Theorem funressnfv 29959

Description: A restriction to a singleton with a function value is a function under certain conditions. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Jul-2017.)

Assertion

Ref	Expression
funressnfv	|- ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> Fun ( F |` { ( G ` X ) } ) )

Proof of Theorem funressnfv

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relres 5135	. . 3 |- Rel ( F |` { ( G ` X ) } )
2	1	a1i 11	. 2 |- ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> Rel ( F |` { ( G ` X ) } ) )
3		dmfco 5762	. . . . . . . . 9 |- ( ( Fun G /\ X e. dom G ) -> ( X e. dom ( F o. G ) <-> ( G ` X ) e. dom F ) )
4	3	biimpd 207	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun G /\ X e. dom G ) -> ( X e. dom ( F o. G ) -> ( G ` X ) e. dom F ) )
5	4	funfni 5508	. . . . . . 7 |- ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> ( X e. dom ( F o. G ) -> ( G ` X ) e. dom F ) )
6		dmressnsn 29953	. . . . . . . 8 |- ( ( G ` X ) e. dom F -> dom ( F |` { ( G ` X ) } ) = { ( G ` X ) } )
7		eleq2 2502	. . . . . . . . . 10 |- ( dom ( F |` { ( G ` X ) } ) = { ( G ` X ) } -> ( x e. dom ( F |` { ( G ` X ) } ) <-> x e. { ( G ` X ) } ) )
8		elsn 3888	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. { ( G ` X ) } <-> x = ( G ` X ) )
9		dmressnsn 29953	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( X e. dom ( F o. G ) -> dom ( ( F o. G ) |` { X } ) = { X } )
10		dffun7 5441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) <-> ( Rel ( ( F o. G ) |` { X } ) /\ A. x e. dom ( ( F o. G ) |` { X } ) E* y x ( ( F o. G ) |` { X } ) y ) )
11		snidg 3900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( X e. dom ( F o. G ) -> X e. { X } )
12	11	adantl 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( dom ( ( F o. G ) |` { X } ) = { X } /\ X e. dom ( F o. G ) ) -> X e. { X } )
13		eleq2 2502	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( { X } = dom ( ( F o. G ) |` { X } ) -> ( X e. { X } <-> X e. dom ( ( F o. G ) |` { X } ) ) )
14	13	eqcoms 2444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( dom ( ( F o. G ) |` { X } ) = { X } -> ( X e. { X } <-> X e. dom ( ( F o. G ) |` { X } ) ) )
15	14	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( dom ( ( F o. G ) |` { X } ) = { X } /\ X e. dom ( F o. G ) ) -> ( X e. { X } <-> X e. dom ( ( F o. G ) |` { X } ) ) )
16	12, 15	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( dom ( ( F o. G ) |` { X } ) = { X } /\ X e. dom ( F o. G ) ) -> X e. dom ( ( F o. G ) |` { X } ) )
17		fvex 5698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( G ` X ) e. _V
18	17	isseti 2976	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- E. z z = ( G ` X )
19		eqcom 2443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( z = ( G ` X ) <-> ( G ` X ) = z )
20		fnbrfvb 5729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> ( ( G ` X ) = z <-> X G z ) )
21	19, 20	syl5bb 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> ( z = ( G ` X ) <-> X G z ) )
22	21	biimpd 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> ( z = ( G ` X ) -> X G z ) )
23		breq1 4292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( G ` X ) = z -> ( ( G ` X ) F y <-> z F y ) )
24	23	eqcoms 2444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( z = ( G ` X ) -> ( ( G ` X ) F y <-> z F y ) )
25	24	biimpcd 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( G ` X ) F y -> ( z = ( G ` X ) -> z F y ) )
26	22, 25	anim12ii 567	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( G Fn A /\ X e. A ) /\ ( G ` X ) F y ) -> ( z = ( G ` X ) -> ( X G z /\ z F y ) ) )
27	26	eximdv 1681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( G Fn A /\ X e. A ) /\ ( G ` X ) F y ) -> ( E. z z = ( G ` X ) -> E. z ( X G z /\ z F y ) ) )
28	18, 27	mpi 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( G Fn A /\ X e. A ) /\ ( G ` X ) F y ) -> E. z ( X G z /\ z F y ) )
29		simpr 458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> X e. A )
30		vex 2973	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- y e. _V
31		brcog 5002	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( X e. A /\ y e. _V ) -> ( X ( F o. G ) y <-> E. z ( X G z /\ z F y ) ) )
32	29, 30, 31	sylancl 657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> ( X ( F o. G ) y <-> E. z ( X G z /\ z F y ) ) )
33	32	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( G Fn A /\ X e. A ) /\ ( G ` X ) F y ) -> ( X ( F o. G ) y <-> E. z ( X G z /\ z F y ) ) )
34	28, 33	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( G Fn A /\ X e. A ) /\ ( G ` X ) F y ) -> X ( F o. G ) y )
35		snidg 3900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( X e. A -> X e. { X } )
36	35	biantrud 504	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( X e. A -> ( X ( F o. G ) y <-> ( X ( F o. G ) y /\ X e. { X } ) ) )
