Theorem funss 3609

Description: Subclass theorem for function predicate.

Assertion

Ref	Expression
funss	|- (A (_ B -> (Fun B -> Fun A))

Proof of Theorem funss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relss 3306	. . . 4 |- (A (_ B -> (Rel B -> Rel A))
2		funrel 3608	. . . 4 |- (Fun B -> Rel B)
3	1, 2	syl5 21	. . 3 |- (A (_ B -> (Fun B -> Rel A))
4		ssel 2107	. . . . . . . 8 |- (A (_ B -> (<.x, y>. e. A -> <.x, y>. e. B))
5	4	imim1d 28	. . . . . . 7 |- (A (_ B -> ((<.x, y>. e. B -> y = z) -> (<.x, y>. e. A -> y = z)))
6	5	19.20dv 1322	. . . . . 6 |- (A (_ B -> (A.y(<.x, y>. e. B -> y = z) -> A.y(<.x, y>. e. A -> y = z)))
7	6	19.22dv 1323	. . . . 5 |- (A (_ B -> (E.zA.y(<.x, y>. e. B -> y = z) -> E.zA.y(<.x, y>. e. A -> y = z)))
8	7	19.20dv 1322	. . . 4 |- (A (_ B -> (A.xE.zA.y(<.x, y>. e. B -> y = z) -> A.xE.zA.y(<.x, y>. e. A -> y = z)))
9		dffun5 3604	. . . . 5 |- (Fun B <-> (Rel B /\ A.xE.zA.y(<.x, y>. e. B -> y = z)))
10	9	pm3.27bi 324	. . . 4 |- (Fun B -> A.xE.zA.y(<.x, y>. e. B -> y = z))
11	8, 10	syl5 21	. . 3 |- (A (_ B -> (Fun B -> A.xE.zA.y(<.x, y>. e. A -> y = z)))
12	3, 11	jcad 602	. 2 |- (A (_ B -> (Fun B -> (Rel A /\ A.xE.zA.y(<.x, y>. e. A -> y = z))))
13		dffun5 3604	. 2 |- (Fun A <-> (Rel A /\ A.xE.zA.y(<.x, y>. e. A -> y = z)))
14	12, 13	syl6ibr 211	1 |- (A (_ B -> (Fun B -> Fun A))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 221  A.wal 986   = wceq 988   e. wcel 990  E.wex 1012   (_ wss 2091  <.cop 2456  Rel wrel 3230  Fun wfun 3231

This theorem is referenced by:  funeq 3610  fun0 3619  funres 3626  funcnvcnv 3630  funres11 3642  fodom 4884  cmpfun 10585

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 994  ax-gen 995  ax-8 996  ax-10 998  ax-11 999  ax-12 1000  ax-13 1001  ax-14 1002  ax-17 1003  ax-4 1005  ax-5o 1007  ax-6o 1010  ax-9o 1155  ax-10o 1173  ax-16 1243  ax-11o 1251  ax-ext 1494  ax-sep 2754  ax-pow 2794  ax-pr 2832

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-ex 1013  df-sb 1205  df-eu 1415  df-mo 1416  df-clab 1500  df-cleq 1505  df-clel 1508  df-ne 1624  df-v 1850  df-dif 2093  df-un 2094  df-in 2095  df-ss 2097  df-nul 2325  df-pw 2447  df-sn 2457  df-pr 2458  df-op 2461  df-br 2670  df-opab 2718  df-id 2889  df-rel 3240  df-cnv 3241  df-co 3242  df-fun 3247

Copyright terms: Public domain