MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funsnfsupp Structured version   Unicode version

Theorem funsnfsupp 7854
Description: Finite support for a function extended by a singleton. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Feb-2015.) (Revised by AV, 19-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
funsnfsupp  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W
)  /\  ( Fun  F  /\  X  e/  dom  F ) )  ->  (
( F  u.  { <. X ,  Y >. } ) finSupp  Z  <->  F finSupp  Z ) )

Proof of Theorem funsnfsupp
StepHypRef Expression
1 funsng 5634 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W )  ->  Fun  { <. X ,  Y >. } )
2 simpl 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  F  /\  X  e/  dom  F )  ->  Fun  F )
31, 2anim12ci 567 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W
)  /\  ( Fun  F  /\  X  e/  dom  F ) )  ->  ( Fun  F  /\  Fun  { <. X ,  Y >. } ) )
4 dmsnopg 5479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y  e.  W  ->  dom  {
<. X ,  Y >. }  =  { X }
)
54adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W )  ->  dom  { <. X ,  Y >. }  =  { X } )
65ineq2d 3700 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W )  ->  ( dom  F  i^i  dom 
{ <. X ,  Y >. } )  =  ( dom  F  i^i  { X } ) )
7 df-nel 2665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e/  dom  F  <->  -.  X  e.  dom  F )
8 disjsn 4088 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( dom  F  i^i  { X } )  =  (/)  <->  -.  X  e.  dom  F )
98biimpri 206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  X  e.  dom  F  ->  ( dom  F  i^i  { X } )  =  (/) )
107, 9sylbi 195 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e/  dom  F  -> 
( dom  F  i^i  { X } )  =  (/) )
1110adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  F  /\  X  e/  dom  F )  -> 
( dom  F  i^i  { X } )  =  (/) )
126, 11sylan9eq 2528 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W
)  /\  ( Fun  F  /\  X  e/  dom  F ) )  ->  ( dom  F  i^i  dom  { <. X ,  Y >. } )  =  (/) )
133, 12jca 532 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W
)  /\  ( Fun  F  /\  X  e/  dom  F ) )  ->  (
( Fun  F  /\  Fun  { <. X ,  Y >. } )  /\  ( dom  F  i^i  dom  { <. X ,  Y >. } )  =  (/) ) )
1413adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( Z  e.  _V  /\  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W )  /\  ( Fun  F  /\  X  e/  dom  F ) ) )  ->  ( ( Fun 
F  /\  Fun  { <. X ,  Y >. } )  /\  ( dom  F  i^i  dom  { <. X ,  Y >. } )  =  (/) ) )
15 funun 5630 . . . . . 6  |-  ( ( ( Fun  F  /\  Fun  { <. X ,  Y >. } )  /\  ( dom  F  i^i  dom  { <. X ,  Y >. } )  =  (/) )  ->  Fun  ( F  u.  { <. X ,  Y >. } ) )
1614, 15syl 16 . . . . 5  |-  ( ( Z  e.  _V  /\  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W )  /\  ( Fun  F  /\  X  e/  dom  F ) ) )  ->  Fun  ( F  u.  { <. X ,  Y >. } ) )
1716fsuppunbi 7851 . . . 4  |-  ( ( Z  e.  _V  /\  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W )  /\  ( Fun  F  /\  X  e/  dom  F ) ) )  ->  ( ( F  u.  { <. X ,  Y >. } ) finSupp  Z  <->  ( F finSupp  Z  /\  { <. X ,  Y >. } finSupp  Z ) ) )
18 simpl 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W
)  /\  ( Fun  F  /\  X  e/  dom  F ) )  ->  ( X  e.  V  /\  Y  e.  W )
)
1918anim2i 569 . . . . . . . 8  |-  ( ( Z  e.  _V  /\  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W )  /\  ( Fun  F  /\  X  e/  dom  F ) ) )  ->  ( Z  e. 
_V  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  W ) ) )
2019ancomd 451 . . . . . . 7  |-  ( ( Z  e.  _V  /\  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W )  /\  ( Fun  F  /\  X  e/  dom  F ) ) )  ->  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W )  /\  Z  e.  _V ) )
21 df-3an 975 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W  /\  Z  e.  _V )  <->  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W
)  /\  Z  e.  _V ) )
2220, 21sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( Z  e.  _V  /\  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W )  /\  ( Fun  F  /\  X  e/  dom  F ) ) )  ->  ( X  e.  V  /\  Y  e.  W  /\  Z  e. 
_V ) )
23 snopfsupp 7853 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W  /\  Z  e.  _V )  ->  { <. X ,  Y >. } finSupp  Z )
2422, 23syl 16 . . . . 5  |-  ( ( Z  e.  _V  /\  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W )  /\  ( Fun  F  /\  X  e/  dom  F ) ) )  ->  { <. X ,  Y >. } finSupp  Z )
2524biantrud 507 . . . 4  |-  ( ( Z  e.  _V  /\  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W )  /\  ( Fun  F  /\  X  e/  dom  F ) ) )  ->  ( F finSupp  Z  <->  ( F finSupp  Z  /\  { <. X ,  Y >. } finSupp  Z ) ) )
2617, 25bitr4d 256 . . 3  |-  ( ( Z  e.  _V  /\  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W )  /\  ( Fun  F  /\  X  e/  dom  F ) ) )  ->  ( ( F  u.  { <. X ,  Y >. } ) finSupp  Z  <->  F finSupp  Z ) )
2726ex 434 . 2  |-  ( Z  e.  _V  ->  (
( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W )  /\  ( Fun  F  /\  X  e/  dom  F ) )  -> 
( ( F  u.  {
<. X ,  Y >. } ) finSupp  Z  <->  F finSupp  Z ) ) )
28 relfsupp 7832 . . . . 5  |-  Rel finSupp
2928brrelex2i 5041 . . . 4  |-  ( ( F  u.  { <. X ,  Y >. } ) finSupp  Z  ->  Z  e.  _V )
3028brrelex2i 5041 . . . 4  |-  ( F finSupp  Z  ->  Z  e.  _V )
3129, 30pm5.21ni 352 . . 3  |-  ( -.  Z  e.  _V  ->  ( ( F  u.  { <. X ,  Y >. } ) finSupp  Z  <->  F finSupp  Z ) )
3231a1d 25 . 2  |-  ( -.  Z  e.  _V  ->  ( ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W )  /\  ( Fun  F  /\  X  e/  dom  F ) )  -> 
( ( F  u.  {
<. X ,  Y >. } ) finSupp  Z  <->  F finSupp  Z ) ) )
3327, 32pm2.61i 164 1  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W
)  /\  ( Fun  F  /\  X  e/  dom  F ) )  ->  (
( F  u.  { <. X ,  Y >. } ) finSupp  Z  <->  F finSupp  Z ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    e/ wnel 2663   _Vcvv 3113    u. cun 3474    i^i cin 3475   (/)c0 3785   {csn 4027   <.cop 4033   class class class wbr 4447   dom cdm 4999   Fun wfun 5582   finSupp cfsupp 7830
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-supp 6903  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-oadd 7135  df-er 7312  df-en 7518  df-fin 7521  df-fsupp 7831
This theorem is referenced by:  islindf4  18680
  Copyright terms: Public domain W3C validator