Theorem funressnfv 38629

Description: A restriction to a singleton with a function value is a function under certain conditions. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Jul-2017.)

Assertion

Ref	Expression
funressnfv	|- ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> Fun ( F |` { ( G ` X ) } ) )

Proof of Theorem funressnfv

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relres 5132	. . 3 |- Rel ( F |` { ( G ` X ) } )
2	1	a1i 11	. 2 |- ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> Rel ( F |` { ( G ` X ) } ) )
3		dmfco 5939	. . . . . . . . 9 |- ( ( Fun G /\ X e. dom G ) -> ( X e. dom ( F o. G ) <-> ( G ` X ) e. dom F ) )
4	3	biimpd 211	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun G /\ X e. dom G ) -> ( X e. dom ( F o. G ) -> ( G ` X ) e. dom F ) )
5	4	funfni 5676	. . . . . . 7 |- ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> ( X e. dom ( F o. G ) -> ( G ` X ) e. dom F ) )
6		dmressnsn 5143	. . . . . . . 8 |- ( ( G ` X ) e. dom F -> dom ( F |` { ( G ` X ) } ) = { ( G ` X ) } )
7		eleq2 2518	. . . . . . . . . 10 |- ( dom ( F |` { ( G ` X ) } ) = { ( G ` X ) } -> ( x e. dom ( F |` { ( G ` X ) } ) <-> x e. { ( G ` X ) } ) )
8		elsn 3982	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. { ( G ` X ) } <-> x = ( G ` X ) )
9		dmressnsn 5143	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( X e. dom ( F o. G ) -> dom ( ( F o. G ) |` { X } ) = { X } )
10		dffun7 5608	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) <-> ( Rel ( ( F o. G ) |` { X } ) /\ A. x e. dom ( ( F o. G ) |` { X } ) E* y x ( ( F o. G ) |` { X } ) y ) )
11		snidg 3994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( X e. dom ( F o. G ) -> X e. { X } )
12	11	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( dom ( ( F o. G ) |` { X } ) = { X } /\ X e. dom ( F o. G ) ) -> X e. { X } )
13		eleq2 2518	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( { X } = dom ( ( F o. G ) |` { X } ) -> ( X e. { X } <-> X e. dom ( ( F o. G ) |` { X } ) ) )
14	13	eqcoms 2459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( dom ( ( F o. G ) |` { X } ) = { X } -> ( X e. { X } <-> X e. dom ( ( F o. G ) |` { X } ) ) )
15	14	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( dom ( ( F o. G ) |` { X } ) = { X } /\ X e. dom ( F o. G ) ) -> ( X e. { X } <-> X e. dom ( ( F o. G ) |` { X } ) ) )
16	12, 15	mpbid 214	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( dom ( ( F o. G ) |` { X } ) = { X } /\ X e. dom ( F o. G ) ) -> X e. dom ( ( F o. G ) |` { X } ) )
17		fvex 5875	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( G ` X ) e. _V
18	17	isseti 3051	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- E. z z = ( G ` X )
19		eqcom 2458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( z = ( G ` X ) <-> ( G ` X ) = z )
20		fnbrfvb 5905	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> ( ( G ` X ) = z <-> X G z ) )
21	19, 20	syl5bb 261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> ( z = ( G ` X ) <-> X G z ) )
22	21	biimpd 211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> ( z = ( G ` X ) -> X G z ) )
23		breq1 4405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( G ` X ) = z -> ( ( G ` X ) F y <-> z F y ) )
24	23	eqcoms 2459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( z = ( G ` X ) -> ( ( G ` X ) F y <-> z F y ) )
25	24	biimpcd 228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( G ` X ) F y -> ( z = ( G ` X ) -> z F y ) )
26	22, 25	anim12ii 574	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( G Fn A /\ X e. A ) /\ ( G ` X ) F y ) -> ( z = ( G ` X ) -> ( X G z /\ z F y ) ) )
