Theorem funrnex 4544

Description: If the domain of a function exists, so does its range. Part of Theorem 4.15(v) of [Monk1] p. 46. This theorem is derived using the Axiom of Replacement in the form of funex 4537.

Assertion

Ref	Expression
funrnex	|- (dom F e. B -> (Fun F -> ran F e. _V))

Proof of Theorem funrnex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funex 4537	. . 3 |- ((Fun F /\ dom F e. B) -> F e. _V)
2	1	ex 402	. 2 |- (Fun F -> (dom F e. B -> F e. _V))
3		rnexg 4207	. 2 |- (F e. _V -> ran F e. _V)
4	2, 3	syl6com 64	1 |- (dom F e. B -> (Fun F -> ran F e. _V))

Syntax hints:   -> wi 3   e. wcel 1300  _Vcvv 2292  dom cdm 3986  ran crn 3987  Fun wfun 3992

This theorem is referenced by:  zfrep6 4545  fornex 4625  tz7.48-3 5167  ordtypelem4 5687  hartog 5693  inf0 5712  inf3lem7 5725  noinfep 5747  zorn2lem4 5953  domrancur1b 14548  supnuf 15041  ordtypelem4OLD 15378  hartogOLD 15384

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009

Copyright terms: Public domain