Theorem funressnfv 31680

Description: A restriction to a singleton with a function value is a function under certain conditions. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Jul-2017.)

Assertion

Ref	Expression
funressnfv	|- ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> Fun ( F |` { ( G ` X ) } ) )

Proof of Theorem funressnfv

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relres 5299	. . 3 |- Rel ( F |` { ( G ` X ) } )
2	1	a1i 11	. 2 |- ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> Rel ( F |` { ( G ` X ) } ) )
3		dmfco 5939	. . . . . . . . 9 |- ( ( Fun G /\ X e. dom G ) -> ( X e. dom ( F o. G ) <-> ( G ` X ) e. dom F ) )
4	3	biimpd 207	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun G /\ X e. dom G ) -> ( X e. dom ( F o. G ) -> ( G ` X ) e. dom F ) )
5	4	funfni 5679	. . . . . . 7 |- ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> ( X e. dom ( F o. G ) -> ( G ` X ) e. dom F ) )
6		dmressnsn 5310	. . . . . . . 8 |- ( ( G ` X ) e. dom F -> dom ( F |` { ( G ` X ) } ) = { ( G ` X ) } )
7		eleq2 2540	. . . . . . . . . 10 |- ( dom ( F |` { ( G ` X ) } ) = { ( G ` X ) } -> ( x e. dom ( F |` { ( G ` X ) } ) <-> x e. { ( G ` X ) } ) )
8		elsn 4041	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. { ( G ` X ) } <-> x = ( G ` X ) )
9		dmressnsn 5310	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( X e. dom ( F o. G ) -> dom ( ( F o. G ) |` { X } ) = { X } )
10		dffun7 5612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) <-> ( Rel ( ( F o. G ) |` { X } ) /\ A. x e. dom ( ( F o. G ) |` { X } ) E* y x ( ( F o. G ) |` { X } ) y ) )
11		snidg 4053	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( X e. dom ( F o. G ) -> X e. { X } )
12	11	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( dom ( ( F o. G ) |` { X } ) = { X } /\ X e. dom ( F o. G ) ) -> X e. { X } )
13		eleq2 2540	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( { X } = dom ( ( F o. G ) |` { X } ) -> ( X e. { X } <-> X e. dom ( ( F o. G ) |` { X } ) ) )
14	13	eqcoms 2479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( dom ( ( F o. G ) |` { X } ) = { X } -> ( X e. { X } <-> X e. dom ( ( F o. G ) |` { X } ) ) )
15	14	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( dom ( ( F o. G ) |` { X } ) = { X } /\ X e. dom ( F o. G ) ) -> ( X e. { X } <-> X e. dom ( ( F o. G ) |` { X } ) ) )
16	12, 15	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( dom ( ( F o. G ) |` { X } ) = { X } /\ X e. dom ( F o. G ) ) -> X e. dom ( ( F o. G ) |` { X } ) )
17		fvex 5874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( G ` X ) e. _V
18	17	isseti 3119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- E. z z = ( G ` X )
19		eqcom 2476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( z = ( G ` X ) <-> ( G ` X ) = z )
20		fnbrfvb 5906	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> ( ( G ` X ) = z <-> X G z ) )
21	19, 20	syl5bb 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> ( z = ( G ` X ) <-> X G z ) )
22	21	biimpd 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> ( z = ( G ` X ) -> X G z ) )
23		breq1 4450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( G ` X ) = z -> ( ( G ` X ) F y <-> z F y ) )
24	23	eqcoms 2479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( z = ( G ` X ) -> ( ( G ` X ) F y <-> z F y ) )
25	24	biimpcd 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( G ` X ) F y -> ( z = ( G ` X ) -> z F y ) )
26	22, 25	anim12ii 570	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( G Fn A /\ X e. A ) /\ ( G ` X ) F y ) -> ( z = ( G ` X ) -> ( X G z /\ z F y ) ) )
27	26	eximdv 1686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( G Fn A /\ X e. A ) /\ ( G ` X ) F y ) -> ( E. z z = ( G ` X ) -> E. z ( X G z /\ z F y ) ) )
28	18, 27	mpi 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( G Fn A /\ X e. A ) /\ ( G ` X ) F y ) -> E. z ( X G z /\ z F y ) )
29		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> X e. A )
30		vex 3116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- y e. _V
31		brcog 5167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( X e. A /\ y e. _V ) -> ( X ( F o. G ) y <-> E. z ( X G z /\ z F y ) ) )
32	29, 30, 31	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> ( X ( F o. G ) y <-> E. z ( X G z /\ z F y ) ) )
33	32	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( G Fn A /\ X e. A ) /\ ( G ` X ) F y ) -> ( X ( F o. G ) y <-> E. z ( X G z /\ z F y ) ) )
34	28, 33	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( G Fn A /\ X e. A ) /\ ( G ` X ) F y ) -> X ( F o. G ) y )
35		snidg 4053	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( X e. A -> X e. { X } )
36	35	biantrud 507	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( X e. A -> ( X ( F o. G ) y <-> ( X ( F o. G ) y /\ X e. { X } ) ) )
