Theorem funsnOLD 4464

Description: A singleton of an ordered pair is a function. Theorem 10.5 of [Quine] p. 65.

Hypotheses

Ref	Expression
funsn.1	|- A e. _V
funsn.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
funsnOLD	|- Fun {<.A, B>.}

Proof of Theorem funsnOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dffun4 4433	. 2 |- (Fun {<.A, B>.} <-> (Rel {<.A, B>.} /\ A.xA.yA.z((<.x, y>. e. {<.A, B>.} /\ <.x, z>. e. {<.A, B>.}) -> y = z)))
2		funsn.1	. . 3 |- A e. _V
3	2	relsn 4087	. 2 |- Rel {<.A, B>.}
4		eqtr3 1907	. . . . 5 |- ((y = B /\ z = B) -> y = z)
5		opex 3527	. . . . . . 7 |- <.x, y>. e. _V
6	5	elsnc 3065	. . . . . 6 |- (<.x, y>. e. {<.A, B>.} <-> <.x, y>. = <.A, B>.)
7		visset 2295	. . . . . . 7 |- y e. _V
8		funsn.2	. . . . . . 7 |- B e. _V
9	7, 8	opth2 3546	. . . . . 6 |- (<.x, y>. = <.A, B>. -> y = B)
10	6, 9	sylbi 216	. . . . 5 |- (<.x, y>. e. {<.A, B>.} -> y = B)
11		opex 3527	. . . . . . 7 |- <.x, z>. e. _V
12	11	elsnc 3065	. . . . . 6 |- (<.x, z>. e. {<.A, B>.} <-> <.x, z>. = <.A, B>.)
13		visset 2295	. . . . . . 7 |- z e. _V
14	13, 8	opth2 3546	. . . . . 6 |- (<.x, z>. = <.A, B>. -> z = B)
15	12, 14	sylbi 216	. . . . 5 |- (<.x, z>. e. {<.A, B>.} -> z = B)
16	4, 10, 15	syl2an 503	. . . 4 |- ((<.x, y>. e. {<.A, B>.} /\ <.x, z>. e. {<.A, B>.}) -> y = z)
17	16	ax-gen 1305	. . 3 |- A.z((<.x, y>. e. {<.A, B>.} /\ <.x, z>. e. {<.A, B>.}) -> y = z)
18	17	gen2 1329	. 2 |- A.xA.yA.z((<.x, y>. e. {<.A, B>.} /\ <.x, z>. e. {<.A, B>.}) -> y = z)
19	1, 3, 18	mpbir2an 800	1 |- Fun {<.A, B>.}

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  _Vcvv 2292  {csn 3044  <.cop 3046  Rel wrel 3991  Fun wfun 3992

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-fun 4008

Copyright terms: Public domain