  ->  y  =  z ) )
4837, 47syld 45 . . . 4  |-  ( ( ( Fun  F  /\  Fun  G )  /\  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  -> 
( ( <. x ,  y >.  e.  ( F  u.  G )  /\  <. x ,  z
>.  e.  ( F  u.  G ) )  -> 
y  =  z ) )
4948alrimiv 1783 . . 3  |-  ( ( ( Fun  F  /\  Fun  G )  /\  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  ->  A. z ( ( <.
x ,  y >.  e.  ( F  u.  G
)  /\  <. x ,  z >.  e.  ( F  u.  G )
)  ->  y  =  z ) )
5049alrimivv 1784 . 2  |-  ( ( ( Fun  F  /\  Fun  G )  /\  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  ->  A. x A. y A. z ( ( <.
x ,  y >.  e.  ( F  u.  G
)  /\  <. x ,  z >.  e.  ( F  u.  G )
)  ->  y  =  z ) )
51 dffun4 5612 . 2  |-  ( Fun  ( F  u.  G
)  <->  ( Rel  ( F  u.  G )  /\  A. x A. y A. z ( ( <.
x ,  y >.  e.  ( F  u.  G
)  /\  <. x ,  z >.  e.  ( F  u.  G )
)  ->  y  =  z ) ) )
526, 50, 51sylanbrc 675 1  |-  ( ( ( Fun  F  /\  Fun  G )  /\  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  ->  Fun  ( F  u.  G
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 374    /\ wa 375   A.wal 1452    = wceq 1454    e. wcel 1897    u. cun 3413    i^i cin 3414   (/)c0 3742   <.cop 3985   dom cdm 4852   Rel wrel 4857   Fun wfun 5594
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pr 4652
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-ral 2753  df-rab 2757  df-v 3058  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-nul 3743  df-if 3893  df-sn 3980  df-pr 3982  df-op 3986  df-br 4416  df-opab 4475  df-id 4767  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-fun 5602
This theorem is referenced by:  funprg  5649  funtpg  5650  funtp  5652  funcnvpr  5657  funcnvtp  5658  funcnvqp  5659  fnun  5703  fvun  5957  wfrlem13  7073  tfrlem10  7130  sbthlem7  7713  sbthlem8  7714  fodomr  7748  funsnfsupp  7932  axdc3lem4  8908  strlemor1  15265  strleun  15268  bnj1421  29899
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