37	30	brres 5113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( X ( ( F o. G ) |` { X } ) y <-> ( X ( F o. G ) y /\ X e. { X } ) )
38	36, 37	syl6rbbr 264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( X e. A -> ( X ( ( F o. G ) |` { X } ) y <-> X ( F o. G ) y ) )
39	38	ad2antlr 721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( G Fn A /\ X e. A ) /\ ( G ` X ) F y ) -> ( X ( ( F o. G ) |` { X } ) y <-> X ( F o. G ) y ) )
40	34, 39	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( G Fn A /\ X e. A ) /\ ( G ` X ) F y ) -> X ( ( F o. G ) |` { X } ) y )
41	40	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> ( ( G ` X ) F y -> X ( ( F o. G ) |` { X } ) y ) )
42	41	adantl 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( dom ( ( F o. G ) |` { X } ) = { X } /\ X e. dom ( F o. G ) ) /\ x = X ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> ( ( G ` X ) F y -> X ( ( F o. G ) |` { X } ) y ) )
43		breq1 4292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( X = x -> ( X ( ( F o. G ) |` { X } ) y <-> x ( ( F o. G ) |` { X } ) y ) )
44	43	eqcoms 2444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( x = X -> ( X ( ( F o. G ) |` { X } ) y <-> x ( ( F o. G ) |` { X } ) y ) )
45	44	ad2antlr 721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( dom ( ( F o. G ) |` { X } ) = { X } /\ X e. dom ( F o. G ) ) /\ x = X ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> ( X ( ( F o. G ) |` { X } ) y <-> x ( ( F o. G ) |` { X } ) y ) )
46	42, 45	sylibd 214	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( dom ( ( F o. G ) |` { X } ) = { X } /\ X e. dom ( F o. G ) ) /\ x = X ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> ( ( G ` X ) F y -> x ( ( F o. G ) |` { X } ) y ) )
47	46	alrimiv 1690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( dom ( ( F o. G ) |` { X } ) = { X } /\ X e. dom ( F o. G ) ) /\ x = X ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> A. y ( ( G ` X ) F y -> x ( ( F o. G ) |` { X } ) y ) )
48		moim 2322	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( A. y ( ( G ` X ) F y -> x ( ( F o. G ) |` { X } ) y ) -> ( E* y x ( ( F o. G ) |` { X } ) y -> E* y ( G ` X ) F y ) )
49	47, 48	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( dom ( ( F o. G ) |` { X } ) = { X } /\ X e. dom ( F o. G ) ) /\ x = X ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> ( E* y x ( ( F o. G ) |` { X } ) y -> E* y ( G ` X ) F y ) )
50	49	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( dom ( ( F o. G ) |` { X } ) = { X } /\ X e. dom ( F o. G ) ) /\ x = X ) -> ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> ( E* y x ( ( F o. G ) |` { X } ) y -> E* y ( G ` X ) F y ) ) )
51	50	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( dom ( ( F o. G ) |` { X } ) = { X } /\ X e. dom ( F o. G ) ) /\ x = X ) -> ( E* y x ( ( F o. G ) |` { X } ) y -> ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> E* y ( G ` X ) F y ) ) )
52	16, 51	rspcimdv 3071	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( dom ( ( F o. G ) |` { X } ) = { X } /\ X e. dom ( F o. G ) ) -> ( A. x e. dom ( ( F o. G ) |` { X } ) E* y x ( ( F o. G ) |` { X } ) y -> ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> E* y ( G ` X ) F y ) ) )
53	52	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( dom ( ( F o. G ) |` { X } ) = { X } -> ( X e. dom ( F o. G ) -> ( A. x e. dom ( ( F o. G ) |` { X } ) E* y x ( ( F o. G ) |` { X } ) y -> ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> E* y ( G ` X ) F y ) ) ) )
54	53	com13 80	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( A. x e. dom ( ( F o. G ) |` { X } ) E* y x ( ( F o. G ) |` { X } ) y -> ( X e. dom ( F o. G ) -> ( dom ( ( F o. G ) |` { X } ) = { X } -> ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> E* y ( G ` X ) F y ) ) ) )
55	54	adantl 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( Rel ( ( F o. G ) |` { X } ) /\ A. x e. dom ( ( F o. G ) |` { X } ) E* y x ( ( F o. G ) |` { X } ) y ) -> ( X e. dom ( F o. G ) -> ( dom ( ( F o. G ) |` { X } ) = { X } -> ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> E* y ( G ` X ) F y ) ) ) )
56	10, 55	sylbi 195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) -> ( X e. dom ( F o. G ) -> ( dom ( ( F o. G ) |` { X } ) = { X } -> ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> E* y ( G ` X ) F y ) ) ) )
57	56	com13 80	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( dom ( ( F o. G ) |` { X } ) = { X } -> ( X e. dom ( F o. G ) -> ( Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) -> ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> E* y ( G ` X ) F y ) ) ) )
58	9, 57	mpcom 36	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( X e. dom ( F o. G ) -> ( Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) -> ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> E* y ( G ` X ) F y ) ) )
