Theorem funssres 3627

Description: The restriction of a function to the domain of a subclass equals the subclass.

Assertion

Ref	Expression
funssres	|- ((Fun F /\ G (_ F) -> (F |` dom G) = G)

Proof of Theorem funssres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 2107	. . . . . . 7 |- (G (_ F -> (<.x, y>. e. G -> <.x, y>. e. F))
2		visset 1851	. . . . . . . . 9 |- x e. V
3	2	opeldm 3378	. . . . . . . 8 |- (<.x, y>. e. G -> x e. dom G)
4	3	a1i 8	. . . . . . 7 |- (G (_ F -> (<.x, y>. e. G -> x e. dom G))
5	1, 4	jcad 602	. . . . . 6 |- (G (_ F -> (<.x, y>. e. G -> (<.x, y>. e. F /\ x e. dom G)))
6	5	adantl 388	. . . . 5 |- ((Fun F /\ G (_ F) -> (<.x, y>. e. G -> (<.x, y>. e. F /\ x e. dom G)))
7		eupick 1467	. . . . . . . . . . . 12 |- ((E!y<.x, y>. e. F /\ E.y(<.x, y>. e. F /\ <.x, y>. e. G)) -> (<.x, y>. e. F -> <.x, y>. e. G))
8		funeu2 3613	. . . . . . . . . . . 12 |- ((Fun F /\ <.x, y>. e. F) -> E!y<.x, y>. e. F)
9	1	ancrd 297	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (G (_ F -> (<.x, y>. e. G -> (<.x, y>. e. F /\ <.x, y>. e. G)))
10	9	19.22dv 1323	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (G (_ F -> (E.y<.x, y>. e. G -> E.y(<.x, y>. e. F /\ <.x, y>. e. G)))
11	2	eldm2 3372	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (x e. dom G <-> E.y<.x, y>. e. G)
12	10, 11	syl5ib 204	. . . . . . . . . . . . 13 |- (G (_ F -> (x e. dom G -> E.y(<.x, y>. e. F /\ <.x, y>. e. G)))
13	12	imp 348	. . . . . . . . . . . 12 |- ((G (_ F /\ x e. dom G) -> E.y(<.x, y>. e. F /\ <.x, y>. e. G))
14	7, 8, 13	syl2an 456	. . . . . . . . . . 11 |- (((Fun F /\ <.x, y>. e. F) /\ (G (_ F /\ x e. dom G)) -> (<.x, y>. e. F -> <.x, y>. e. G))
15	14	exp43 384	. . . . . . . . . 10 |- (Fun F -> (<.x, y>. e. F -> (G (_ F -> (x e. dom G -> (<.x, y>. e. F -> <.x, y>. e. G)))))
16	15	com23 32	. . . . . . . . 9 |- (Fun F -> (G (_ F -> (<.x, y>. e. F -> (x e. dom G -> (<.x, y>. e. F -> <.x, y>. e. G)))))
17	16	imp 348	. . . . . . . 8 |- ((Fun F /\ G (_ F) -> (<.x, y>. e. F -> (x e. dom G -> (<.x, y>. e. F -> <.x, y>. e. G))))
18	17	com34 36	. . . . . . 7 |- ((Fun F /\ G (_ F) -> (<.x, y>. e. F -> (<.x, y>. e. F -> (x e. dom G -> <.x, y>. e. G))))
19	18	pm2.43d 65	. . . . . 6 |- ((Fun F /\ G (_ F) -> (<.x, y>. e. F -> (x e. dom G -> <.x, y>. e. G)))
20	19	imp3a 359	. . . . 5 |- ((Fun F /\ G (_ F) -> ((<.x, y>. e. F /\ x e. dom G) -> <.x, y>. e. G))
21	6, 20	impbid 518	. . . 4 |- ((Fun F /\ G (_ F) -> (<.x, y>. e. G <-> (<.x, y>. e. F /\ x e. dom G)))
22		visset 1851	. . . . 5 |- y e. V
23	22	opelres 3432	. . . 4 |- (<.x, y>. e. (F |` dom G) <-> (<.x, y>. e. F /\ x e. dom G))
24	21, 23	syl6rbbr 541	. . 3 |- ((Fun F /\ G (_ F) -> (<.x, y>. e. (F |` dom G) <-> <.x, y>. e. G))
25	24	19.21aivv 1320	. 2 |- ((Fun F /\ G (_ F) -> A.xA.y(<.x, y>. e. (F |` dom G) <-> <.x, y>. e. G))
26		relss 3306	. . . . . 6 |- (G (_ F -> (Rel F -> Rel G))
27		funrel 3608	. . . . . 6 |- (Fun F -> Rel F)
28	26, 27	syl5com 52	. . . . 5 |- (Fun F -> (G (_ F -> Rel G))
29	28	imp 348	. . . 4 |- ((Fun F /\ G (_ F) -> Rel G)
30		relres 3448	. . . 4 |- Rel (F |` dom G)
31	29, 30	jctil 290	. . 3 |- ((Fun F /\ G (_ F) -> (Rel (F |` dom G) /\ Rel G))
32		eqrel 3308	. . 3 |- ((Rel (F |` dom G) /\ Rel G) -> ((F |` dom G) = G <-> A.xA.y(<.x, y>. e. (F |` dom G) <-> <.x, y>. e. G)))
33	31, 32	syl 10	. 2 |- ((Fun F /\ G (_ F) -> ((F |` dom G) = G <-> A.xA.y(<.x, y>. e. (F |` dom G) <-> <.x, y>. e. G)))
34	25, 33	mpbird 194	1 |- ((Fun F /\ G (_ F) -> (F |` dom G) = G)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 144   /\ wa 221  A.wal 986   = wceq 988   e. wcel 990  E.wex 1012  E!weu 1413   (_ wss 2091  <.cop 2456  dom cdm 3225   |` cres 3227  Rel wrel 3230  Fun wfun 3231

This theorem is referenced by:  fun2ssres 3628  funcnvres 3643  funssfv 3811  oprssoprval 4112  climuz0i 7231  dfef2i 7430  metcnss 8018  metcnss2 8019

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 994  ax-gen 995  ax-8 996  ax-10 998  ax-11 999  ax-12 1000  ax-13 1001  ax-14 1002  ax-17 1003  ax-4 1005  ax-5o 1007  ax-6o 1010  ax-9o 1155  ax-10o 1173  ax-16 1243  ax-11o 1251  ax-ext 1494  ax-sep 2754  ax-pow 2794  ax-pr 2832

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-ex 1013  df-sb 1205  df-eu 1415  df-mo 1416  df-clab 1500  df-cleq 1505  df-clel 1508  df-ne 1624  df-v 1850  df-dif 2093  df-un 2094  df-in 2095  df-ss 2097  df-nul 2325  df-pw 2447  df-sn 2457  df-pr 2458  df-op 2461  df-br 2670  df-opab 2718  df-id 2889  df-xp 3239  df-rel 3240  df-cnv 3241  df-co 3242  df-dm 3243  df-res 3245  df-fun 3247

Copyright terms: Public domain