37	30	brres 5278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( X ( ( F o. G ) |` { X } ) y <-> ( X ( F o. G ) y /\ X e. { X } ) )
38	36, 37	syl6rbbr 264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( X e. A -> ( X ( ( F o. G ) |` { X } ) y <-> X ( F o. G ) y ) )
39	38	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( G Fn A /\ X e. A ) /\ ( G ` X ) F y ) -> ( X ( ( F o. G ) |` { X } ) y <-> X ( F o. G ) y ) )
40	34, 39	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( G Fn A /\ X e. A ) /\ ( G ` X ) F y ) -> X ( ( F o. G ) |` { X } ) y )
41	40	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> ( ( G ` X ) F y -> X ( ( F o. G ) |` { X } ) y ) )
42	41	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( dom ( ( F o. G ) |` { X } ) = { X } /\ X e. dom ( F o. G ) ) /\ x = X ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> ( ( G ` X ) F y -> X ( ( F o. G ) |` { X } ) y ) )
43		breq1 4450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( X = x -> ( X ( ( F o. G ) |` { X } ) y <-> x ( ( F o. G ) |` { X } ) y ) )
44	43	eqcoms 2479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( x = X -> ( X ( ( F o. G ) |` { X } ) y <-> x ( ( F o. G ) |` { X } ) y ) )
45	44	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( dom ( ( F o. G ) |` { X } ) = { X } /\ X e. dom ( F o. G ) ) /\ x = X ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> ( X ( ( F o. G ) |` { X } ) y <-> x ( ( F o. G ) |` { X } ) y ) )
46	42, 45	sylibd 214	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( dom ( ( F o. G ) |` { X } ) = { X } /\ X e. dom ( F o. G ) ) /\ x = X ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> ( ( G ` X ) F y -> x ( ( F o. G ) |` { X } ) y ) )
47	46	alrimiv 1695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( dom ( ( F o. G ) |` { X } ) = { X } /\ X e. dom ( F o. G ) ) /\ x = X ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> A. y ( ( G ` X ) F y -> x ( ( F o. G ) |` { X } ) y ) )
48		moim 2341	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( A. y ( ( G ` X ) F y -> x ( ( F o. G ) |` { X } ) y ) -> ( E* y x ( ( F o. G ) |` { X } ) y -> E* y ( G ` X ) F y ) )
49	47, 48	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( dom ( ( F o. G ) |` { X } ) = { X } /\ X e. dom ( F o. G ) ) /\ x = X ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> ( E* y x ( ( F o. G ) |` { X } ) y -> E* y ( G ` X ) F y ) )
50	49	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( dom ( ( F o. G ) |` { X } ) = { X } /\ X e. dom ( F o. G ) ) /\ x = X ) -> ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> ( E* y x ( ( F o. G ) |` { X } ) y -> E* y ( G ` X ) F y ) ) )
51	50	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( dom ( ( F o. G ) |` { X } ) = { X } /\ X e. dom ( F o. G ) ) /\ x = X ) -> ( E* y x ( ( F o. G ) |` { X } ) y -> ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> E* y ( G ` X ) F y ) ) )
52	16, 51	rspcimdv 3215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( dom ( ( F o. G ) |` { X } ) = { X } /\ X e. dom ( F o. G ) ) -> ( A. x e. dom ( ( F o. G ) |` { X } ) E* y x ( ( F o. G ) |` { X } ) y -> ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> E* y ( G ` X ) F y ) ) )
53	52	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( dom ( ( F o. G ) |` { X } ) = { X } -> ( X e. dom ( F o. G ) -> ( A. x e. dom ( ( F o. G ) |` { X } ) E* y x ( ( F o. G ) |` { X } ) y -> ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> E* y ( G ` X ) F y ) ) ) )
54	53	com13 80	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( A. x e. dom ( ( F o. G ) |` { X } ) E* y x ( ( F o. G ) |` { X } ) y -> ( X e. dom ( F o. G ) -> ( dom ( ( F o. G ) |` { X } ) = { X } -> ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> E* y ( G ` X ) F y ) ) ) )
55	54	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( Rel ( ( F o. G ) |` { X } ) /\ A. x e. dom ( ( F o. G ) |` { X } ) E* y x ( ( F o. G ) |` { X } ) y ) -> ( X e. dom ( F o. G ) -> ( dom ( ( F o. G ) |` { X } ) = { X } -> ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> E* y ( G ` X ) F y ) ) ) )
56	10, 55	sylbi 195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) -> ( X e. dom ( F o. G ) -> ( dom ( ( F o. G ) |` { X } ) = { X } -> ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> E* y ( G ` X ) F y ) ) ) )
57	56	com13 80	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( dom ( ( F o. G ) |` { X } ) = { X } -> ( X e. dom ( F o. G ) -> ( Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) -> ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> E* y ( G ` X ) F y ) ) ) )
58	9, 57	mpcom 36	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( X e. dom ( F o. G ) -> ( Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) -> ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> E* y ( G ` X ) F y ) ) )
