MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funsnfsupp Structured version   Unicode version

Theorem funsnfsupp 7656
Description: Finite support for a function extended by a singleton. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Feb-2015.) (Revised by AV, 19-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
funsnfsupp  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W
)  /\  ( Fun  F  /\  X  e/  dom  F ) )  ->  (
( F  u.  { <. X ,  Y >. } ) finSupp  Z  <->  F finSupp  Z ) )

Proof of Theorem funsnfsupp
StepHypRef Expression
1 funsng 5476 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W )  ->  Fun  { <. X ,  Y >. } )
2 simpl 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  F  /\  X  e/  dom  F )  ->  Fun  F )
31, 2anim12ci 567 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W
)  /\  ( Fun  F  /\  X  e/  dom  F ) )  ->  ( Fun  F  /\  Fun  { <. X ,  Y >. } ) )
4 dmsnopg 5322 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y  e.  W  ->  dom  {
<. X ,  Y >. }  =  { X }
)
54adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W )  ->  dom  { <. X ,  Y >. }  =  { X } )
65ineq2d 3564 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W )  ->  ( dom  F  i^i  dom 
{ <. X ,  Y >. } )  =  ( dom  F  i^i  { X } ) )
7 df-nel 2621 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e/  dom  F  <->  -.  X  e.  dom  F )
8 disjsn 3948 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( dom  F  i^i  { X } )  =  (/)  <->  -.  X  e.  dom  F )
98biimpri 206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  X  e.  dom  F  ->  ( dom  F  i^i  { X } )  =  (/) )
107, 9sylbi 195 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e/  dom  F  -> 
( dom  F  i^i  { X } )  =  (/) )
1110adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  F  /\  X  e/  dom  F )  -> 
( dom  F  i^i  { X } )  =  (/) )
126, 11sylan9eq 2495 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W
)  /\  ( Fun  F  /\  X  e/  dom  F ) )  ->  ( dom  F  i^i  dom  { <. X ,  Y >. } )  =  (/) )
133, 12jca 532 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W
)  /\  ( Fun  F  /\  X  e/  dom  F ) )  ->  (
( Fun  F  /\  Fun  { <. X ,  Y >. } )  /\  ( dom  F  i^i  dom  { <. X ,  Y >. } )  =  (/) ) )
1413adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( Z  e.  _V  /\  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W )  /\  ( Fun  F  /\  X  e/  dom  F ) ) )  ->  ( ( Fun 
F  /\  Fun  { <. X ,  Y >. } )  /\  ( dom  F  i^i  dom  { <. X ,  Y >. } )  =  (/) ) )
15 funun 5472 . . . . . 6  |-  ( ( ( Fun  F  /\  Fun  { <. X ,  Y >. } )  /\  ( dom  F  i^i  dom  { <. X ,  Y >. } )  =  (/) )  ->  Fun  ( F  u.  { <. X ,  Y >. } ) )
1614, 15syl 16 . . . . 5  |-  ( ( Z  e.  _V  /\  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W )  /\  ( Fun  F  /\  X  e/  dom  F ) ) )  ->  Fun  ( F  u.  { <. X ,  Y >. } ) )
1716fsuppunbi 7653 . . . 4  |-  ( ( Z  e.  _V  /\  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W )  /\  ( Fun  F  /\  X  e/  dom  F ) ) )  ->  ( ( F  u.  { <. X ,  Y >. } ) finSupp  Z  <->  ( F finSupp  Z  /\  { <. X ,  Y >. } finSupp  Z ) ) )
18 simpl 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W
)  /\  ( Fun  F  /\  X  e/  dom  F ) )  ->  ( X  e.  V  /\  Y  e.  W )
)
1918anim2i 569 . . . . . . . 8  |-  ( ( Z  e.  _V  /\  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W )  /\  ( Fun  F  /\  X  e/  dom  F ) ) )  ->  ( Z  e. 
_V  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  W ) ) )
2019ancomd 451 . . . . . . 7  |-  ( ( Z  e.  _V  /\  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W )  /\  ( Fun  F  /\  X  e/  dom  F ) ) )  ->  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W )  /\  Z  e.  _V ) )
21 df-3an 967 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W  /\  Z  e.  _V )  <->  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W
)  /\  Z  e.  _V ) )
2220, 21sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( Z  e.  _V  /\  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W )  /\  ( Fun  F  /\  X  e/  dom  F ) ) )  ->  ( X  e.  V  /\  Y  e.  W  /\  Z  e. 
_V ) )
23 snopfsupp 7655 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W  /\  Z  e.  _V )  ->  { <. X ,  Y >. } finSupp  Z )
2422, 23syl 16 . . . . 5  |-  ( ( Z  e.  _V  /\  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W )  /\  ( Fun  F  /\  X  e/  dom  F ) ) )  ->  { <. X ,  Y >. } finSupp  Z )
2524biantrud 507 . . . 4  |-  ( ( Z  e.  _V  /\  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W )  /\  ( Fun  F  /\  X  e/  dom  F ) ) )  ->  ( F finSupp  Z  <->  ( F finSupp  Z  /\  { <. X ,  Y >. } finSupp  Z ) ) )
2617, 25bitr4d 256 . . 3  |-  ( ( Z  e.  _V  /\  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W )  /\  ( Fun  F  /\  X  e/  dom  F ) ) )  ->  ( ( F  u.  { <. X ,  Y >. } ) finSupp  Z  <->  F finSupp  Z ) )
2726ex 434 . 2  |-  ( Z  e.  _V  ->  (
( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W )  /\  ( Fun  F  /\  X  e/  dom  F ) )  -> 
( ( F  u.  {
<. X ,  Y >. } ) finSupp  Z  <->  F finSupp  Z ) ) )
28 relfsupp 7634 . . . . 5  |-  Rel finSupp
2928brrelex2i 4892 . . . 4  |-  ( ( F  u.  { <. X ,  Y >. } ) finSupp  Z  ->  Z  e.  _V )
3028brrelex2i 4892 . . . 4  |-  ( F finSupp  Z  ->  Z  e.  _V )
3129, 30pm5.21ni 352 . . 3  |-  ( -.  Z  e.  _V  ->  ( ( F  u.  { <. X ,  Y >. } ) finSupp  Z  <->  F finSupp  Z ) )
3231a1d 25 . 2  |-  ( -.  Z  e.  _V  ->  ( ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W )  /\  ( Fun  F  /\  X  e/  dom  F ) )  -> 
( ( F  u.  {
<. X ,  Y >. } ) finSupp  Z  <->  F finSupp  Z ) ) )
3327, 32pm2.61i 164 1  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W
)  /\  ( Fun  F  /\  X  e/  dom  F ) )  ->  (
( F  u.  { <. X ,  Y >. } ) finSupp  Z  <->  F finSupp  Z ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    e/ wnel 2619   _Vcvv 2984    u. cun 3338    i^i cin 3339   (/)c0 3649   {csn 3889   <.cop 3895   class class class wbr 4304   dom cdm 4852   Fun wfun 5424   finSupp cfsupp 7632
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-supp 6703  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-oadd 6936  df-er 7113  df-en 7323  df-fin 7326  df-fsupp 7633
This theorem is referenced by:  islindf4  18279
  Copyright terms: Public domain W3C validator