27	26	eximdv 1764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( G Fn A /\ X e. A ) /\ ( G ` X ) F y ) -> ( E. z z = ( G ` X ) -> E. z ( X G z /\ z F y ) ) )
28	18, 27	mpi 20	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( G Fn A /\ X e. A ) /\ ( G ` X ) F y ) -> E. z ( X G z /\ z F y ) )
29		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> X e. A )
30		vex 3048	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- y e. _V
31		brcog 5001	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( X e. A /\ y e. _V ) -> ( X ( F o. G ) y <-> E. z ( X G z /\ z F y ) ) )
32	29, 30, 31	sylancl 668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> ( X ( F o. G ) y <-> E. z ( X G z /\ z F y ) ) )
33	32	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( G Fn A /\ X e. A ) /\ ( G ` X ) F y ) -> ( X ( F o. G ) y <-> E. z ( X G z /\ z F y ) ) )
34	28, 33	mpbird 236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( G Fn A /\ X e. A ) /\ ( G ` X ) F y ) -> X ( F o. G ) y )
35		snidg 3994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( X e. A -> X e. { X } )
36	35	biantrud 510	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( X e. A -> ( X ( F o. G ) y <-> ( X ( F o. G ) y /\ X e. { X } ) ) )
37	30	brres 5111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( X ( ( F o. G ) |` { X } ) y <-> ( X ( F o. G ) y /\ X e. { X } ) )
38	36, 37	syl6rbbr 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( X e. A -> ( X ( ( F o. G ) |` { X } ) y <-> X ( F o. G ) y ) )
39	38	ad2antlr 733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( G Fn A /\ X e. A ) /\ ( G ` X ) F y ) -> ( X ( ( F o. G ) |` { X } ) y <-> X ( F o. G ) y ) )
40	34, 39	mpbird 236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( G Fn A /\ X e. A ) /\ ( G ` X ) F y ) -> X ( ( F o. G ) |` { X } ) y )
41	40	ex 436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> ( ( G ` X ) F y -> X ( ( F o. G ) |` { X } ) y ) )
42	41	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( dom ( ( F o. G ) |` { X } ) = { X } /\ X e. dom ( F o. G ) ) /\ x = X ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> ( ( G ` X ) F y -> X ( ( F o. G ) |` { X } ) y ) )
43		breq1 4405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( X = x -> ( X ( ( F o. G ) |` { X } ) y <-> x ( ( F o. G ) |` { X } ) y ) )
44	43	eqcoms 2459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( x = X -> ( X ( ( F o. G ) |` { X } ) y <-> x ( ( F o. G ) |` { X } ) y ) )
45	44	ad2antlr 733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( dom ( ( F o. G ) |` { X } ) = { X } /\ X e. dom ( F o. G ) ) /\ x = X ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> ( X ( ( F o. G ) |` { X } ) y <-> x ( ( F o. G ) |` { X } ) y ) )
46	42, 45	sylibd 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( dom ( ( F o. G ) |` { X } ) = { X } /\ X e. dom ( F o. G ) ) /\ x = X ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> ( ( G ` X ) F y -> x ( ( F o. G ) |` { X } ) y ) )
47	46	alrimiv 1773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( dom ( ( F o. G ) |` { X } ) = { X } /\ X e. dom ( F o. G ) ) /\ x = X ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> A. y ( ( G ` X ) F y -> x ( ( F o. G ) |` { X } ) y ) )
48		moim 2348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( A. y ( ( G ` X ) F y -> x ( ( F o. G ) |` { X } ) y ) -> ( E* y x ( ( F o. G ) |` { X } ) y -> E* y ( G ` X ) F y ) )
49	47, 48	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( dom ( ( F o. G ) |` { X } ) = { X } /\ X e. dom ( F o. G ) ) /\ x = X ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> ( E* y x ( ( F o. G ) |` { X } ) y -> E* y ( G ` X ) F y ) )
