Theorem funressnfv 37594

Description: A restriction to a singleton with a function value is a function under certain conditions. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Jul-2017.)

Assertion

Ref	Expression
funressnfv	|- ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> Fun ( F |` { ( G ` X ) } ) )

Proof of Theorem funressnfv

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relres 5123	. . 3 |- Rel ( F |` { ( G ` X ) } )
2	1	a1i 11	. 2 |- ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> Rel ( F |` { ( G ` X ) } ) )
3		dmfco 5925	. . . . . . . . 9 |- ( ( Fun G /\ X e. dom G ) -> ( X e. dom ( F o. G ) <-> ( G ` X ) e. dom F ) )
4	3	biimpd 209	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun G /\ X e. dom G ) -> ( X e. dom ( F o. G ) -> ( G ` X ) e. dom F ) )
5	4	funfni 5664	. . . . . . 7 |- ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> ( X e. dom ( F o. G ) -> ( G ` X ) e. dom F ) )
6		dmressnsn 5134	. . . . . . . 8 |- ( ( G ` X ) e. dom F -> dom ( F |` { ( G ` X ) } ) = { ( G ` X ) } )
7		eleq2 2477	. . . . . . . . . 10 |- ( dom ( F |` { ( G ` X ) } ) = { ( G ` X ) } -> ( x e. dom ( F |` { ( G ` X ) } ) <-> x e. { ( G ` X ) } ) )
8		elsn 3988	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. { ( G ` X ) } <-> x = ( G ` X ) )
9		dmressnsn 5134	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( X e. dom ( F o. G ) -> dom ( ( F o. G ) |` { X } ) = { X } )
10		dffun7 5597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) <-> ( Rel ( ( F o. G ) |` { X } ) /\ A. x e. dom ( ( F o. G ) |` { X } ) E* y x ( ( F o. G ) |` { X } ) y ) )
11		snidg 4000	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( X e. dom ( F o. G ) -> X e. { X } )
12	11	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( dom ( ( F o. G ) |` { X } ) = { X } /\ X e. dom ( F o. G ) ) -> X e. { X } )
13		eleq2 2477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( { X } = dom ( ( F o. G ) |` { X } ) -> ( X e. { X } <-> X e. dom ( ( F o. G ) |` { X } ) ) )
14	13	eqcoms 2416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( dom ( ( F o. G ) |` { X } ) = { X } -> ( X e. { X } <-> X e. dom ( ( F o. G ) |` { X } ) ) )
15	14	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( dom ( ( F o. G ) |` { X } ) = { X } /\ X e. dom ( F o. G ) ) -> ( X e. { X } <-> X e. dom ( ( F o. G ) |` { X } ) ) )
16	12, 15	mpbid 212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( dom ( ( F o. G ) |` { X } ) = { X } /\ X e. dom ( F o. G ) ) -> X e. dom ( ( F o. G ) |` { X } ) )
17		fvex 5861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( G ` X ) e. _V
18	17	isseti 3067	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- E. z z = ( G ` X )
19		eqcom 2413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( z = ( G ` X ) <-> ( G ` X ) = z )
20		fnbrfvb 5891	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> ( ( G ` X ) = z <-> X G z ) )
21	19, 20	syl5bb 259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> ( z = ( G ` X ) <-> X G z ) )
22	21	biimpd 209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> ( z = ( G ` X ) -> X G z ) )
23		breq1 4400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( G ` X ) = z -> ( ( G ` X ) F y <-> z F y ) )
24	23	eqcoms 2416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( z = ( G ` X ) -> ( ( G ` X ) F y <-> z F y ) )
25	24	biimpcd 226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( G ` X ) F y -> ( z = ( G ` X ) -> z F y ) )
26	22, 25	anim12ii 570	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( G Fn A /\ X e. A ) /\ ( G ` X ) F y ) -> ( z = ( G ` X ) -> ( X G z /\ z F y ) ) )
