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Theorem funressnfv 30039
Description: A restriction to a singleton with a function value is a function under certain conditions. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Jul-2017.)
Assertion
Ref Expression
funressnfv  |-  ( ( ( X  e.  dom  ( F  o.  G
)  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A ) )  ->  Fun  ( F  |`  { ( G `  X ) } ) )

Proof of Theorem funressnfv
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relres 5143 . . 3  |-  Rel  ( F  |`  { ( G `
 X ) } )
21a1i 11 . 2  |-  ( ( ( X  e.  dom  ( F  o.  G
)  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A ) )  ->  Rel  ( F  |`  { ( G `  X ) } ) )
3 dmfco 5770 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  G  /\  X  e.  dom  G )  -> 
( X  e.  dom  ( F  o.  G
)  <->  ( G `  X )  e.  dom  F ) )
43biimpd 207 . . . . . . . 8  |-  ( ( Fun  G  /\  X  e.  dom  G )  -> 
( X  e.  dom  ( F  o.  G
)  ->  ( G `  X )  e.  dom  F ) )
54funfni 5516 . . . . . . 7  |-  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  ( X  e.  dom  ( F  o.  G
)  ->  ( G `  X )  e.  dom  F ) )
6 dmressnsn 30033 . . . . . . . 8  |-  ( ( G `  X )  e.  dom  F  ->  dom  ( F  |`  { ( G `  X ) } )  =  {
( G `  X
) } )
7 eleq2 2504 . . . . . . . . . 10  |-  ( dom  ( F  |`  { ( G `  X ) } )  =  {
( G `  X
) }  ->  (
x  e.  dom  ( F  |`  { ( G `
 X ) } )  <->  x  e.  { ( G `  X ) } ) )
8 elsn 3896 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  { ( G `
 X ) }  <-> 
x  =  ( G `
 X ) )
9 dmressnsn 30033 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( X  e.  dom  ( F  o.  G )  ->  dom  ( ( F  o.  G )  |`  { X } )  =  { X } )
10 dffun7 5449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } )  <->  ( Rel  ( ( F  o.  G )  |`  { X } )  /\  A. x  e.  dom  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) E* y  x ( ( F  o.  G
)  |`  { X }
) y ) )
11 snidg 3908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( X  e.  dom  ( F  o.  G )  ->  X  e.  { X } )
1211adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( dom  ( ( F  o.  G )  |`  { X } )  =  { X }  /\  X  e.  dom  ( F  o.  G ) )  ->  X  e.  { X } )
13 eleq2 2504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( { X }  =  dom  ( ( F  o.  G )  |`  { X } )  ->  ( X  e.  { X } 
<->  X  e.  dom  (
( F  o.  G
)  |`  { X }
) ) )
1413eqcoms 2446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( dom  ( ( F  o.  G )  |`  { X } )  =  { X }  ->  ( X  e.  { X }  <->  X  e.  dom  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) ) )
1514adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( dom  ( ( F  o.  G )  |`  { X } )  =  { X }  /\  X  e.  dom  ( F  o.  G ) )  ->  ( X  e. 
{ X }  <->  X  e.  dom  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) ) )
1612, 15mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( dom  ( ( F  o.  G )  |`  { X } )  =  { X }  /\  X  e.  dom  ( F  o.  G ) )  ->  X  e.  dom  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )
17 fvex 5706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( G `
 X )  e. 
_V
1817isseti 2983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  E. z 
z  =  ( G `
 X )
19 eqcom 2445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( z  =  ( G `  X )  <->  ( G `  X )  =  z )
20 fnbrfvb 5737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  ( ( G `  X )  =  z  <-> 
X G z ) )
2119, 20syl5bb 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  ( z  =  ( G `  X )  <-> 
X G z ) )
2221biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  ( z  =  ( G `  X )  ->  X G z ) )
23 breq1 4300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( G `  X )  =  z  ->  (
( G `  X
) F y  <->  z F
y ) )
2423eqcoms 2446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( z  =  ( G `  X )  ->  (
( G `  X
) F y  <->  z F
y ) )
2524biimpcd 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( G `  X ) F y  ->  (
z  =  ( G `
 X )  -> 
z F y ) )
2622, 25anim12ii 570 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A
)  /\  ( G `  X ) F y )  ->  ( z  =  ( G `  X )  ->  ( X G z  /\  z F y ) ) )
2726eximdv 1676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A
)  /\  ( G `  X ) F y )  ->  ( E. z  z  =  ( G `  X )  ->  E. z ( X G z  /\  z F y ) ) )
2818, 27mpi 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A
)  /\  ( G `  X ) F y )  ->  E. z
( X G z  /\  z F y ) )
29 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  X  e.  A )
30 vex 2980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  y  e. 