59	58	imp31 432	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> E* y ( G ` X ) F y )
60	17	snid 3902	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( G ` X ) e. { ( G ` X ) }
61	60	biantru 502	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( G ` X ) F y <-> ( ( G ` X ) F y /\ ( G ` X ) e. { ( G ` X ) } ) )
62	61	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> ( ( G ` X ) F y <-> ( ( G ` X ) F y /\ ( G ` X ) e. { ( G ` X ) } ) ) )
63	62	mobidv 2280	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> ( E* y ( G ` X ) F y <-> E* y ( ( G ` X ) F y /\ ( G ` X ) e. { ( G ` X ) } ) ) )
64	59, 63	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> E* y ( ( G ` X ) F y /\ ( G ` X ) e. { ( G ` X ) } ) )
65	64	adantl 463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x = ( G ` X ) /\ ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) ) -> E* y ( ( G ` X ) F y /\ ( G ` X ) e. { ( G ` X ) } ) )
66		breq1 4292	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = ( G ` X ) -> ( x ( F |` { ( G ` X ) } ) y <-> ( G ` X ) ( F |` { ( G ` X ) } ) y ) )
67	30	brres 5113	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( G ` X ) ( F |` { ( G ` X ) } ) y <-> ( ( G ` X ) F y /\ ( G ` X ) e. { ( G ` X ) } ) )
68	66, 67	syl6rbb 262	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( G ` X ) -> ( ( ( G ` X ) F y /\ ( G ` X ) e. { ( G ` X ) } ) <-> x ( F |` { ( G ` X ) } ) y ) )
69	68	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x = ( G ` X ) /\ ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) ) -> ( ( ( G ` X ) F y /\ ( G ` X ) e. { ( G ` X ) } ) <-> x ( F |` { ( G ` X ) } ) y ) )
70	69	mobidv 2280	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x = ( G ` X ) /\ ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) ) -> ( E* y ( ( G ` X ) F y /\ ( G ` X ) e. { ( G ` X ) } ) <-> E* y x ( F |` { ( G ` X ) } ) y ) )
71	65, 70	mpbid 210	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = ( G ` X ) /\ ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) ) -> E* y x ( F |` { ( G ` X ) } ) y )
72	71	ex 434	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( G ` X ) -> ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> E* y x ( F |` { ( G ` X ) } ) y ) )
73	8, 72	sylbi 195	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. { ( G ` X ) } -> ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> E* y x ( F |` { ( G ` X ) } ) y ) )
74	7, 73	syl6bi 228	. . . . . . . . 9 |- ( dom ( F |` { ( G ` X ) } ) = { ( G ` X ) } -> ( x e. dom ( F |` { ( G ` X ) } ) -> ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> E* y x ( F |` { ( G ` X ) } ) y ) ) )
75	74	com23 78	. . . . . . . 8 |- ( dom ( F |` { ( G ` X ) } ) = { ( G ` X ) } -> ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> ( x e. dom ( F |` { ( G ` X ) } ) -> E* y x ( F |` { ( G ` X ) } ) y ) ) )
76	6, 75	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( G ` X ) e. dom F -> ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> ( x e. dom ( F |` { ( G ` X ) } ) -> E* y x ( F |` { ( G ` X ) } ) y ) ) )
77	5, 76	syl6com 35	. . . . . 6 |- ( X e. dom ( F o. G ) -> ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> ( x e. dom ( F |` { ( G ` X ) } ) -> E* y x ( F |` { ( G ` X ) } ) y ) ) ) )
78	77	a1d 25	. . . . 5 |- ( X e. dom ( F o. G ) -> ( Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) -> ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> ( x e. dom ( F |` { ( G ` X ) } ) -> E* y x ( F |` { ( G ` X ) } ) y ) ) ) ) )
79	78	imp31 432	. . . 4 |- ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> ( x e. dom ( F |` { ( G ` X ) } ) -> E* y x ( F |` { ( G ` X ) } ) y ) ) )
80	79	pm2.43i 47	. . 3 |- ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> ( x e. dom ( F |` { ( G ` X ) } ) -> E* y x ( F |` { ( G ` X ) } ) y ) )
81	80	ralrimiv 2796	. 2 |- ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> A. x e. dom ( F |` { ( G ` X ) } ) E* y x ( F |` { ( G ` X ) } ) y )
82		dffun7 5441	. 2 |- ( Fun ( F |` { ( G ` X ) } ) <-> ( Rel ( F |` { ( G ` X ) } ) /\ A. x e. dom ( F |` { ( G ` X ) } ) E* y x ( F |` { ( G ` X ) } ) y ) )
83	2, 81, 82	sylanbrc 659	1 |- ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> Fun ( F |` { ( G ` X ) } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   A.wal 1362   = wceq 1364   E.wex 1591   e. wcel 1761   E*wmo 2258   A.wral 2713   _Vcvv 2970   {csn 3874   class class class wbr 4289   dom cdm 4836   |` cres 4838   o. ccom 4840   Rel wrel 4841   Fun wfun 5409   Fn wfn 5410   ` cfv 5415

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pr 4528

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-br 4290  df-opab 4348  df-id 4632  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-res 4848  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-fv 5423

This theorem is referenced by:  afvco2  30007