Theorem funssres 5479

Description: The restriction of a function to the domain of a subclass equals the subclass. (Contributed by NM, 15-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
funssres	|- ( ( Fun F /\ G C_ F ) -> ( F |` dom G ) = G )

Proof of Theorem funssres

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3371	. . . . . . 7 |- ( G C_ F -> ( <. x , y >. e. G -> <. x , y >. e. F ) )
2		vex 2996	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
3		vex 2996	. . . . . . . . 9 |- y e. _V
4	2, 3	opeldm 5064	. . . . . . . 8 |- ( <. x , y >. e. G -> x e. dom G )
5	4	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( G C_ F -> ( <. x , y >. e. G -> x e. dom G ) )
6	1, 5	jcad 533	. . . . . 6 |- ( G C_ F -> ( <. x , y >. e. G -> ( <. x , y >. e. F /\ x e. dom G ) ) )
7	6	adantl 466	. . . . 5 |- ( ( Fun F /\ G C_ F ) -> ( <. x , y >. e. G -> ( <. x , y >. e. F /\ x e. dom G ) ) )
8		funeu2 5464	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Fun F /\ <. x , y >. e. F ) -> E! y <. x , y >. e. F )
9	2	eldm2 5059	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. dom G <-> E. y <. x , y >. e. G )
10	1	ancrd 554	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( G C_ F -> ( <. x , y >. e. G -> ( <. x , y >. e. F /\ <. x , y >. e. G ) ) )
11	10	eximdv 1676	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( G C_ F -> ( E. y <. x , y >. e. G -> E. y ( <. x , y >. e. F /\ <. x , y >. e. G ) ) )
12	9, 11	syl5bi 217	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( G C_ F -> ( x e. dom G -> E. y ( <. x , y >. e. F /\ <. x , y >. e. G ) ) )
13	12	imp 429	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G C_ F /\ x e. dom G ) -> E. y ( <. x , y >. e. F /\ <. x , y >. e. G ) )
14		eupick 2342	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( E! y <. x , y >. e. F /\ E. y ( <. x , y >. e. F /\ <. x , y >. e. G ) ) -> ( <. x , y >. e. F -> <. x , y >. e. G ) )
15	8, 13, 14	syl2an 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( Fun F /\ <. x , y >. e. F ) /\ ( G C_ F /\ x e. dom G ) ) -> ( <. x , y >. e. F -> <. x , y >. e. G ) )
16	15	exp43 612	. . . . . . . . . 10 |- ( Fun F -> ( <. x , y >. e. F -> ( G C_ F -> ( x e. dom G -> ( <. x , y >. e. F -> <. x , y >. e. G ) ) ) ) )
17	16	com23 78	. . . . . . . . 9 |- ( Fun F -> ( G C_ F -> ( <. x , y >. e. F -> ( x e. dom G -> ( <. x , y >. e. F -> <. x , y >. e. G ) ) ) ) )
18	17	imp 429	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun F /\ G C_ F ) -> ( <. x , y >. e. F -> ( x e. dom G -> ( <. x , y >. e. F -> <. x , y >. e. G ) ) ) )
19	18	com34 83	. . . . . . 7 |- ( ( Fun F /\ G C_ F ) -> ( <. x , y >. e. F -> ( <. x , y >. e. F -> ( x e. dom G -> <. x , y >. e. G ) ) ) )
20	19	pm2.43d 48	. . . . . 6 |- ( ( Fun F /\ G C_ F ) -> ( <. x , y >. e. F -> ( x e. dom G -> <. x , y >. e. G ) ) )
21	20	impd 431	. . . . 5 |- ( ( Fun F /\ G C_ F ) -> ( ( <. x , y >. e. F /\ x e. dom G ) -> <. x , y >. e. G ) )
22	7, 21	impbid 191	. . . 4 |- ( ( Fun F /\ G C_ F ) -> ( <. x , y >. e. G <-> ( <. x , y >. e. F /\ x e. dom G ) ) )
23	3	opelres 5137	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. ( F |` dom G ) <-> ( <. x , y >. e. F /\ x e. dom G ) )
24	22, 23	syl6rbbr 264	. . 3 |- ( ( Fun F /\ G C_ F ) -> ( <. x , y >. e. ( F |` dom G ) <-> <. x , y >. e. G ) )
25	24	alrimivv 1686	. 2 |- ( ( Fun F /\ G C_ F ) -> A. x A. y ( <. x , y >. e. ( F |` dom G ) <-> <. x , y >. e. G ) )
26		relres 5159	. . 3 |- Rel ( F |` dom G )
27		funrel 5456	. . . 4 |- ( Fun F -> Rel F )
28		relss 4948	. . . 4 |- ( G C_ F -> ( Rel F -> Rel G ) )
29	27, 28	mpan9 469	. . 3 |- ( ( Fun F /\ G C_ F ) -> Rel G )
30		eqrel 4950	. . 3 |- ( ( Rel ( F |` dom G ) /\ Rel G ) -> ( ( F |` dom G ) = G <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. ( F |` dom G ) <-> <. x , y >. e. G ) ) )
31	26, 29, 30	sylancr 663	. 2 |- ( ( Fun F /\ G C_ F ) -> ( ( F |` dom G ) = G <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. ( F |` dom G ) <-> <. x , y >. e. G ) ) )
32	25, 31	mpbird 232	1 |- ( ( Fun F /\ G C_ F ) -> ( F |` dom G ) = G )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   A.wal 1367   = wceq 1369   E.wex 1586   e. wcel 1756   E!weu 2253   C_ wss 3349   <.cop 3904   dom cdm 4861   |` cres 4863   Rel wrel 4866   Fun wfun 5433

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pr 4552

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2741  df-rex 2742  df-rab 2745  df-v 2995  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-nul 3659  df-if 3813  df-sn 3899  df-pr 3901  df-op 3905  df-br 4314  df-opab 4372  df-id 4657  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-res 4873  df-fun 5441

This theorem is referenced by:  fun2ssres  5480  funcnvres  5508  funssfv  5726  oprssov  6253  isngp2  20211  dvres3  21410  dvres3a  21411  dchrelbas2  22598  funpsstri  27598  funsseq  27602