_V
31 brcog 5011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( X  e.  A  /\  y  e.  _V )  ->  ( X ( F  o.  G ) y  <->  E. z ( X G z  /\  z F y ) ) )
3229, 30, 31sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  ( X ( F  o.  G ) y  <->  E. z ( X G z  /\  z F y ) ) )
3332adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A
)  /\  ( G `  X ) F y )  ->  ( X
( F  o.  G
) y  <->  E. z
( X G z  /\  z F y ) ) )
3428, 33mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A
)  /\  ( G `  X ) F y )  ->  X ( F  o.  G )
y )
35 snidg 3908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( X  e.  A  ->  X  e.  { X } )
3635biantrud 507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( X  e.  A  ->  ( X ( F  o.  G ) y  <->  ( X
( F  o.  G
) y  /\  X  e.  { X } ) ) )
3730brres 5122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( X ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) y  <->  ( X
( F  o.  G
) y  /\  X  e.  { X } ) )
3836, 37syl6rbbr 264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( X  e.  A  ->  ( X ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) y  <-> 
X ( F  o.  G ) y ) )
3938ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A
)  /\  ( G `  X ) F y )  ->  ( X
( ( F  o.  G )  |`  { X } ) y  <->  X ( F  o.  G )
y ) )
4034, 39mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A
)  /\  ( G `  X ) F y )  ->  X (
( F  o.  G
)  |`  { X }
) y )
4140ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  ( ( G `  X ) F y  ->  X ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) y ) )
4241adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( dom  (
( F  o.  G
)  |`  { X }
)  =  { X }  /\  X  e.  dom  ( F  o.  G
) )  /\  x  =  X )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )
)  ->  ( ( G `  X ) F y  ->  X
( ( F  o.  G )  |`  { X } ) y ) )
43 breq1 4300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( X  =  x  ->  ( X ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) y  <-> 
x ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) y ) )
4443eqcoms 2446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( x  =  X  ->  ( X ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) y  <-> 
x ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) y ) )
4544ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( dom  (
( F  o.  G
)  |`  { X }
)  =  { X }  /\  X  e.  dom  ( F  o.  G
) )  /\  x  =  X )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )
)  ->  ( X
( ( F  o.  G )  |`  { X } ) y  <->  x (
( F  o.  G
)  |`  { X }
) y ) )
4642, 45sylibd 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( dom  (
( F  o.  G
)  |`  { X }
)  =  { X }  /\  X  e.  dom  ( F  o.  G
) )  /\  x  =  X )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )
)  ->  ( ( G `  X ) F y  ->  x
( ( F  o.  G )  |`  { X } ) y ) )
4746alrimiv 1685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( dom  (
( F  o.  G
)  |`  { X }
)  =  { X }  /\  X  e.  dom  ( F  o.  G
) )  /\  x  =  X )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )
)  ->  A. y
( ( G `  X ) F y  ->  x ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) y ) )
48 moim 2319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( A. y ( ( G `
 X ) F y  ->  x (
( F  o.  G
)  |`  { X }
) y )  -> 
( E* y  x ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) y  ->  E* y ( G `  X ) F y ) )
4947, 48syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( dom  (
( F  o.  G
)  |`  { X }
)  =  { X }  /\  X  e.  dom  ( F  o.  G
) )  /\  x  =  X )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )
)  ->  ( E* y  x ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) y  ->  E* y ( G `  X ) F y ) )
5049ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( dom  ( ( F  o.  G )  |`  { X } )  =  { X }  /\  X  e.  dom  ( F  o.  G
) )  /\  x  =  X )  ->  (
( G  Fn  A  /\  X  e.  A
)  ->  ( E* y  x ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) y  ->  E* y ( G `  X ) F y ) ) )
5150com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( dom  ( ( F  o.  G )  |`  { X } )  =  { X }  /\  X  e.  dom  ( F  o.  G
) )  /\  x  =  X )  ->  ( E* y  x (
( F  o.  G
)  |`  { X }
) y  ->  (
( G  Fn  A  /\  X  e.  A
)  ->  E* y
( G `  X
) F y ) ) )
5216, 51rspcimdv 3079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( dom  ( ( F  o.  G )  |`  { X } )  =  { X }  /\  X  e.  dom  ( F  o.  G ) )  ->  ( A. x  e.  dom  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) E* y  x ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) y  ->  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  E* y ( G `
 X ) F y ) ) )
5352ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( dom  ( ( F  o.  G )  |`  { X } )  =  { X }  ->  ( X  e.  dom  ( F  o.  G )  -> 
( A. x  e. 
