Theorem funsn 4463

Description: A singleton of an ordered pair is a function. Theorem 10.5 of [Quine] p. 65. (The proof was shortened by Andrew Salmon, 17-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
funsn.1	|- A e. _V
funsn.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
funsn	|- Fun {<.A, B>.}

Proof of Theorem funsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dffun6 4436	. 2 |- (Fun {<.A, B>.} <-> (Rel {<.A, B>.} /\ A.xE*y x{<.A, B>.}y))
2		funsn.1	. . 3 |- A e. _V
3	2	relsn 4087	. 2 |- Rel {<.A, B>.}
4		moeq 2431	. . . . . . 7 |- E*y y = B
5	4	moani 1820	. . . . . 6 |- E*y(x = A /\ y = B)
6		visset 2295	. . . . . . . 8 |- x e. _V
7		visset 2295	. . . . . . . 8 |- y e. _V
8		funsn.2	. . . . . . . 8 |- B e. _V
9	6, 7, 8	opth 3532	. . . . . . 7 |- (<.x, y>. = <.A, B>. <-> (x = A /\ y = B))
10	9	mobii 1801	. . . . . 6 |- (E*y<.x, y>. = <.A, B>. <-> E*y(x = A /\ y = B))
11	5, 10	mpbir 207	. . . . 5 |- E*y<.x, y>. = <.A, B>.
12		opex 3527	. . . . . . 7 |- <.x, y>. e. _V
13	12	elsnc 3065	. . . . . 6 |- (<.x, y>. e. {<.A, B>.} <-> <.x, y>. = <.A, B>.)
14	13	mobii 1801	. . . . 5 |- (E*y<.x, y>. e. {<.A, B>.} <-> E*y<.x, y>. = <.A, B>.)
15	11, 14	mpbir 207	. . . 4 |- E*y<.x, y>. e. {<.A, B>.}
16		df-br 3339	. . . . 5 |- (x{<.A, B>.}y <-> <.x, y>. e. {<.A, B>.})
17	16	mobii 1801	. . . 4 |- (E*y x{<.A, B>.}y <-> E*y<.x, y>. e. {<.A, B>.})
18	15, 17	mpbir 207	. . 3 |- E*y x{<.A, B>.}y
19	18	ax-gen 1305	. 2 |- A.xE*y x{<.A, B>.}y
20	1, 3, 19	mpbir2an 800	1 |- Fun {<.A, B>.}

Syntax hints:   /\ wa 240  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  E*wmo 1772  _Vcvv 2292  {csn 3044  <.cop 3046   class class class wbr 3338  Rel wrel 3991  Fun wfun 3992

This theorem is referenced by:  funsng 4465  funtp 4468  fnsn 4469  fun0 4472  f1osnOLD 4675  fvsn 4758  tfrlem10 5128  ringsn 9490  zrdivrng 10418  bnj519 12520  bnj1421 13532  wfrlem13 13969  repfuntw 14502  1alg 15069

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-fun 4008

Copyright terms: Public domain