MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funsnfsupp Structured version   Unicode version

Theorem funsnfsupp 7845
Description: Finite support for a function extended by a singleton. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Feb-2015.) (Revised by AV, 19-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
funsnfsupp  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W
)  /\  ( Fun  F  /\  X  e/  dom  F ) )  ->  (
( F  u.  { <. X ,  Y >. } ) finSupp  Z  <->  F finSupp  Z ) )

Proof of Theorem funsnfsupp
StepHypRef Expression
1 funsng 5616 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W )  ->  Fun  { <. X ,  Y >. } )
2 simpl 455 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  F  /\  X  e/  dom  F )  ->  Fun  F )
31, 2anim12ci 565 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W
)  /\  ( Fun  F  /\  X  e/  dom  F ) )  ->  ( Fun  F  /\  Fun  { <. X ,  Y >. } ) )
4 dmsnopg 5462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y  e.  W  ->  dom  {
<. X ,  Y >. }  =  { X }
)
54adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W )  ->  dom  { <. X ,  Y >. }  =  { X } )
65ineq2d 3686 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W )  ->  ( dom  F  i^i  dom 
{ <. X ,  Y >. } )  =  ( dom  F  i^i  { X } ) )
7 df-nel 2652 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e/  dom  F  <->  -.  X  e.  dom  F )
8 disjsn 4076 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( dom  F  i^i  { X } )  =  (/)  <->  -.  X  e.  dom  F )
98biimpri 206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  X  e.  dom  F  ->  ( dom  F  i^i  { X } )  =  (/) )
107, 9sylbi 195 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e/  dom  F  -> 
( dom  F  i^i  { X } )  =  (/) )
1110adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  F  /\  X  e/  dom  F )  -> 
( dom  F  i^i  { X } )  =  (/) )
126, 11sylan9eq 2515 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W
)  /\  ( Fun  F  /\  X  e/  dom  F ) )  ->  ( dom  F  i^i  dom  { <. X ,  Y >. } )  =  (/) )
133, 12jca 530 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W
)  /\  ( Fun  F  /\  X  e/  dom  F ) )  ->  (
( Fun  F  /\  Fun  { <. X ,  Y >. } )  /\  ( dom  F  i^i  dom  { <. X ,  Y >. } )  =  (/) ) )
1413adantl 464 . . . . . 6  |-  ( ( Z  e.  _V  /\  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W )  /\  ( Fun  F  /\  X  e/  dom  F ) ) )  ->  ( ( Fun 
F  /\  Fun  { <. X ,  Y >. } )  /\  ( dom  F  i^i  dom  { <. X ,  Y >. } )  =  (/) ) )
15 funun 5612 . . . . . 6  |-  ( ( ( Fun  F  /\  Fun  { <. X ,  Y >. } )  /\  ( dom  F  i^i  dom  { <. X ,  Y >. } )  =  (/) )  ->  Fun  ( F  u.  { <. X ,  Y >. } ) )
1614, 15syl 16 . . . . 5  |-  ( ( Z  e.  _V  /\  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W )  /\  ( Fun  F  /\  X  e/  dom  F ) ) )  ->  Fun  ( F  u.  { <. X ,  Y >. } ) )
1716fsuppunbi 7842 . . . 4  |-  ( ( Z  e.  _V  /\  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W )  /\  ( Fun  F  /\  X  e/  dom  F ) ) )  ->  ( ( F  u.  { <. X ,  Y >. } ) finSupp  Z  <->  ( F finSupp  Z  /\  { <. X ,  Y >. } finSupp  Z ) ) )
18 simpl 455 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W
)  /\  ( Fun  F  /\  X  e/  dom  F ) )  ->  ( X  e.  V  /\  Y  e.  W )
)
1918anim2i 567 . . . . . . . 8  |-  ( ( Z  e.  _V  /\  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W )  /\  ( Fun  F  /\  X  e/  dom  F ) ) )  ->  ( Z  e. 
_V  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  W ) ) )
2019ancomd 449 . . . . . . 7  |-  ( ( Z  e.  _V  /\  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W )  /\  ( Fun  F  /\  X  e/  dom  F ) ) )  ->  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W )  /\  Z  e.  _V ) )
21 df-3an 973 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W  /\  Z  e.  _V )  <->  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W
)  /\  Z  e.  _V ) )
2220, 21sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( Z  e.  _V  /\  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W )  /\  ( Fun  F  /\  X  e/  dom  F ) ) )  ->  ( X  e.  V  /\  Y  e.  W  /\  Z  e. 
_V ) )
23 snopfsupp 7844 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W  /\  Z  e.  _V )  ->  { <. X ,  Y >. } finSupp  Z )
2422, 23syl 16 . . . . 5  |-  ( ( Z  e.  _V  /\  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W )  /\  ( Fun  F  /\  X  e/  dom  F ) ) )  ->  { <. X ,  Y >. } finSupp  Z )
2524biantrud 505 . . . 4  |-  ( ( Z  e.  _V  /\  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W )  /\  ( Fun  F  /\  X  e/  dom  F ) ) )  ->  ( F finSupp  Z  <->  ( F finSupp  Z  /\  { <. X ,  Y >. } finSupp  Z ) ) )
2617, 25bitr4d 256 . . 3  |-  ( ( Z  e.  _V  /\  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W )  /\  ( Fun  F  /\  X  e/  dom  F ) ) )  ->  ( ( F  u.  { <. X ,  Y >. } ) finSupp  Z  <->  F finSupp  Z ) )
2726ex 432 . 2  |-  ( Z  e.  _V  ->  (
( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W )  /\  ( Fun  F  /\  X  e/  dom  F ) )  -> 
( ( F  u.  {
<. X ,  Y >. } ) finSupp  Z  <->  F finSupp  Z ) ) )
28 relfsupp 7823 . . . . 5  |-  Rel finSupp
2928brrelex2i 5030 . . . 4  |-  ( ( F  u.  { <. X ,  Y >. } ) finSupp  Z  ->  Z  e.  _V )
3028brrelex2i 5030 . . . 4  |-  ( F finSupp  Z  ->  Z  e.  _V )
3129, 30pm5.21ni 350 . . 3  |-  ( -.  Z  e.  _V  ->  ( ( F  u.  { <. X ,  Y >. } ) finSupp  Z  <->  F finSupp  Z ) )
3231a1d 25 . 2  |-  ( -.  Z  e.  _V  ->  ( ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W )  /\  ( Fun  F  /\  X  e/  dom  F ) )  -> 
( ( F  u.  {
<. X ,  Y >. } ) finSupp  Z  <->  F finSupp  Z ) ) )
3327, 32pm2.61i 164 1  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W
)  /\  ( Fun  F  /\  X  e/  dom  F ) )  ->  (
( F  u.  { <. X ,  Y >. } ) finSupp  Z  <->  F finSupp  Z ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823    e/ wnel 2650   _Vcvv 3106    u. cun 3459    i^i cin 3460   (/)c0 3783   {csn 4016   <.cop 4022   class class class wbr 4439   dom cdm 4988   Fun wfun 5564   finSupp cfsupp 7821
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7510  df-fin 7513  df-fsupp 7822
This theorem is referenced by:  islindf4  19040
  Copyright terms: Public domain W3C validator