27	26	eximdv 1733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( G Fn A /\ X e. A ) /\ ( G ` X ) F y ) -> ( E. z z = ( G ` X ) -> E. z ( X G z /\ z F y ) ) )
28	18, 27	mpi 21	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( G Fn A /\ X e. A ) /\ ( G ` X ) F y ) -> E. z ( X G z /\ z F y ) )
29		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> X e. A )
30		vex 3064	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- y e. _V
31		brcog 4992	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( X e. A /\ y e. _V ) -> ( X ( F o. G ) y <-> E. z ( X G z /\ z F y ) ) )
32	29, 30, 31	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> ( X ( F o. G ) y <-> E. z ( X G z /\ z F y ) ) )
33	32	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( G Fn A /\ X e. A ) /\ ( G ` X ) F y ) -> ( X ( F o. G ) y <-> E. z ( X G z /\ z F y ) ) )
34	28, 33	mpbird 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( G Fn A /\ X e. A ) /\ ( G ` X ) F y ) -> X ( F o. G ) y )
35		snidg 4000	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( X e. A -> X e. { X } )
36	35	biantrud 507	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( X e. A -> ( X ( F o. G ) y <-> ( X ( F o. G ) y /\ X e. { X } ) ) )
37	30	brres 5102	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( X ( ( F o. G ) |` { X } ) y <-> ( X ( F o. G ) y /\ X e. { X } ) )
38	36, 37	syl6rbbr 266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( X e. A -> ( X ( ( F o. G ) |` { X } ) y <-> X ( F o. G ) y ) )
39	38	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( G Fn A /\ X e. A ) /\ ( G ` X ) F y ) -> ( X ( ( F o. G ) |` { X } ) y <-> X ( F o. G ) y ) )
40	34, 39	mpbird 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( G Fn A /\ X e. A ) /\ ( G ` X ) F y ) -> X ( ( F o. G ) |` { X } ) y )
41	40	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> ( ( G ` X ) F y -> X ( ( F o. G ) |` { X } ) y ) )
42	41	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( dom ( ( F o. G ) |` { X } ) = { X } /\ X e. dom ( F o. G ) ) /\ x = X ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> ( ( G ` X ) F y -> X ( ( F o. G ) |` { X } ) y ) )
43		breq1 4400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( X = x -> ( X ( ( F o. G ) |` { X } ) y <-> x ( ( F o. G ) |` { X } ) y ) )
44	43	eqcoms 2416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( x = X -> ( X ( ( F o. G ) |` { X } ) y <-> x ( ( F o. G ) |` { X } ) y ) )
45	44	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( dom ( ( F o. G ) |` { X } ) = { X } /\ X e. dom ( F o. G ) ) /\ x = X ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> ( X ( ( F o. G ) |` { X } ) y <-> x ( ( F o. G ) |` { X } ) y ) )
46	42, 45	sylibd 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( dom ( ( F o. G ) |` { X } ) = { X } /\ X e. dom ( F o. G ) ) /\ x = X ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> ( ( G ` X ) F y -> x ( ( F o. G ) |` { X } ) y ) )
47	46	alrimiv 1742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( dom ( ( F o. G ) |` { X } ) = { X } /\ X e. dom ( F o. G ) ) /\ x = X ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> A. y ( ( G ` X ) F y -> x ( ( F o. G ) |` { X } ) y ) )
48		moim 2293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( A. y ( ( G ` X ) F y -> x ( ( F o. G ) |` { X } ) y ) -> ( E* y x ( ( F o. G ) |` { X } ) y -> E* y ( G ` X ) F y ) )
49	47, 48	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( dom ( ( F o. G ) |` { X } ) = { X } /\ X e. dom ( F o. G ) ) /\ x = X ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> ( E* y x ( ( F o. G ) |` { X } ) y -> E* y ( G ` X ) F y ) )
