Theorem funressnfv 38774

Description: A restriction to a singleton with a function value is a function under certain conditions. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Jul-2017.)

Assertion

Ref	Expression
funressnfv	|- ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> Fun ( F |` { ( G ` X ) } ) )

Proof of Theorem funressnfv

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relres 5138	. . 3 |- Rel ( F |` { ( G ` X ) } )
2	1	a1i 11	. 2 |- ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> Rel ( F |` { ( G ` X ) } ) )
3		dmfco 5954	. . . . . . . . 9 |- ( ( Fun G /\ X e. dom G ) -> ( X e. dom ( F o. G ) <-> ( G ` X ) e. dom F ) )
4	3	biimpd 212	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun G /\ X e. dom G ) -> ( X e. dom ( F o. G ) -> ( G ` X ) e. dom F ) )
5	4	funfni 5686	. . . . . . 7 |- ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> ( X e. dom ( F o. G ) -> ( G ` X ) e. dom F ) )
6		dmressnsn 5149	. . . . . . . 8 |- ( ( G ` X ) e. dom F -> dom ( F |` { ( G ` X ) } ) = { ( G ` X ) } )
7		eleq2 2538	. . . . . . . . . 10 |- ( dom ( F |` { ( G ` X ) } ) = { ( G ` X ) } -> ( x e. dom ( F |` { ( G ` X ) } ) <-> x e. { ( G ` X ) } ) )
8		elsn 3973	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. { ( G ` X ) } <-> x = ( G ` X ) )
9		dmressnsn 5149	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( X e. dom ( F o. G ) -> dom ( ( F o. G ) |` { X } ) = { X } )
10		dffun7 5615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) <-> ( Rel ( ( F o. G ) |` { X } ) /\ A. x e. dom ( ( F o. G ) |` { X } ) E* y x ( ( F o. G ) |` { X } ) y ) )
11		snidg 3986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( X e. dom ( F o. G ) -> X e. { X } )
12	11	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( dom ( ( F o. G ) |` { X } ) = { X } /\ X e. dom ( F o. G ) ) -> X e. { X } )
13		eleq2 2538	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( { X } = dom ( ( F o. G ) |` { X } ) -> ( X e. { X } <-> X e. dom ( ( F o. G ) |` { X } ) ) )
14	13	eqcoms 2479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( dom ( ( F o. G ) |` { X } ) = { X } -> ( X e. { X } <-> X e. dom ( ( F o. G ) |` { X } ) ) )
15	14	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( dom ( ( F o. G ) |` { X } ) = { X } /\ X e. dom ( F o. G ) ) -> ( X e. { X } <-> X e. dom ( ( F o. G ) |` { X } ) ) )
16	12, 15	mpbid 215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( dom ( ( F o. G ) |` { X } ) = { X } /\ X e. dom ( F o. G ) ) -> X e. dom ( ( F o. G ) |` { X } ) )
17		fvex 5889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( G ` X ) e. _V
18	17	isseti 3037	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- E. z z = ( G ` X )
19		eqcom 2478	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( z = ( G ` X ) <-> ( G ` X ) = z )
20		fnbrfvb 5919	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> ( ( G ` X ) = z <-> X G z ) )
21	19, 20	syl5bb 265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> ( z = ( G ` X ) <-> X G z ) )
22	21	biimpd 212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> ( z = ( G ` X ) -> X G z ) )
23		breq1 4398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( G ` X ) = z -> ( ( G ` X ) F y <-> z F y ) )
24	23	eqcoms 2479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( z = ( G ` X ) -> ( ( G ` X ) F y <-> z F y ) )
25	24	biimpcd 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( G ` X ) F y -> ( z = ( G ` X ) -> z F y ) )
26	22, 25	anim12ii 580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( G Fn A /\ X e. A ) /\ ( G ` X ) F y ) -> ( z = ( G ` X ) -> ( X G z /\ z F y ) ) )
27	26	eximdv 1772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( G Fn A /\ X e. A ) /\ ( G ` X ) F y ) -> ( E. z z = ( G ` X ) -> E. z ( X G z /\ z F y ) ) )
28	18, 27	mpi 20	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( G Fn A /\ X e. A ) /\ ( G ` X ) F y ) -> E. z ( X G z /\ z F y ) )
29		simpr 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> X e. A )
30		vex 3034	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- y e. _V
