MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funsnfsupp Structured version   Unicode version

Theorem funsnfsupp 7860
Description: Finite support for a function extended by a singleton. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Feb-2015.) (Revised by AV, 19-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
funsnfsupp  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W
)  /\  ( Fun  F  /\  X  e/  dom  F ) )  ->  (
( F  u.  { <. X ,  Y >. } ) finSupp  Z  <->  F finSupp  Z ) )

Proof of Theorem funsnfsupp
StepHypRef Expression
1 funsng 5590 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W )  ->  Fun  { <. X ,  Y >. } )
2 simpl 458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  F  /\  X  e/  dom  F )  ->  Fun  F )
31, 2anim12ci 569 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W
)  /\  ( Fun  F  /\  X  e/  dom  F ) )  ->  ( Fun  F  /\  Fun  { <. X ,  Y >. } ) )
4 dmsnopg 5269 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y  e.  W  ->  dom  {
<. X ,  Y >. }  =  { X }
)
54adantl 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W )  ->  dom  { <. X ,  Y >. }  =  { X } )
65ineq2d 3607 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W )  ->  ( dom  F  i^i  dom 
{ <. X ,  Y >. } )  =  ( dom  F  i^i  { X } ) )
7 df-nel 2602 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e/  dom  F  <->  -.  X  e.  dom  F )
8 disjsn 4003 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( dom  F  i^i  { X } )  =  (/)  <->  -.  X  e.  dom  F )
98biimpri 209 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  X  e.  dom  F  ->  ( dom  F  i^i  { X } )  =  (/) )
107, 9sylbi 198 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e/  dom  F  -> 
( dom  F  i^i  { X } )  =  (/) )
1110adantl 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  F  /\  X  e/  dom  F )  -> 
( dom  F  i^i  { X } )  =  (/) )
126, 11sylan9eq 2482 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W
)  /\  ( Fun  F  /\  X  e/  dom  F ) )  ->  ( dom  F  i^i  dom  { <. X ,  Y >. } )  =  (/) )
133, 12jca 534 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W
)  /\  ( Fun  F  /\  X  e/  dom  F ) )  ->  (
( Fun  F  /\  Fun  { <. X ,  Y >. } )  /\  ( dom  F  i^i  dom  { <. X ,  Y >. } )  =  (/) ) )
1413adantl 467 . . . . . 6  |-  ( ( Z  e.  _V  /\  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W )  /\  ( Fun  F  /\  X  e/  dom  F ) ) )  ->  ( ( Fun 
F  /\  Fun  { <. X ,  Y >. } )  /\  ( dom  F  i^i  dom  { <. X ,  Y >. } )  =  (/) ) )
15 funun 5586 . . . . . 6  |-  ( ( ( Fun  F  /\  Fun  { <. X ,  Y >. } )  /\  ( dom  F  i^i  dom  { <. X ,  Y >. } )  =  (/) )  ->  Fun  ( F  u.  { <. X ,  Y >. } ) )
1614, 15syl 17 . . . . 5  |-  ( ( Z  e.  _V  /\  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W )  /\  ( Fun  F  /\  X  e/  dom  F ) ) )  ->  Fun  ( F  u.  { <. X ,  Y >. } ) )
1716fsuppunbi 7857 . . . 4  |-  ( ( Z  e.  _V  /\  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W )  /\  ( Fun  F  /\  X  e/  dom  F ) ) )  ->  ( ( F  u.  { <. X ,  Y >. } ) finSupp  Z  <->  ( F finSupp  Z  /\  { <. X ,  Y >. } finSupp  Z ) ) )
18 simpl 458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W
)  /\  ( Fun  F  /\  X  e/  dom  F ) )  ->  ( X  e.  V  /\  Y  e.  W )
)
1918anim2i 571 . . . . . . . 8  |-  ( ( Z  e.  _V  /\  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W )  /\  ( Fun  F  /\  X  e/  dom  F ) ) )  ->  ( Z  e. 
_V  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  W ) ) )
2019ancomd 452 . . . . . . 7  |-  ( ( Z  e.  _V  /\  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W )  /\  ( Fun  F  /\  X  e/  dom  F ) ) )  ->  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W )  /\  Z  e.  _V ) )
21 df-3an 984 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W  /\  Z  e.  _V )  <->  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W
)  /\  Z  e.  _V ) )
2220, 21sylibr 215 . . . . . 6  |-  ( ( Z  e.  _V  /\  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W )  /\  ( Fun  F  /\  X  e/  dom  F ) ) )  ->  ( X  e.  V  /\  Y  e.  W  /\  Z  e. 
_V ) )
23 snopfsupp 7859 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W  /\  Z  e.  _V )  ->  { <. X ,  Y >. } finSupp  Z )
2422, 23syl 17 . . . . 5  |-  ( ( Z  e.  _V  /\  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W )  /\  ( Fun  F  /\  X  e/  dom  F ) ) )  ->  { <. X ,  Y >. } finSupp  Z )
2524biantrud 509 . . . 4  |-  ( ( Z  e.  _V  /\  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W )  /\  ( Fun  F  /\  X  e/  dom  F ) ) )  ->  ( F finSupp  Z  <->  ( F finSupp  Z  /\  { <. X ,  Y >. } finSupp  Z ) ) )
2617, 25bitr4d 259 . . 3  |-  ( ( Z  e.  _V  /\  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W )  /\  ( Fun  F  /\  X  e/  dom  F ) ) )  ->  ( ( F  u.  { <. X ,  Y >. } ) finSupp  Z  <->  F finSupp  Z ) )
2726ex 435 . 2  |-  ( Z  e.  _V  ->  (
( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W )  /\  ( Fun  F  /\  X  e/  dom  F ) )  -> 
( ( F  u.  {
<. X ,  Y >. } ) finSupp  Z  <->  F finSupp  Z ) ) )
28 relfsupp 7838 . . . . 5  |-  Rel finSupp
2928brrelex2i 4838 . . . 4  |-  ( ( F  u.  { <. X ,  Y >. } ) finSupp  Z  ->  Z  e.  _V )
3028brrelex2i 4838 . . . 4  |-  ( F finSupp  Z  ->  Z  e.  _V )
3129, 30pm5.21ni 353 . . 3  |-  ( -.  Z  e.  _V  ->  ( ( F  u.  { <. X ,  Y >. } ) finSupp  Z  <->  F finSupp  Z ) )
3231a1d 26 . 2  |-  ( -.  Z  e.  _V  ->  ( ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W )  /\  ( Fun  F  /\  X  e/  dom  F ) )  -> 
( ( F  u.  {
<. X ,  Y >. } ) finSupp  Z  <->  F finSupp  Z ) ) )
3327, 32pm2.61i 167 1  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W
)  /\  ( Fun  F  /\  X  e/  dom  F ) )  ->  (
( F  u.  { <. X ,  Y >. } ) finSupp  Z  <->  F finSupp  Z ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872    e/ wnel 2600   _Vcvv 3022    u. cun 3377    i^i cin 3378   (/)c0 3704   {csn 3941   <.cop 3947   class class class wbr 4366   dom cdm 4796   Fun wfun 5538   finSupp cfsupp 7836
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-om 6651  df-supp 6870  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-1o 7137  df-oadd 7141  df-er 7318  df-en 7525  df-fin 7528  df-fsupp 7837
This theorem is referenced by:  islindf4  19338
  Copyright terms: Public domain W3C validator