MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funssres Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem funssres 5622
Description: The restriction of a function to the domain of a subclass equals the subclass. (Contributed by NM, 15-Aug-1994.)
Assertion
Ref Expression
funssres  |-  ( ( Fun  F  /\  G  C_  F )  ->  ( F  |`  dom  G )  =  G )

Proof of Theorem funssres
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssel 3426 . . . . . . 7  |-  ( G 
C_  F  ->  ( <. x ,  y >.  e.  G  ->  <. x ,  y >.  e.  F
) )
2 vex 3048 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
3 vex 3048 . . . . . . . . 9  |-  y  e. 
_V
42, 3opeldm 5038 . . . . . . . 8  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  G  ->  x  e. 
dom  G )
54a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( G 
C_  F  ->  ( <. x ,  y >.  e.  G  ->  x  e. 
dom  G ) )
61, 5jcad 536 . . . . . 6  |-  ( G 
C_  F  ->  ( <. x ,  y >.  e.  G  ->  ( <.
x ,  y >.  e.  F  /\  x  e.  dom  G ) ) )
76adantl 468 . . . . 5  |-  ( ( Fun  F  /\  G  C_  F )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  G  ->  ( <.
x ,  y >.  e.  F  /\  x  e.  dom  G ) ) )
8 funeu2 5607 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  F  /\  <. x ,  y >.  e.  F
)  ->  E! y <. x ,  y >.  e.  F )
92eldm2 5033 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  dom  G  <->  E. y <. x ,  y >.  e.  G )
101ancrd 557 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( G 
C_  F  ->  ( <. x ,  y >.  e.  G  ->  ( <.
x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  y >.  e.  G
) ) )
1110eximdv 1764 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G 
C_  F  ->  ( E. y <. x ,  y
>.  e.  G  ->  E. y
( <. x ,  y
>.  e.  F  /\  <. x ,  y >.  e.  G
) ) )
129, 11syl5bi 221 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G 
C_  F  ->  (
x  e.  dom  G  ->  E. y ( <.
x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  y >.  e.  G
) ) )
1312imp 431 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  C_  F  /\  x  e.  dom  G )  ->  E. y ( <.
x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  y >.  e.  G
) )
14 eupick 2365 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( E! y <. x ,  y >.  e.  F  /\  E. y ( <.
x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  y >.  e.  G
) )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  F  ->  <. x ,  y >.  e.  G
) )
158, 13, 14syl2an 480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Fun  F  /\  <.
x ,  y >.  e.  F )  /\  ( G  C_  F  /\  x  e.  dom  G ) )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  F  -> 
<. x ,  y >.  e.  G ) )
1615exp43 617 . . . . . . . . . 10  |-  ( Fun 
F  ->  ( <. x ,  y >.  e.  F  ->  ( G  C_  F  ->  ( x  e.  dom  G  ->  ( <. x ,  y >.  e.  F  -> 
<. x ,  y >.  e.  G ) ) ) ) )
1716com23 81 . . . . . . . . 9  |-  ( Fun 
F  ->  ( G  C_  F  ->  ( <. x ,  y >.  e.  F  ->  ( x  e.  dom  G  ->  ( <. x ,  y >.  e.  F  -> 
<. x ,  y >.  e.  G ) ) ) ) )
1817imp 431 . . . . . . . 8  |-  ( ( Fun  F  /\  G  C_  F )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  F  ->  ( x  e.  dom  G  -> 
( <. x ,  y
>.  e.  F  ->  <. x ,  y >.  e.  G
) ) ) )
1918com34 86 . . . . . . 7  |-  ( ( Fun  F  /\  G  C_  F )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  F  ->  ( <.
x ,  y >.  e.  F  ->  ( x  e.  dom  G  ->  <. x ,  y >.  e.  G ) ) ) )
2019pm2.43d 50 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  F  /\  G  C_  F )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  F  ->  ( x  e.  dom  G  ->  <. x ,  y >.  e.  G ) ) )
2120impd 433 . . . . 5  |-  ( ( Fun  F  /\  G  C_  F )  ->  (
( <. x ,  y
>.  e.  F  /\  x  e.  dom  G )  ->  <. x ,  y >.  e.  G ) )
227, 21impbid 194 . . . 4  |-  ( ( Fun  F  /\  G  C_  F )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  G  <->  ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  x  e.  dom  G ) ) )
233opelres 5110 . . . 4  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( F  |`  dom  G
)  <->  ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  x  e.  dom  G ) )
2422, 23syl6rbbr 268 . . 3  |-  ( ( Fun  F  /\  G  C_  F )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  ( F  |`  dom  G
)  <->  <. x ,  y
>.  e.  G ) )
2524alrimivv 1774 . 2  |-  ( ( Fun  F  /\  G  C_  F )  ->  A. x A. y ( <. x ,  y >.  e.  ( F  |`  dom  G )  <->  <. x ,  y >.  e.  G ) )
26 relres 5132 . . 3  |-  Rel  ( F  |`  dom  G )
27 funrel 5599 . . . 4  |-  ( Fun 
F  ->  Rel  F )
28 relss 4922 . . . 4  |-  ( G 
C_  F  ->  ( Rel  F  ->  Rel  G ) )
2927, 28mpan9 472 . . 3  |-  ( ( Fun  F  /\  G  C_  F )  ->  Rel  G )
30 eqrel 4924 . . 3  |-  ( ( Rel  ( F  |`  dom  G )  /\  Rel  G )  ->  ( ( F  |`  dom  G )  =  G  <->  A. x A. y ( <. x ,  y >.  e.  ( F  |`  dom  G )  <->  <. x ,  y >.  e.  G ) ) )
3126, 29, 30sylancr 669 . 2  |-  ( ( Fun  F  /\  G  C_  F )  ->  (
( F  |`  dom  G
)  =  G  <->  A. x A. y ( <. x ,  y >.  e.  ( F  |`  dom  G )  <->  <. x ,  y >.  e.  G ) ) )
3225, 31mpbird 236 1  |-  ( ( Fun  F  /\  G  C_  F )  ->  ( F  |`  dom  G )  =  G )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371   A.wal 1442    = wceq 1444   E.wex 1663    e. wcel 1887   E!weu 2299    C_ wss 3404   <.cop 3974   dom cdm 4834    |` cres 4836   Rel wrel 4839   Fun wfun 5576
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pr 4639
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-br 4403  df-opab 4462  df-id 4749  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-res 4846  df-fun 5584
This theorem is referenced by:  fun2ssres  5623  funcnvres  5652  funssfv  5880  oprssov  6438  isngp2  21611  dvres3  22868  dvres3a  22869  dchrelbas2  24165  funpsstri  30406  funsseq  30409  f1ssf1  39021  issubgr2  39344  uhgrissubgr  39347
  Copyright terms: Public domain W3C validator