50	49	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( dom ( ( F o. G ) |` { X } ) = { X } /\ X e. dom ( F o. G ) ) /\ x = X ) -> ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> ( E* y x ( ( F o. G ) |` { X } ) y -> E* y ( G ` X ) F y ) ) )
51	50	com23 80	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( dom ( ( F o. G ) |` { X } ) = { X } /\ X e. dom ( F o. G ) ) /\ x = X ) -> ( E* y x ( ( F o. G ) |` { X } ) y -> ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> E* y ( G ` X ) F y ) ) )
52	16, 51	rspcimdv 3163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( dom ( ( F o. G ) |` { X } ) = { X } /\ X e. dom ( F o. G ) ) -> ( A. x e. dom ( ( F o. G ) |` { X } ) E* y x ( ( F o. G ) |` { X } ) y -> ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> E* y ( G ` X ) F y ) ) )
53	52	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( dom ( ( F o. G ) |` { X } ) = { X } -> ( X e. dom ( F o. G ) -> ( A. x e. dom ( ( F o. G ) |` { X } ) E* y x ( ( F o. G ) |` { X } ) y -> ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> E* y ( G ` X ) F y ) ) ) )
54	53	com13 82	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( A. x e. dom ( ( F o. G ) |` { X } ) E* y x ( ( F o. G ) |` { X } ) y -> ( X e. dom ( F o. G ) -> ( dom ( ( F o. G ) |` { X } ) = { X } -> ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> E* y ( G ` X ) F y ) ) ) )
55	54	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( Rel ( ( F o. G ) |` { X } ) /\ A. x e. dom ( ( F o. G ) |` { X } ) E* y x ( ( F o. G ) |` { X } ) y ) -> ( X e. dom ( F o. G ) -> ( dom ( ( F o. G ) |` { X } ) = { X } -> ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> E* y ( G ` X ) F y ) ) ) )
56	10, 55	sylbi 197	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) -> ( X e. dom ( F o. G ) -> ( dom ( ( F o. G ) |` { X } ) = { X } -> ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> E* y ( G ` X ) F y ) ) ) )
57	56	com13 82	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( dom ( ( F o. G ) |` { X } ) = { X } -> ( X e. dom ( F o. G ) -> ( Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) -> ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> E* y ( G ` X ) F y ) ) ) )
58	9, 57	mpcom 36	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( X e. dom ( F o. G ) -> ( Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) -> ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> E* y ( G ` X ) F y ) ) )
59	58	imp31 432	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> E* y ( G ` X ) F y )
60	17	snid 4002	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( G ` X ) e. { ( G ` X ) }
61	60	biantru 505	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( G ` X ) F y <-> ( ( G ` X ) F y /\ ( G ` X ) e. { ( G ` X ) } ) )
62	61	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> ( ( G ` X ) F y <-> ( ( G ` X ) F y /\ ( G ` X ) e. { ( G ` X ) } ) ) )
63	62	mobidv 2263	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> ( E* y ( G ` X ) F y <-> E* y ( ( G ` X ) F y /\ ( G ` X ) e. { ( G ` X ) } ) ) )
64	59, 63	mpbid 212	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> E* y ( ( G ` X ) F y /\ ( G ` X ) e. { ( G ` X ) } ) )
65	64	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x = ( G ` X ) /\ ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) ) -> E* y ( ( G ` X ) F y /\ ( G ` X ) e. { ( G ` X ) } ) )
66		breq1 4400	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = ( G ` X ) -> ( x ( F |` { ( G ` X ) } ) y <-> ( G ` X ) ( F |` { ( G ` X ) } ) y ) )
67	30	brres 5102	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( G ` X ) ( F |` { ( G ` X ) } ) y <-> ( ( G ` X ) F y /\ ( G ` X ) e. { ( G ` X ) } ) )