dom  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) E* y  x ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) y  ->  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  E* y ( G `
 X ) F y ) ) ) )
5453com13 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A. x  e.  dom  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) E* y  x ( ( F  o.  G
)  |`  { X }
) y  ->  ( X  e.  dom  ( F  o.  G )  -> 
( dom  ( ( F  o.  G )  |` 
{ X } )  =  { X }  ->  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A
)  ->  E* y
( G `  X
) F y ) ) ) )
5554adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( Rel  ( ( F  o.  G )  |`  { X } )  /\  A. x  e.  dom  (
( F  o.  G
)  |`  { X }
) E* y  x ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) y )  ->  ( X  e. 
dom  ( F  o.  G )  ->  ( dom  ( ( F  o.  G )  |`  { X } )  =  { X }  ->  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  E* y ( G `
 X ) F y ) ) ) )
5610, 55sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } )  ->  ( X  e.  dom  ( F  o.  G )  -> 
( dom  ( ( F  o.  G )  |` 
{ X } )  =  { X }  ->  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A
)  ->  E* y
( G `  X
) F y ) ) ) )
5756com13 80 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( dom  ( ( F  o.  G )  |`  { X } )  =  { X }  ->  ( X  e.  dom  ( F  o.  G )  -> 
( Fun  ( ( F  o.  G )  |` 
{ X } )  ->  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  E* y ( G `  X ) F y ) ) ) )
589, 57mpcom 36 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( X  e.  dom  ( F  o.  G )  -> 
( Fun  ( ( F  o.  G )  |` 
{ X } )  ->  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  E* y ( G `  X ) F y ) ) )
5958imp31 432 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( X  e.  dom  ( F  o.  G
)  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A ) )  ->  E* y ( G `  X ) F y )
6017snid 3910 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( G `
 X )  e. 
{ ( G `  X ) }
6160biantru 505 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G `  X ) F y  <->  ( ( G `  X ) F y  /\  ( G `  X )  e.  { ( G `  X ) } ) )
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( X  e.  dom  ( F  o.  G
)  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A ) )  -> 
( ( G `  X ) F y  <-> 
( ( G `  X ) F y  /\  ( G `  X )  e.  {
( G `  X
) } ) ) )
6362mobidv 2277 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( X  e.  dom  ( F  o.  G
)  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A ) )  -> 
( E* y ( G `  X ) F y  <->  E* y
( ( G `  X ) F y  /\  ( G `  X )  e.  {
( G `  X
) } ) ) )
6459, 63mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X  e.  dom  ( F  o.  G
)  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A ) )  ->  E* y ( ( G `
 X ) F y  /\  ( G `
 X )  e. 
{ ( G `  X ) } ) )
6564adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  ( G `
 X )  /\  ( ( X  e. 
dom  ( F  o.  G )  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A
) ) )  ->  E* y ( ( G `
 X ) F y  /\  ( G `
 X )  e. 
{ ( G `  X ) } ) )
66 breq1 4300 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( G `  X )  ->  (
x ( F  |`  { ( G `  X ) } ) y  <->  ( G `  X ) ( F  |`  { ( G `  X ) } ) y ) )
6730brres 5122 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G `  X ) ( F  |`  { ( G `  X ) } ) y  <->  ( ( G `  X ) F y  /\  ( G `  X )  e.  { ( G `  X ) } ) )
6866, 67syl6rbb 262 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( G `  X )  ->  (
( ( G `  X ) F y  /\  ( G `  X )  e.  {
( G `  X
) } )  <->  x ( F  |`  { ( G `
 X ) } ) y ) )
6968adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  ( G `
 X )  /\  ( ( X  e. 
dom  ( F  o.  G )  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A
) ) )  -> 
( ( ( G `
 X ) F y  /\  ( G `
 X )  e. 
