MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funssres Structured version   Unicode version

Theorem funssres 5536
Description: The restriction of a function to the domain of a subclass equals the subclass. (Contributed by NM, 15-Aug-1994.)
Assertion
Ref Expression
funssres  |-  ( ( Fun  F  /\  G  C_  F )  ->  ( F  |`  dom  G )  =  G )

Proof of Theorem funssres
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssel 3411 . . . . . . 7  |-  ( G 
C_  F  ->  ( <. x ,  y >.  e.  G  ->  <. x ,  y >.  e.  F
) )
2 vex 3037 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
3 vex 3037 . . . . . . . . 9  |-  y  e. 
_V
42, 3opeldm 5119 . . . . . . . 8  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  G  ->  x  e. 
dom  G )
54a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( G 
C_  F  ->  ( <. x ,  y >.  e.  G  ->  x  e. 
dom  G ) )
61, 5jcad 531 . . . . . 6  |-  ( G 
C_  F  ->  ( <. x ,  y >.  e.  G  ->  ( <.
x ,  y >.  e.  F  /\  x  e.  dom  G ) ) )
76adantl 464 . . . . 5  |-  ( ( Fun  F  /\  G  C_  F )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  G  ->  ( <.
x ,  y >.  e.  F  /\  x  e.  dom  G ) ) )
8 funeu2 5521 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  F  /\  <. x ,  y >.  e.  F
)  ->  E! y <. x ,  y >.  e.  F )
92eldm2 5114 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  dom  G  <->  E. y <. x ,  y >.  e.  G )
101ancrd 552 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( G 
C_  F  ->  ( <. x ,  y >.  e.  G  ->  ( <.
x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  y >.  e.  G
) ) )
1110eximdv 1718 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G 
C_  F  ->  ( E. y <. x ,  y
>.  e.  G  ->  E. y
( <. x ,  y
>.  e.  F  /\  <. x ,  y >.  e.  G
) ) )
129, 11syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G 
C_  F  ->  (
x  e.  dom  G  ->  E. y ( <.
x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  y >.  e.  G
) ) )
1312imp 427 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  C_  F  /\  x  e.  dom  G )  ->  E. y ( <.
x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  y >.  e.  G
) )
14 eupick 2289 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( E! y <. x ,  y >.  e.  F  /\  E. y ( <.
x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  y >.  e.  G
) )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  F  ->  <. x ,  y >.  e.  G
) )
158, 13, 14syl2an 475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Fun  F  /\  <.
x ,  y >.  e.  F )  /\  ( G  C_  F  /\  x  e.  dom  G ) )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  F  -> 
<. x ,  y >.  e.  G ) )
1615exp43 610 . . . . . . . . . 10  |-  ( Fun 
F  ->  ( <. x ,  y >.  e.  F  ->  ( G  C_  F  ->  ( x  e.  dom  G  ->  ( <. x ,  y >.  e.  F  -> 
<. x ,  y >.  e.  G ) ) ) ) )
1716com23 78 . . . . . . . . 9  |-  ( Fun 
F  ->  ( G  C_  F  ->  ( <. x ,  y >.  e.  F  ->  ( x  e.  dom  G  ->  ( <. x ,  y >.  e.  F  -> 
<. x ,  y >.  e.  G ) ) ) ) )
1817imp 427 . . . . . . . 8  |-  ( ( Fun  F  /\  G  C_  F )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  F  ->  ( x  e.  dom  G  -> 
( <. x ,  y
>.  e.  F  ->  <. x ,  y >.  e.  G
) ) ) )
1918com34 83 . . . . . . 7  |-  ( ( Fun  F  /\  G  C_  F )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  F  ->  ( <.
x ,  y >.  e.  F  ->  ( x  e.  dom  G  ->  <. x ,  y >.  e.  G ) ) ) )
2019pm2.43d 48 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  F  /\  G  C_  F )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  F  ->  ( x  e.  dom  G  ->  <. x ,  y >.  e.  G ) ) )
2120impd 429 . . . . 5  |-  ( ( Fun  F  /\  G  C_  F )  ->  (
( <. x ,  y
>.  e.  F  /\  x  e.  dom  G )  ->  <. x ,  y >.  e.  G ) )
227, 21impbid 191 . . . 4  |-  ( ( Fun  F  /\  G  C_  F )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  G  <->  ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  x  e.  dom  G ) ) )
233opelres 5191 . . . 4  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( F  |`  dom  G
)  <->  ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  x  e.  dom  G ) )
2422, 23syl6rbbr 264 . . 3  |-  ( ( Fun  F  /\  G  C_  F )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  ( F  |`  dom  G
)  <->  <. x ,  y
>.  e.  G ) )
2524alrimivv 1728 . 2  |-  ( ( Fun  F  /\  G  C_  F )  ->  A. x A. y ( <. x ,  y >.  e.  ( F  |`  dom  G )  <->  <. x ,  y >.  e.  G ) )
26 relres 5213 . . 3  |-  Rel  ( F  |`  dom  G )
27 funrel 5513 . . . 4  |-  ( Fun 
F  ->  Rel  F )
28 relss 5003 . . . 4  |-  ( G 
C_  F  ->  ( Rel  F  ->  Rel  G ) )
2927, 28mpan9 467 . . 3  |-  ( ( Fun  F  /\  G  C_  F )  ->  Rel  G )
30 eqrel 5005 . . 3  |-  ( ( Rel  ( F  |`  dom  G )  /\  Rel  G )  ->  ( ( F  |`  dom  G )  =  G  <->  A. x A. y ( <. x ,  y >.  e.  ( F  |`  dom  G )  <->  <. x ,  y >.  e.  G ) ) )
3126, 29, 30sylancr 661 . 2  |-  ( ( Fun  F  /\  G  C_  F )  ->  (
( F  |`  dom  G
)  =  G  <->  A. x A. y ( <. x ,  y >.  e.  ( F  |`  dom  G )  <->  <. x ,  y >.  e.  G ) ) )
3225, 31mpbird 232 1  |-  ( ( Fun  F  /\  G  C_  F )  ->  ( F  |`  dom  G )  =  G )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367   A.wal 1397    = wceq 1399   E.wex 1620    e. wcel 1826   E!weu 2218    C_ wss 3389   <.cop 3950   dom cdm 4913    |` cres 4915   Rel wrel 4918   Fun wfun 5490
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pr 4601
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-ral 2737  df-rex 2738  df-rab 2741  df-v 3036  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-nul 3712  df-if 3858  df-sn 3945  df-pr 3947  df-op 3951  df-br 4368  df-opab 4426  df-id 4709  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-res 4925  df-fun 5498
This theorem is referenced by:  fun2ssres  5537  funcnvres  5565  funssfv  5789  oprssov  6343  isngp2  21202  dvres3  22402  dvres3a  22403  dchrelbas2  23629  funpsstri  29361  funsseq  29364
  Copyright terms: Public domain W3C validator