Theorem funssres 4460

Description: The restriction of a function to the domain of a subclass equals the subclass.

Assertion

Ref	Expression
funssres	|- ((Fun F /\ G C_ F) -> (F |` dom G) = G)

Proof of Theorem funssres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 2615	. . . . . . 7 |- (G C_ F -> (<.x, y>. e. G -> <.x, y>. e. F))
2		visset 2295	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
3	2	opeldm 4160	. . . . . . . 8 |- (<.x, y>. e. G -> x e. dom G)
4	3	a1i 8	. . . . . . 7 |- (G C_ F -> (<.x, y>. e. G -> x e. dom G))
5	1, 4	jcad 661	. . . . . 6 |- (G C_ F -> (<.x, y>. e. G -> (<.x, y>. e. F /\ x e. dom G)))
6	5	adantl 424	. . . . 5 |- ((Fun F /\ G C_ F) -> (<.x, y>. e. G -> (<.x, y>. e. F /\ x e. dom G)))
7		eupick 1834	. . . . . . . . . . . 12 |- ((E!y<.x, y>. e. F /\ E.y(<.x, y>. e. F /\ <.x, y>. e. G)) -> (<.x, y>. e. F -> <.x, y>. e. G))
8		funeu2 4446	. . . . . . . . . . . 12 |- ((Fun F /\ <.x, y>. e. F) -> E!y<.x, y>. e. F)
9	1	ancrd 323	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (G C_ F -> (<.x, y>. e. G -> (<.x, y>. e. F /\ <.x, y>. e. G)))
10	9	eximdv 1669	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (G C_ F -> (E.y<.x, y>. e. G -> E.y(<.x, y>. e. F /\ <.x, y>. e. G)))
11	2	eldm2 4154	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (x e. dom G <-> E.y<.x, y>. e. G)
12	10, 11	syl5ib 223	. . . . . . . . . . . . 13 |- (G C_ F -> (x e. dom G -> E.y(<.x, y>. e. F /\ <.x, y>. e. G)))
13	12	imp 377	. . . . . . . . . . . 12 |- ((G C_ F /\ x e. dom G) -> E.y(<.x, y>. e. F /\ <.x, y>. e. G))
14	7, 8, 13	syl2an 503	. . . . . . . . . . 11 |- (((Fun F /\ <.x, y>. e. F) /\ (G C_ F /\ x e. dom G)) -> (<.x, y>. e. F -> <.x, y>. e. G))
15	14	exp43 415	. . . . . . . . . 10 |- (Fun F -> (<.x, y>. e. F -> (G C_ F -> (x e. dom G -> (<.x, y>. e. F -> <.x, y>. e. G)))))
16	15	com23 36	. . . . . . . . 9 |- (Fun F -> (G C_ F -> (<.x, y>. e. F -> (x e. dom G -> (<.x, y>. e. F -> <.x, y>. e. G)))))
17	16	imp 377	. . . . . . . 8 |- ((Fun F /\ G C_ F) -> (<.x, y>. e. F -> (x e. dom G -> (<.x, y>. e. F -> <.x, y>. e. G))))
18	17	com34 40	. . . . . . 7 |- ((Fun F /\ G C_ F) -> (<.x, y>. e. F -> (<.x, y>. e. F -> (x e. dom G -> <.x, y>. e. G))))
19	18	pm2.43d 79	. . . . . 6 |- ((Fun F /\ G C_ F) -> (<.x, y>. e. F -> (x e. dom G -> <.x, y>. e. G)))
20	19	imp3a 388	. . . . 5 |- ((Fun F /\ G C_ F) -> ((<.x, y>. e. F /\ x e. dom G) -> <.x, y>. e. G))
21	6, 20	impbid 574	. . . 4 |- ((Fun F /\ G C_ F) -> (<.x, y>. e. G <-> (<.x, y>. e. F /\ x e. dom G)))
22		visset 2295	. . . . 5 |- y e. _V
23	22	opelres 4222	. . . 4 |- (<.x, y>. e. (F |` dom G) <-> (<.x, y>. e. F /\ x e. dom G))
24	21, 23	syl6rbbr 598	. . 3 |- ((Fun F /\ G C_ F) -> (<.x, y>. e. (F |` dom G) <-> <.x, y>. e. G))
25	24	19.21aivv 1665	. 2 |- ((Fun F /\ G C_ F) -> A.xA.y(<.x, y>. e. (F |` dom G) <-> <.x, y>. e. G))
26		eqrel 4077	. . 3 |- ((Rel (F |` dom G) /\ Rel G) -> ((F |` dom G) = G <-> A.xA.y(<.x, y>. e. (F |` dom G) <-> <.x, y>. e. G)))
27		relres 4242	. . 3 |- Rel (F |` dom G)
28		relss 4074	. . . . 5 |- (G C_ F -> (Rel F -> Rel G))
29		funrel 4438	. . . . 5 |- (Fun F -> Rel F)
30	28, 29	syl5com 63	. . . 4 |- (Fun F -> (G C_ F -> Rel G))
31	30	imp 377	. . 3 |- ((Fun F /\ G C_ F) -> Rel G)
32	26, 27, 31	sylancr 526	. 2 |- ((Fun F /\ G C_ F) -> ((F |` dom G) = G <-> A.xA.y(<.x, y>. e. (F |` dom G) <-> <.x, y>. e. G)))
33	25, 32	mpbird 213	1 |- ((Fun F /\ G C_ F) -> (F |` dom G) = G)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  E!weu 1771   C_ wss 2593  <.cop 3046  dom cdm 3986   |` cres 3988  Rel wrel 3991  Fun wfun 3992

This theorem is referenced by:  fun2ssres 4461  funcnvres 4487  funssfv 4692  oprssoprv 4964  climuz0i 8368  dfef2i 8569  metcnss 9176  metcnss2 9177  funpsstri 13835  oprssoprvg 14335  svs2 14829  svs3 14830

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-res 4006  df-fun 4008

Copyright terms: Public domain