31		brcog 5006	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( X e. A /\ y e. _V ) -> ( X ( F o. G ) y <-> E. z ( X G z /\ z F y ) ) )
32	29, 30, 31	sylancl 675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> ( X ( F o. G ) y <-> E. z ( X G z /\ z F y ) ) )
33	32	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( G Fn A /\ X e. A ) /\ ( G ` X ) F y ) -> ( X ( F o. G ) y <-> E. z ( X G z /\ z F y ) ) )
34	28, 33	mpbird 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( G Fn A /\ X e. A ) /\ ( G ` X ) F y ) -> X ( F o. G ) y )
35		snidg 3986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( X e. A -> X e. { X } )
36	35	biantrud 515	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( X e. A -> ( X ( F o. G ) y <-> ( X ( F o. G ) y /\ X e. { X } ) ) )
37	30	brres 5117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( X ( ( F o. G ) |` { X } ) y <-> ( X ( F o. G ) y /\ X e. { X } ) )
38	36, 37	syl6rbbr 272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( X e. A -> ( X ( ( F o. G ) |` { X } ) y <-> X ( F o. G ) y ) )
39	38	ad2antlr 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( G Fn A /\ X e. A ) /\ ( G ` X ) F y ) -> ( X ( ( F o. G ) |` { X } ) y <-> X ( F o. G ) y ) )
40	34, 39	mpbird 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( G Fn A /\ X e. A ) /\ ( G ` X ) F y ) -> X ( ( F o. G ) |` { X } ) y )
41	40	ex 441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> ( ( G ` X ) F y -> X ( ( F o. G ) |` { X } ) y ) )
42	41	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( dom ( ( F o. G ) |` { X } ) = { X } /\ X e. dom ( F o. G ) ) /\ x = X ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> ( ( G ` X ) F y -> X ( ( F o. G ) |` { X } ) y ) )
43		breq1 4398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( X = x -> ( X ( ( F o. G ) |` { X } ) y <-> x ( ( F o. G ) |` { X } ) y ) )
44	43	eqcoms 2479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( x = X -> ( X ( ( F o. G ) |` { X } ) y <-> x ( ( F o. G ) |` { X } ) y ) )
45	44	ad2antlr 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( dom ( ( F o. G ) |` { X } ) = { X } /\ X e. dom ( F o. G ) ) /\ x = X ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> ( X ( ( F o. G ) |` { X } ) y <-> x ( ( F o. G ) |` { X } ) y ) )
46	42, 45	sylibd 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( dom ( ( F o. G ) |` { X } ) = { X } /\ X e. dom ( F o. G ) ) /\ x = X ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> ( ( G ` X ) F y -> x ( ( F o. G ) |` { X } ) y ) )
47	46	alrimiv 1781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( dom ( ( F o. G ) |` { X } ) = { X } /\ X e. dom ( F o. G ) ) /\ x = X ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> A. y ( ( G ` X ) F y -> x ( ( F o. G ) |` { X } ) y ) )
48		moim 2368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( A. y ( ( G ` X ) F y -> x ( ( F o. G ) |` { X } ) y ) -> ( E* y x ( ( F o. G ) |` { X } ) y -> E* y ( G ` X ) F y ) )
49	47, 48	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( dom ( ( F o. G ) |` { X } ) = { X } /\ X e. dom ( F o. G ) ) /\ x = X ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> ( E* y x ( ( F o. G ) |` { X } ) y -> E* y ( G ` X ) F y ) )
50	49	ex 441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( dom ( ( F o. G ) |` { X } ) = { X } /\ X e. dom ( F o. G ) ) /\ x = X ) -> ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> ( E* y x ( ( F o. G ) |` { X } ) y -> E* y ( G ` X ) F y ) ) )
51	50	com23 80	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( dom ( ( F o. G ) |` { X } ) = { X } /\ X e. dom ( F o. G ) ) /\ x = X ) -> ( E* y x ( ( F o. G ) |` { X } ) y -> ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> E* y ( G ` X ) F y ) ) )
52	16, 51	rspcimdv 3137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( dom ( ( F o. G ) |` { X } ) = { X } /\ X e. dom ( F o. G ) ) -> ( A. x e. dom ( ( F o. G ) |` { X } ) E* y x ( ( F o. G ) |` { X } ) y -> ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> E* y ( G ` X ) F y ) ) )
