Theorem funsn 3618

Description: A singleton of an ordered pair is a function. Theorem 10.5 of [Quine] p. 65.

Hypotheses

Ref	Expression
funsn.1	|- A e. V
funsn.2	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
funsn	|- Fun {<.A, B>.}

Proof of Theorem funsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dffun4 3603	. 2 |- (Fun {<.A, B>.} <-> (Rel {<.A, B>.} /\ A.xA.yA.z((<.x, y>. e. {<.A, B>.} /\ <.x, z>. e. {<.A, B>.}) -> y = z)))
2		funsn.1	. . 3 |- A e. V
3	2	relsn 3316	. 2 |- Rel {<.A, B>.}
4		eqtr3 1531	. . . . 5 |- ((y = B /\ z = B) -> y = z)
5		opex 2835	. . . . . . 7 |- <.x, y>. e. V
6	5	elsnc 2476	. . . . . 6 |- (<.x, y>. e. {<.A, B>.} <-> <.x, y>. = <.A, B>.)
7		visset 1851	. . . . . . 7 |- y e. V
8		funsn.2	. . . . . . 7 |- B e. V
9	7, 8	opth2 2853	. . . . . 6 |- (<.x, y>. = <.A, B>. -> y = B)
10	6, 9	sylbi 197	. . . . 5 |- (<.x, y>. e. {<.A, B>.} -> y = B)
11		opex 2835	. . . . . . 7 |- <.x, z>. e. V
12	11	elsnc 2476	. . . . . 6 |- (<.x, z>. e. {<.A, B>.} <-> <.x, z>. = <.A, B>.)
13		visset 1851	. . . . . . 7 |- z e. V
14	13, 8	opth2 2853	. . . . . 6 |- (<.x, z>. = <.A, B>. -> z = B)
15	12, 14	sylbi 197	. . . . 5 |- (<.x, z>. e. {<.A, B>.} -> z = B)
16	4, 10, 15	syl2an 456	. . . 4 |- ((<.x, y>. e. {<.A, B>.} /\ <.x, z>. e. {<.A, B>.}) -> y = z)
17	16	ax-gen 995	. . 3 |- A.z((<.x, y>. e. {<.A, B>.} /\ <.x, z>. e. {<.A, B>.}) -> y = z)
18	17	gen2 1015	. 2 |- A.xA.yA.z((<.x, y>. e. {<.A, B>.} /\ <.x, z>. e. {<.A, B>.}) -> y = z)
19	1, 3, 18	mpbir2an 733	1 |- Fun {<.A, B>.}

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 221  A.wal 986   = wceq 988   e. wcel 990  Vcvv 1849  {csn 2454  <.cop 2456  Rel wrel 3230  Fun wfun 3231

This theorem is referenced by:  fun0 3619  f1osn 3795  fvsn 3870  tfrlem10 3996  ringsn 8282  1alg 10789

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 994  ax-gen 995  ax-8 996  ax-10 998  ax-11 999  ax-12 1000  ax-13 1001  ax-14 1002  ax-17 1003  ax-4 1005  ax-5o 1007  ax-6o 1010  ax-9o 1155  ax-10o 1173  ax-16 1243  ax-11o 1251  ax-ext 1494  ax-sep 2754  ax-nul 2761  ax-pow 2794  ax-pr 2832

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-ex 1013  df-sb 1205  df-eu 1415  df-mo 1416  df-clab 1500  df-cleq 1505  df-clel 1508  df-ne 1624  df-v 1850  df-dif 2093  df-un 2094  df-in 2095  df-ss 2097  df-nul 2325  df-pw 2447  df-sn 2457  df-pr 2458  df-op 2461  df-br 2670  df-opab 2718  df-id 2889  df-xp 3239  df-rel 3240  df-cnv 3241  df-co 3242  df-fun 3247

Copyright terms: Public domain