{ ( G `  X ) } )  <-> 
x ( F  |`  { ( G `  X ) } ) y ) )
7069mobidv 2277 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  ( G `
 X )  /\  ( ( X  e. 
dom  ( F  o.  G )  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A
) ) )  -> 
( E* y ( ( G `  X
) F y  /\  ( G `  X )  e.  { ( G `
 X ) } )  <->  E* y  x ( F  |`  { ( G `  X ) } ) y ) )
7165, 70mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  ( G `
 X )  /\  ( ( X  e. 
dom  ( F  o.  G )  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A
) ) )  ->  E* y  x ( F  |`  { ( G `
 X ) } ) y )
7271ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( G `  X )  ->  (
( ( X  e. 
dom  ( F  o.  G )  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A
) )  ->  E* y  x ( F  |`  { ( G `  X ) } ) y ) )
738, 72sylbi 195 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  { ( G `
 X ) }  ->  ( ( ( X  e.  dom  ( F  o.  G )  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A
) )  ->  E* y  x ( F  |`  { ( G `  X ) } ) y ) )
747, 73syl6bi 228 . . . . . . . . 9  |-  ( dom  ( F  |`  { ( G `  X ) } )  =  {
( G `  X
) }  ->  (
x  e.  dom  ( F  |`  { ( G `
 X ) } )  ->  ( (
( X  e.  dom  ( F  o.  G
)  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A ) )  ->  E* y  x ( F  |`  { ( G `
 X ) } ) y ) ) )
7574com23 78 . . . . . . . 8  |-  ( dom  ( F  |`  { ( G `  X ) } )  =  {
( G `  X
) }  ->  (
( ( X  e. 
dom  ( F  o.  G )  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A
) )  ->  (
x  e.  dom  ( F  |`  { ( G `
 X ) } )  ->  E* y  x ( F  |`  { ( G `  X ) } ) y ) ) )
766, 75syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( G `  X )  e.  dom  F  -> 
( ( ( X  e.  dom  ( F  o.  G )  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A
) )  ->  (
x  e.  dom  ( F  |`  { ( G `
 X ) } )  ->  E* y  x ( F  |`  { ( G `  X ) } ) y ) ) )
775, 76syl6com 35 . . . . . 6  |-  ( X  e.  dom  ( F  o.  G )  -> 
( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A
)  ->  ( (
( X  e.  dom  ( F  o.  G
)  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A ) )  -> 
( x  e.  dom  ( F  |`  { ( G `  X ) } )  ->  E* y  x ( F  |`  { ( G `  X ) } ) y ) ) ) )
7877a1d 25 . . . . 5  |-  ( X  e.  dom  ( F  o.  G )  -> 
( Fun  ( ( F  o.  G )  |` 
{ X } )  ->  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  (
( ( X  e. 
dom  ( F  o.  G )  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A
) )  ->  (
x  e.  dom  ( F  |`  { ( G `
 X ) } )  ->  E* y  x ( F  |`  { ( G `  X ) } ) y ) ) ) ) )
7978imp31 432 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  dom  ( F  o.  G
)  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A ) )  -> 
( ( ( X  e.  dom  ( F  o.  G )  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A
) )  ->  (
x  e.  dom  ( F  |`  { ( G `
 X ) } )  ->  E* y  x ( F  |`  { ( G `  X ) } ) y ) ) )
8079pm2.43i 47 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  dom  ( F  o.  G
)  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A ) )  -> 
( x  e.  dom  ( F  |`  { ( G `  X ) } )  ->  E* y  x ( F  |`  { ( G `  X ) } ) y ) )
8180ralrimiv 2803 . 2  |-  ( ( ( X  e.  dom  ( F  o.  G
)  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A ) )  ->  A. x  e.  dom  ( F  |`  { ( G `  X ) } ) E* y  x ( F  |`  { ( G `  X ) } ) y )
82 dffun7 5449 . 2  |-  ( Fun  ( F  |`  { ( G `  X ) } )  <->  ( Rel  ( F  |`  { ( G `  X ) } )  /\  A. x  e.  dom  ( F  |`  { ( G `  X ) } ) E* y  x ( F  |`  { ( G `  X ) } ) y ) )
832, 81, 82sylanbrc 664 1  |-  ( ( ( X  e.  dom  ( F  o.  G
)  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A ) )  ->  Fun  ( F  |`  { ( G `  X ) } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1367    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756   E*wmo 2254   A.wral 2720   _Vcvv 2977   {csn 3882   class class class wbr 4297   dom cdm 4845    |` cres 4847    o. ccom 4849   Rel wrel 4850   Fun wfun 5417    Fn wfn 5418   ` cfv 5423
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pr 4536
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-ral 2725  df-rex 2726  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-nul 3643  df-if 3797  df-sn 3883  df-pr 3885  df-op 3889  df-uni 4097  df-br 4298  df-opab 4356  df-id 4641  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-res 4857  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-fv 5431
This theorem is referenced by:  afvco2  30087
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