Theorem funssres 5622

Description: The restriction of a function to the domain of a subclass equals the subclass. (Contributed by NM, 15-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
funssres	|- ( ( Fun F /\ G C_ F ) -> ( F |` dom G ) = G )

Proof of Theorem funssres

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3426	. . . . . . 7 |- ( G C_ F -> ( <. x , y >. e. G -> <. x , y >. e. F ) )
2		vex 3048	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
3		vex 3048	. . . . . . . . 9 |- y e. _V
4	2, 3	opeldm 5038	. . . . . . . 8 |- ( <. x , y >. e. G -> x e. dom G )
5	4	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( G C_ F -> ( <. x , y >. e. G -> x e. dom G ) )
6	1, 5	jcad 536	. . . . . 6 |- ( G C_ F -> ( <. x , y >. e. G -> ( <. x , y >. e. F /\ x e. dom G ) ) )
7	6	adantl 468	. . . . 5 |- ( ( Fun F /\ G C_ F ) -> ( <. x , y >. e. G -> ( <. x , y >. e. F /\ x e. dom G ) ) )
8		funeu2 5607	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Fun F /\ <. x , y >. e. F ) -> E! y <. x , y >. e. F )
9	2	eldm2 5033	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. dom G <-> E. y <. x , y >. e. G )
10	1	ancrd 557	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( G C_ F -> ( <. x , y >. e. G -> ( <. x , y >. e. F /\ <. x , y >. e. G ) ) )
11	10	eximdv 1764	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( G C_ F -> ( E. y <. x , y >. e. G -> E. y ( <. x , y >. e. F /\ <. x , y >. e. G ) ) )
12	9, 11	syl5bi 221	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( G C_ F -> ( x e. dom G -> E. y ( <. x , y >. e. F /\ <. x , y >. e. G ) ) )
13	12	imp 431	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G C_ F /\ x e. dom G ) -> E. y ( <. x , y >. e. F /\ <. x , y >. e. G ) )
14		eupick 2365	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( E! y <. x , y >. e. F /\ E. y ( <. x , y >. e. F /\ <. x , y >. e. G ) ) -> ( <. x , y >. e. F -> <. x , y >. e. G ) )
15	8, 13, 14	syl2an 480	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( Fun F /\ <. x , y >. e. F ) /\ ( G C_ F /\ x e. dom G ) ) -> ( <. x , y >. e. F -> <. x , y >. e. G ) )
16	15	exp43 617	. . . . . . . . . 10 |- ( Fun F -> ( <. x , y >. e. F -> ( G C_ F -> ( x e. dom G -> ( <. x , y >. e. F -> <. x , y >. e. G ) ) ) ) )
17	16	com23 81	. . . . . . . . 9 |- ( Fun F -> ( G C_ F -> ( <. x , y >. e. F -> ( x e. dom G -> ( <. x , y >. e. F -> <. x , y >. e. G ) ) ) ) )
18	17	imp 431	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun F /\ G C_ F ) -> ( <. x , y >. e. F -> ( x e. dom G -> ( <. x , y >. e. F -> <. x , y >. e. G ) ) ) )
19	18	com34 86	. . . . . . 7 |- ( ( Fun F /\ G C_ F ) -> ( <. x , y >. e. F -> ( <. x , y >. e. F -> ( x e. dom G -> <. x , y >. e. G ) ) ) )
20	19	pm2.43d 50	. . . . . 6 |- ( ( Fun F /\ G C_ F ) -> ( <. x , y >. e. F -> ( x e. dom G -> <. x , y >. e. G ) ) )
21	20	impd 433	. . . . 5 |- ( ( Fun F /\ G C_ F ) -> ( ( <. x , y >. e. F /\ x e. dom G ) -> <. x , y >. e. G ) )
22	7, 21	impbid 194	. . . 4 |- ( ( Fun F /\ G C_ F ) -> ( <. x , y >. e. G <-> ( <. x , y >. e. F /\ x e. dom G ) ) )
23	3	opelres 5110	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. ( F |` dom G ) <-> ( <. x , y >. e. F /\ x e. dom G ) )
24	22, 23	syl6rbbr 268	. . 3 |- ( ( Fun F /\ G C_ F ) -> ( <. x , y >. e. ( F |` dom G ) <-> <. x , y >. e. G ) )
25	24	alrimivv 1774	. 2 |- ( ( Fun F /\ G C_ F ) -> A. x A. y ( <. x , y >. e. ( F |` dom G ) <-> <. x , y >. e. G ) )
26		relres 5132	. . 3 |- Rel ( F |` dom G )
27		funrel 5599	. . . 4 |- ( Fun F -> Rel F )
28		relss 4922	. . . 4 |- ( G C_ F -> ( Rel F -> Rel G ) )
29	27, 28	mpan9 472	. . 3 |- ( ( Fun F /\ G C_ F ) -> Rel G )
30		eqrel 4924	. . 3 |- ( ( Rel ( F |` dom G ) /\ Rel G ) -> ( ( F |` dom G ) = G <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. ( F |` dom G ) <-> <. x , y >. e. G ) ) )
31	26, 29, 30	sylancr 669	. 2 |- ( ( Fun F /\ G C_ F ) -> ( ( F |` dom G ) = G <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. ( F |` dom G ) <-> <. x , y >. e. G ) ) )
32	25, 31	mpbird 236	1 |- ( ( Fun F /\ G C_ F ) -> ( F |` dom G ) = G )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   A.wal 1442   = wceq 1444   E.wex 1663   e. wcel 1887   E!weu 2299   C_ wss 3404   <.cop 3974   dom cdm 4834   |` cres 4836   Rel wrel 4839   Fun wfun 5576

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pr 4639

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-br 4403  df-opab 4462  df-id 4749  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-res 4846  df-fun 5584

This theorem is referenced by:  fun2ssres  5623  funcnvres  5652  funssfv  5880  oprssov  6438  isngp2  21611  dvres3  22868  dvres3a  22869  dchrelbas2  24165  funpsstri  30406  funsseq  30409  f1ssf1  39021  issubgr2  39344  uhgrissubgr  39347