MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funtp Structured version   Unicode version

Theorem funtp 5620
Description: A function with a domain of three elements. (Contributed by NM, 14-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
funtp.1  |-  A  e. 
_V
funtp.2  |-  B  e. 
_V
funtp.3  |-  C  e. 
_V
funtp.4  |-  D  e. 
_V
funtp.5  |-  E  e. 
_V
funtp.6  |-  F  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
funtp  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  ->  Fun  {
<. A ,  D >. , 
<. B ,  E >. , 
<. C ,  F >. } )

Proof of Theorem funtp
StepHypRef Expression
1 funtp.1 . . . . . 6  |-  A  e. 
_V
2 funtp.2 . . . . . 6  |-  B  e. 
_V
3 funtp.4 . . . . . 6  |-  D  e. 
_V
4 funtp.5 . . . . . 6  |-  E  e. 
_V
51, 2, 3, 4funpr 5619 . . . . 5  |-  ( A  =/=  B  ->  Fun  {
<. A ,  D >. , 
<. B ,  E >. } )
6 funtp.3 . . . . . 6  |-  C  e. 
_V
7 funtp.6 . . . . . 6  |-  F  e. 
_V
86, 7funsn 5616 . . . . 5  |-  Fun  { <. C ,  F >. }
95, 8jctir 536 . . . 4  |-  ( A  =/=  B  ->  ( Fun  { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. }  /\  Fun  { <. C ,  F >. } ) )
103, 4dmprop 5298 . . . . . . 7  |-  dom  { <. A ,  D >. , 
<. B ,  E >. }  =  { A ,  B }
11 df-pr 3974 . . . . . . 7  |-  { A ,  B }  =  ( { A }  u.  { B } )
1210, 11eqtri 2431 . . . . . 6  |-  dom  { <. A ,  D >. , 
<. B ,  E >. }  =  ( { A }  u.  { B } )
137dmsnop 5297 . . . . . 6  |-  dom  { <. C ,  F >. }  =  { C }
1412, 13ineq12i 3638 . . . . 5  |-  ( dom 
{ <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. }  i^i  dom  { <. C ,  F >. } )  =  ( ( { A }  u.  { B } )  i^i 
{ C } )
15 disjsn2 4032 . . . . . . 7  |-  ( A  =/=  C  ->  ( { A }  i^i  { C } )  =  (/) )
16 disjsn2 4032 . . . . . . 7  |-  ( B  =/=  C  ->  ( { B }  i^i  { C } )  =  (/) )
1715, 16anim12i 564 . . . . . 6  |-  ( ( A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  -> 
( ( { A }  i^i  { C }
)  =  (/)  /\  ( { B }  i^i  { C } )  =  (/) ) )
18 undisj1 3820 . . . . . 6  |-  ( ( ( { A }  i^i  { C } )  =  (/)  /\  ( { B }  i^i  { C } )  =  (/) ) 
<->  ( ( { A }  u.  { B } )  i^i  { C } )  =  (/) )
1917, 18sylib 196 . . . . 5  |-  ( ( A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  -> 
( ( { A }  u.  { B } )  i^i  { C } )  =  (/) )
2014, 19syl5eq 2455 . . . 4  |-  ( ( A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  -> 
( dom  { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. }  i^i  dom  {
<. C ,  F >. } )  =  (/) )
21 funun 5610 . . . 4  |-  ( ( ( Fun  { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. }  /\  Fun  { <. C ,  F >. } )  /\  ( dom  { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. }  i^i  dom  { <. C ,  F >. } )  =  (/) )  ->  Fun  ( { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. }  u.  { <. C ,  F >. } ) )
229, 20, 21syl2an 475 . . 3  |-  ( ( A  =/=  B  /\  ( A  =/=  C  /\  B  =/=  C
) )  ->  Fun  ( { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. }  u.  { <. C ,  F >. } ) )
23223impb 1193 . 2  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  ->  Fun  ( { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. }  u.  { <. C ,  F >. } ) )
24 df-tp 3976 . . 3  |-  { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. ,  <. C ,  F >. }  =  ( { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. }  u.  { <. C ,  F >. } )
2524funeqi 5588 . 2  |-  ( Fun 
{ <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. ,  <. C ,  F >. }  <->  Fun  ( { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. }  u.  {
<. C ,  F >. } ) )
2623, 25sylibr 212 1  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  ->  Fun  {
<. A ,  D >. , 
<. B ,  E >. , 
<. C ,  F >. } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   _Vcvv 3058    u. cun 3411    i^i cin 3412   (/)c0 3737   {csn 3971   {cpr 3973   {ctp 3975   <.cop 3977   dom cdm 4822   Fun wfun 5562
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pr 4629
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-rab 2762  df-v 3060  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-br 4395  df-opab 4453  df-id 4737  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-fun 5570
This theorem is referenced by:  fntp  5624
  Copyright terms: Public domain W3C validator