MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funsng Structured version   Unicode version

Theorem funsng 5640
Description: A singleton of an ordered pair is a function. Theorem 10.5 of [Quine] p. 65. (Contributed by NM, 28-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
funsng  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  Fun  { <. A ,  B >. } )

Proof of Theorem funsng
StepHypRef Expression
1 funcnvsn 5639 . 2  |-  Fun  `' { <. B ,  A >. }
2 cnvsng 5500 . . . 4  |-  ( ( B  e.  W  /\  A  e.  V )  ->  `' { <. B ,  A >. }  =  { <. A ,  B >. } )
32ancoms 453 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  `' { <. B ,  A >. }  =  { <. A ,  B >. } )
43funeqd 5615 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( Fun  `' { <. B ,  A >. }  <->  Fun  { <. A ,  B >. } ) )
51, 4mpbii 211 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  Fun  { <. A ,  B >. } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   {csn 4032   <.cop 4038   `'ccnv 5007   Fun wfun 5588
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pr 4695
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-br 4457  df-opab 4516  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-fun 5596
This theorem is referenced by:  fnsng  5641  funsn  5642  funprg  5643  funtpg  5644  tfrlem10  7074  snopfsupp  7870  funsnfsupp  7871  strle1  14743  constr3pthlem1  24782  bnj519  33934  bnj150  34077
  Copyright terms: Public domain W3C validator