59	58	imp31 432	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> E* y ( G ` X ) F y )
60	17	snid 4055	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( G ` X ) e. { ( G ` X ) }
61	60	biantru 505	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( G ` X ) F y <-> ( ( G ` X ) F y /\ ( G ` X ) e. { ( G ` X ) } ) )
62	61	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> ( ( G ` X ) F y <-> ( ( G ` X ) F y /\ ( G ` X ) e. { ( G ` X ) } ) ) )
63	62	mobidv 2299	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> ( E* y ( G ` X ) F y <-> E* y ( ( G ` X ) F y /\ ( G ` X ) e. { ( G ` X ) } ) ) )
64	59, 63	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> E* y ( ( G ` X ) F y /\ ( G ` X ) e. { ( G ` X ) } ) )
65	64	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x = ( G ` X ) /\ ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) ) -> E* y ( ( G ` X ) F y /\ ( G ` X ) e. { ( G ` X ) } ) )
66		breq1 4450	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = ( G ` X ) -> ( x ( F |` { ( G ` X ) } ) y <-> ( G ` X ) ( F |` { ( G ` X ) } ) y ) )
67	30	brres 5278	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( G ` X ) ( F |` { ( G ` X ) } ) y <-> ( ( G ` X ) F y /\ ( G ` X ) e. { ( G ` X ) } ) )
68	66, 67	syl6rbb 262	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( G ` X ) -> ( ( ( G ` X ) F y /\ ( G ` X ) e. { ( G ` X ) } ) <-> x ( F |` { ( G ` X ) } ) y ) )
69	68	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x = ( G ` X ) /\ ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) ) -> ( ( ( G ` X ) F y /\ ( G ` X ) e. { ( G ` X ) } ) <-> x ( F |` { ( G ` X ) } ) y ) )
70	69	mobidv 2299	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x = ( G ` X ) /\ ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) ) -> ( E* y ( ( G ` X ) F y /\ ( G ` X ) e. { ( G ` X ) } ) <-> E* y x ( F |` { ( G ` X ) } ) y ) )
71	65, 70	mpbid 210	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = ( G ` X ) /\ ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) ) -> E* y x ( F |` { ( G ` X ) } ) y )
72	71	ex 434	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( G ` X ) -> ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> E* y x ( F |` { ( G ` X ) } ) y ) )
73	8, 72	sylbi 195	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. { ( G ` X ) } -> ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> E* y x ( F |` { ( G ` X ) } ) y ) )
74	7, 73	syl6bi 228	. . . . . . . . 9 |- ( dom ( F |` { ( G ` X ) } ) = { ( G ` X ) } -> ( x e. dom ( F |` { ( G ` X ) } ) -> ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> E* y x ( F |` { ( G ` X ) } ) y ) ) )
75	74	com23 78	. . . . . . . 8 |- ( dom ( F |` { ( G ` X ) } ) = { ( G ` X ) } -> ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> ( x e. dom ( F |` { ( G ` X ) } ) -> E* y x ( F |` { ( G ` X ) } ) y ) ) )
76	6, 75	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( G ` X ) e. dom F -> ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> ( x e. dom ( F |` { ( G ` X ) } ) -> E* y x ( F |` { ( G ` X ) } ) y ) ) )
77	5, 76	syl6com 35	. . . . . 6 |- ( X e. dom ( F o. G ) -> ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> ( x e. dom ( F |` { ( G ` X ) } ) -> E* y x ( F |` { ( G ` X ) } ) y ) ) ) )
78	77	a1d 25	. . . . 5 |- ( X e. dom ( F o. G ) -> ( Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) -> ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> ( x e. dom ( F |` { ( G ` X ) } ) -> E* y x ( F |` { ( G ` X ) } ) y ) ) ) ) )
79	78	imp31 432	. . . 4 |- ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> ( x e. dom ( F |` { ( G ` X ) } ) -> E* y x ( F |` { ( G ` X ) } ) y ) ) )
80	79	pm2.43i 47	. . 3 |- ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> ( x e. dom ( F |` { ( G ` X ) } ) -> E* y x ( F |` { ( G ` X ) } ) y ) )
81	80	ralrimiv 2876	. 2 |- ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> A. x e. dom ( F |` { ( G ` X ) } ) E* y x ( F |` { ( G ` X ) } ) y )
82		dffun7 5612	. 2 |- ( Fun ( F |` { ( G ` X ) } ) <-> ( Rel ( F |` { ( G ` X ) } ) /\ A. x e. dom ( F |` { ( G ` X ) } ) E* y x ( F |` { ( G ` X ) } ) y ) )
83	2, 81, 82	sylanbrc 664	1 |- ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> Fun ( F |` { ( G ` X ) } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   A.wal 1377   = wceq 1379   E.wex 1596   e. wcel 1767   E*wmo 2276   A.wral 2814   _Vcvv 3113   {csn 4027   class class class wbr 4447   dom cdm 4999   |` cres 5001   o. ccom 5003   Rel wrel 5004   Fun wfun 5580   Fn wfn 5581   ` cfv 5586

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pr 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-res 5011  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-fv 5594

This theorem is referenced by:  afvco2  31728