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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > funun | Structured version Visualization version Unicode version |
Description: The union of functions with disjoint domains is a function. Theorem 4.6 of [Monk1] p. 43. (Contributed by NM, 12-Aug-1994.) |
Ref | Expression |
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funun |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | funrel 5617 |
. . . . 5
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2 | funrel 5617 |
. . . . 5
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3 | 1, 2 | anim12i 574 |
. . . 4
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4 | relun 4968 |
. . . 4
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5 | 3, 4 | sylibr 217 |
. . 3
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6 | 5 | adantr 471 |
. 2
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7 | elun 3585 |
. . . . . . . 8
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8 | elun 3585 |
. . . . . . . 8
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9 | 7, 8 | anbi12i 708 |
. . . . . . 7
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10 | anddi 886 |
. . . . . . 7
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11 | 9, 10 | bitri 257 |
. . . . . 6
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12 | disj1 3818 |
. . . . . . . . . . . . 13
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13 | 12 | biimpi 199 |
. . . . . . . . . . . 12
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14 | 13 | 19.21bi 1957 |
. . . . . . . . . . 11
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15 | imnan 428 |
. . . . . . . . . . 11
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16 | 14, 15 | sylib 201 |
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17 | vex 3059 |
. . . . . . . . . . . 12
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18 | vex 3059 |
. . . . . . . . . . . 12
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19 | 17, 18 | opeldm 5056 |
. . . . . . . . . . 11
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20 | vex 3059 |
. . . . . . . . . . . 12
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21 | 17, 20 | opeldm 5056 |
. . . . . . . . . . 11
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22 | 19, 21 | anim12i 574 |
. . . . . . . . . 10
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23 | 16, 22 | nsyl 126 |
. . . . . . . . 9
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24 | orel2 389 |
. . . . . . . . 9
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25 | 23, 24 | syl 17 |
. . . . . . . 8
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26 | 14 | con2d 120 |
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27 | imnan 428 |
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28 | 26, 27 | sylib 201 |
. . . . . . . . . 10
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29 | 17, 18 | opeldm 5056 |
. . . . . . . . . . 11
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30 | 17, 20 | opeldm 5056 |
. . . . . . . . . . 11
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31 | 29, 30 | anim12i 574 |
. . . . . . . . . 10
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32 | 28, 31 | nsyl 126 |
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33 | orel1 388 |
. . . . . . . . 9
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34 | 32, 33 | syl 17 |
. . . . . . . 8
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35 | 25, 34 | orim12d 854 |
. . . . . . 7
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36 | 35 | adantl 472 |
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37 | 11, 36 | syl5bi 225 |
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38 | dffun4 5612 |
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39 | 38 | simprbi 470 |
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44 | 43 | 19.21bi 1957 |
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. . . . . . 7
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47 | 46 | adantr 471 |
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48 | 37, 47 | syld 45 |
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49 | 48 | alrimiv 1783 |
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51 | dffun4 5612 |
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52 | 6, 50, 51 | sylanbrc 675 |
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1679 ax-4 1692 ax-5 1768 ax-6 1815 ax-7 1861 ax-9 1906 ax-10 1925 ax-11 1930 ax-12 1943 ax-13 2101 ax-ext 2441 ax-sep 4538 ax-nul 4547 ax-pr 4652 |
This theorem depends on definitions: df-bi 190 df-or 376 df-an 377 df-3an 993 df-tru 1457 df-ex 1674 df-nf 1678 df-sb 1808 df-eu 2313 df-mo 2314 df-clab 2448 df-cleq 2454 df-clel 2457 df-nfc 2591 df-ne 2634 df-ral 2753 df-rab 2757 df-v 3058 df-dif 3418 df-un 3420 df-in 3422 df-ss 3429 df-nul 3743 df-if 3893 df-sn 3980 df-pr 3982 df-op 3986 df-br 4416 df-opab 4475 df-id 4767 df-rel 4859 df-cnv 4860 df-co 4861 df-dm 4862 df-fun 5602 |
This theorem is referenced by: funprg 5649 funtpg 5650 funtp 5652 funcnvpr 5657 funcnvtp 5658 funcnvqp 5659 fnun 5703 fvun 5957 wfrlem13 7073 tfrlem10 7130 sbthlem7 7713 sbthlem8 7714 fodomr 7748 funsnfsupp 7932 axdc3lem4 8908 strlemor1 15265 strleun 15268 bnj1421 29899 |
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