50	49	ex 436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( dom ( ( F o. G ) |` { X } ) = { X } /\ X e. dom ( F o. G ) ) /\ x = X ) -> ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> ( E* y x ( ( F o. G ) |` { X } ) y -> E* y ( G ` X ) F y ) ) )
51	50	com23 81	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( dom ( ( F o. G ) |` { X } ) = { X } /\ X e. dom ( F o. G ) ) /\ x = X ) -> ( E* y x ( ( F o. G ) |` { X } ) y -> ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> E* y ( G ` X ) F y ) ) )
52	16, 51	rspcimdv 3151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( dom ( ( F o. G ) |` { X } ) = { X } /\ X e. dom ( F o. G ) ) -> ( A. x e. dom ( ( F o. G ) |` { X } ) E* y x ( ( F o. G ) |` { X } ) y -> ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> E* y ( G ` X ) F y ) ) )
53	52	ex 436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( dom ( ( F o. G ) |` { X } ) = { X } -> ( X e. dom ( F o. G ) -> ( A. x e. dom ( ( F o. G ) |` { X } ) E* y x ( ( F o. G ) |` { X } ) y -> ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> E* y ( G ` X ) F y ) ) ) )
54	53	com13 83	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( A. x e. dom ( ( F o. G ) |` { X } ) E* y x ( ( F o. G ) |` { X } ) y -> ( X e. dom ( F o. G ) -> ( dom ( ( F o. G ) |` { X } ) = { X } -> ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> E* y ( G ` X ) F y ) ) ) )
55	54	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( Rel ( ( F o. G ) |` { X } ) /\ A. x e. dom ( ( F o. G ) |` { X } ) E* y x ( ( F o. G ) |` { X } ) y ) -> ( X e. dom ( F o. G ) -> ( dom ( ( F o. G ) |` { X } ) = { X } -> ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> E* y ( G ` X ) F y ) ) ) )
56	10, 55	sylbi 199	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) -> ( X e. dom ( F o. G ) -> ( dom ( ( F o. G ) |` { X } ) = { X } -> ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> E* y ( G ` X ) F y ) ) ) )
57	56	com13 83	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( dom ( ( F o. G ) |` { X } ) = { X } -> ( X e. dom ( F o. G ) -> ( Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) -> ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> E* y ( G ` X ) F y ) ) ) )
58	9, 57	mpcom 37	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( X e. dom ( F o. G ) -> ( Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) -> ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> E* y ( G ` X ) F y ) ) )
59	58	imp31 434	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> E* y ( G ` X ) F y )
60	17	snid 3996	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( G ` X ) e. { ( G ` X ) }
61	60	biantru 508	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( G ` X ) F y <-> ( ( G ` X ) F y /\ ( G ` X ) e. { ( G ` X ) } ) )
62	61	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> ( ( G ` X ) F y <-> ( ( G ` X ) F y /\ ( G ` X ) e. { ( G ` X ) } ) ) )
63	62	mobidv 2320	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> ( E* y ( G ` X ) F y <-> E* y ( ( G ` X ) F y /\ ( G ` X ) e. { ( G ` X ) } ) ) )
64	59, 63	mpbid 214	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> E* y ( ( G ` X ) F y /\ ( G ` X ) e. { ( G ` X ) } ) )
65	64	adantl 468	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x = ( G ` X ) /\ ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) ) -> E* y ( ( G ` X ) F y /\ ( G ` X ) e. { ( G ` X ) } ) )
66		breq1 4405	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = ( G ` X ) -> ( x ( F |` { ( G ` X ) } ) y <-> ( G ` X ) ( F |` { ( G ` X ) } ) y ) )
67	30	brres 5111	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( G ` X ) ( F |` { ( G ` X ) } ) y <-> ( ( G ` X ) F y /\ ( G ` X ) e. { ( G ` X ) } ) )