68	66, 67	syl6rbb 264	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( G ` X ) -> ( ( ( G ` X ) F y /\ ( G ` X ) e. { ( G ` X ) } ) <-> x ( F |` { ( G ` X ) } ) y ) )
69	68	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x = ( G ` X ) /\ ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) ) -> ( ( ( G ` X ) F y /\ ( G ` X ) e. { ( G ` X ) } ) <-> x ( F |` { ( G ` X ) } ) y ) )
70	69	mobidv 2263	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x = ( G ` X ) /\ ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) ) -> ( E* y ( ( G ` X ) F y /\ ( G ` X ) e. { ( G ` X ) } ) <-> E* y x ( F |` { ( G ` X ) } ) y ) )
71	65, 70	mpbid 212	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = ( G ` X ) /\ ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) ) -> E* y x ( F |` { ( G ` X ) } ) y )
72	71	ex 434	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( G ` X ) -> ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> E* y x ( F |` { ( G ` X ) } ) y ) )
73	8, 72	sylbi 197	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. { ( G ` X ) } -> ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> E* y x ( F |` { ( G ` X ) } ) y ) )
74	7, 73	syl6bi 230	. . . . . . . . 9 |- ( dom ( F |` { ( G ` X ) } ) = { ( G ` X ) } -> ( x e. dom ( F |` { ( G ` X ) } ) -> ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> E* y x ( F |` { ( G ` X ) } ) y ) ) )
75	74	com23 80	. . . . . . . 8 |- ( dom ( F |` { ( G ` X ) } ) = { ( G ` X ) } -> ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> ( x e. dom ( F |` { ( G ` X ) } ) -> E* y x ( F |` { ( G ` X ) } ) y ) ) )
76	6, 75	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( G ` X ) e. dom F -> ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> ( x e. dom ( F |` { ( G ` X ) } ) -> E* y x ( F |` { ( G ` X ) } ) y ) ) )
77	5, 76	syl6com 35	. . . . . 6 |- ( X e. dom ( F o. G ) -> ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> ( x e. dom ( F |` { ( G ` X ) } ) -> E* y x ( F |` { ( G ` X ) } ) y ) ) ) )
78	77	a1d 26	. . . . 5 |- ( X e. dom ( F o. G ) -> ( Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) -> ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> ( x e. dom ( F |` { ( G ` X ) } ) -> E* y x ( F |` { ( G ` X ) } ) y ) ) ) ) )
79	78	imp31 432	. . . 4 |- ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> ( x e. dom ( F |` { ( G ` X ) } ) -> E* y x ( F |` { ( G ` X ) } ) y ) ) )
80	79	pm2.43i 48	. . 3 |- ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> ( x e. dom ( F |` { ( G ` X ) } ) -> E* y x ( F |` { ( G ` X ) } ) y ) )
81	80	ralrimiv 2818	. 2 |- ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> A. x e. dom ( F |` { ( G ` X ) } ) E* y x ( F |` { ( G ` X ) } ) y )
82		dffun7 5597	. 2 |- ( Fun ( F |` { ( G ` X ) } ) <-> ( Rel ( F |` { ( G ` X ) } ) /\ A. x e. dom ( F |` { ( G ` X ) } ) E* y x ( F |` { ( G ` X ) } ) y ) )
83	2, 81, 82	sylanbrc 664	1 |- ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> Fun ( F |` { ( G ` X ) } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 186   /\ wa 369   A.wal 1405   = wceq 1407   E.wex 1635   e. wcel 1844   E*wmo 2241   A.wral 2756   _Vcvv 3061   {csn 3974   class class class wbr 4397   dom cdm 4825   |` cres 4827   o. ccom 4829   Rel wrel 4830   Fun wfun 5565   Fn wfn 5566   ` cfv 5571

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pr 4632

This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3741  df-if 3888  df-sn 3975  df-pr 3977  df-op 3981  df-uni 4194  df-br 4398  df-opab 4456  df-id 4740  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-res 4837  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-fv 5579

This theorem is referenced by:  afvco2  37642