Theorem funsng 4465

Description: A singleton of an ordered pair is a function. Theorem 10.5 of [Quine] p. 65. (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
funsng	|- ((A e. C /\ B e. D) -> Fun {<.A, B>.})

Proof of Theorem funsng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opeq1 3158	. . . 4 |- (x = A -> <.x, y>. = <.A, y>.)
2	1	sneqd 3056	. . 3 |- (x = A -> {<.x, y>.} = {<.A, y>.})
3		funeq 4441	. . 3 |- ({<.x, y>.} = {<.A, y>.} -> (Fun {<.x, y>.} <-> Fun {<.A, y>.}))
4	2, 3	syl 12	. 2 |- (x = A -> (Fun {<.x, y>.} <-> Fun {<.A, y>.}))
5		opeq2 3159	. . . 4 |- (y = B -> <.A, y>. = <.A, B>.)
6	5	sneqd 3056	. . 3 |- (y = B -> {<.A, y>.} = {<.A, B>.})
7		funeq 4441	. . 3 |- ({<.A, y>.} = {<.A, B>.} -> (Fun {<.A, y>.} <-> Fun {<.A, B>.}))
8	6, 7	syl 12	. 2 |- (y = B -> (Fun {<.A, y>.} <-> Fun {<.A, B>.}))
9		visset 2295	. . 3 |- x e. _V
10		visset 2295	. . 3 |- y e. _V
11	9, 10	funsn 4463	. 2 |- Fun {<.x, y>.}
12	4, 8, 11	vtocl2g 2349	1 |- ((A e. C /\ B e. D) -> Fun {<.A, B>.})

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  {csn 3044  <.cop 3046  Fun wfun 3992

This theorem is referenced by:  funprg 4466  bnj520 12521  bnj102 13222

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-fun 4008

Copyright terms: Public domain