68	66, 67	syl6rbb 266	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( G ` X ) -> ( ( ( G ` X ) F y /\ ( G ` X ) e. { ( G ` X ) } ) <-> x ( F |` { ( G ` X ) } ) y ) )
69	68	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x = ( G ` X ) /\ ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) ) -> ( ( ( G ` X ) F y /\ ( G ` X ) e. { ( G ` X ) } ) <-> x ( F |` { ( G ` X ) } ) y ) )
70	69	mobidv 2320	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x = ( G ` X ) /\ ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) ) -> ( E* y ( ( G ` X ) F y /\ ( G ` X ) e. { ( G ` X ) } ) <-> E* y x ( F |` { ( G ` X ) } ) y ) )
71	65, 70	mpbid 214	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = ( G ` X ) /\ ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) ) -> E* y x ( F |` { ( G ` X ) } ) y )
72	71	ex 436	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( G ` X ) -> ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> E* y x ( F |` { ( G ` X ) } ) y ) )
73	8, 72	sylbi 199	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. { ( G ` X ) } -> ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> E* y x ( F |` { ( G ` X ) } ) y ) )
74	7, 73	syl6bi 232	. . . . . . . . 9 |- ( dom ( F |` { ( G ` X ) } ) = { ( G ` X ) } -> ( x e. dom ( F |` { ( G ` X ) } ) -> ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> E* y x ( F |` { ( G ` X ) } ) y ) ) )
75	74	com23 81	. . . . . . . 8 |- ( dom ( F |` { ( G ` X ) } ) = { ( G ` X ) } -> ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> ( x e. dom ( F |` { ( G ` X ) } ) -> E* y x ( F |` { ( G ` X ) } ) y ) ) )
76	6, 75	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( G ` X ) e. dom F -> ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> ( x e. dom ( F |` { ( G ` X ) } ) -> E* y x ( F |` { ( G ` X ) } ) y ) ) )
77	5, 76	syl6com 36	. . . . . 6 |- ( X e. dom ( F o. G ) -> ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> ( x e. dom ( F |` { ( G ` X ) } ) -> E* y x ( F |` { ( G ` X ) } ) y ) ) ) )
78	77	a1d 26	. . . . 5 |- ( X e. dom ( F o. G ) -> ( Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) -> ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> ( x e. dom ( F |` { ( G ` X ) } ) -> E* y x ( F |` { ( G ` X ) } ) y ) ) ) ) )
79	78	imp31 434	. . . 4 |- ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> ( x e. dom ( F |` { ( G ` X ) } ) -> E* y x ( F |` { ( G ` X ) } ) y ) ) )
80	79	pm2.43i 49	. . 3 |- ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> ( x e. dom ( F |` { ( G ` X ) } ) -> E* y x ( F |` { ( G ` X ) } ) y ) )
81	80	ralrimiv 2800	. 2 |- ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> A. x e. dom ( F |` { ( G ` X ) } ) E* y x ( F |` { ( G ` X ) } ) y )
82		dffun7 5608	. 2 |- ( Fun ( F |` { ( G ` X ) } ) <-> ( Rel ( F |` { ( G ` X ) } ) /\ A. x e. dom ( F |` { ( G ` X ) } ) E* y x ( F |` { ( G ` X ) } ) y ) )
83	2, 81, 82	sylanbrc 670	1 |- ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> Fun ( F |` { ( G ` X ) } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   A.wal 1442   = wceq 1444   E.wex 1663   e. wcel 1887   E*wmo 2300   A.wral 2737   _Vcvv 3045   {csn 3968   class class class wbr 4402   dom cdm 4834   |` cres 4836   o. ccom 4838   Rel wrel 4839   Fun wfun 5576   Fn wfn 5577   ` cfv 5582

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pr 4639

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-br 4403  df-opab 4462  df-id 4749  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-res 4846  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-fv 5590

This theorem is referenced by:  afvco2  38678