53	52	ex 441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( dom ( ( F o. G ) |` { X } ) = { X } -> ( X e. dom ( F o. G ) -> ( A. x e. dom ( ( F o. G ) |` { X } ) E* y x ( ( F o. G ) |` { X } ) y -> ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> E* y ( G ` X ) F y ) ) ) )
54	53	com13 82	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( A. x e. dom ( ( F o. G ) |` { X } ) E* y x ( ( F o. G ) |` { X } ) y -> ( X e. dom ( F o. G ) -> ( dom ( ( F o. G ) |` { X } ) = { X } -> ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> E* y ( G ` X ) F y ) ) ) )
55	54	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( Rel ( ( F o. G ) |` { X } ) /\ A. x e. dom ( ( F o. G ) |` { X } ) E* y x ( ( F o. G ) |` { X } ) y ) -> ( X e. dom ( F o. G ) -> ( dom ( ( F o. G ) |` { X } ) = { X } -> ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> E* y ( G ` X ) F y ) ) ) )
56	10, 55	sylbi 200	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) -> ( X e. dom ( F o. G ) -> ( dom ( ( F o. G ) |` { X } ) = { X } -> ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> E* y ( G ` X ) F y ) ) ) )
57	56	com13 82	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( dom ( ( F o. G ) |` { X } ) = { X } -> ( X e. dom ( F o. G ) -> ( Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) -> ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> E* y ( G ` X ) F y ) ) ) )
58	9, 57	mpcom 36	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( X e. dom ( F o. G ) -> ( Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) -> ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> E* y ( G ` X ) F y ) ) )
59	58	imp31 439	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> E* y ( G ` X ) F y )
60	17	snid 3988	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( G ` X ) e. { ( G ` X ) }
61	60	biantru 513	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( G ` X ) F y <-> ( ( G ` X ) F y /\ ( G ` X ) e. { ( G ` X ) } ) )
62	61	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> ( ( G ` X ) F y <-> ( ( G ` X ) F y /\ ( G ` X ) e. { ( G ` X ) } ) ) )
63	62	mobidv 2340	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> ( E* y ( G ` X ) F y <-> E* y ( ( G ` X ) F y /\ ( G ` X ) e. { ( G ` X ) } ) ) )
64	59, 63	mpbid 215	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> E* y ( ( G ` X ) F y /\ ( G ` X ) e. { ( G ` X ) } ) )
65	64	adantl 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x = ( G ` X ) /\ ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) ) -> E* y ( ( G ` X ) F y /\ ( G ` X ) e. { ( G ` X ) } ) )
66		breq1 4398	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = ( G ` X ) -> ( x ( F |` { ( G ` X ) } ) y <-> ( G ` X ) ( F |` { ( G ` X ) } ) y ) )
67	30	brres 5117	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( G ` X ) ( F |` { ( G ` X ) } ) y <-> ( ( G ` X ) F y /\ ( G ` X ) e. { ( G ` X ) } ) )
68	66, 67	syl6rbb 270	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( G ` X ) -> ( ( ( G ` X ) F y /\ ( G ` X ) e. { ( G ` X ) } ) <-> x ( F |` { ( G ` X ) } ) y ) )
69	68	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x = ( G ` X ) /\ ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) ) -> ( ( ( G ` X ) F y /\ ( G ` X ) e. { ( G ` X ) } ) <-> x ( F |` { ( G ` X ) } ) y ) )
70	69	mobidv 2340	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x = ( G ` X ) /\ ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) ) -> ( E* y ( ( G ` X ) F y /\ ( G ` X ) e. { ( G ` X ) } ) <-> E* y x ( F |` { ( G ` X ) } ) y ) )
71	65, 70	mpbid 215	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = ( G ` X ) /\ ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) ) -> E* y x ( F |` { ( G ` X ) } ) y )
72	71	ex 441	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( G ` X ) -> ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> E* y x ( F |` { ( G ` X ) } ) y ) )
73	8, 72	sylbi 200	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. { ( G ` X ) } -> ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> E* y x ( F |` { ( G ` X ) } ) y ) )
74	7, 73	syl6bi 236	. . . . . . . . 9 |- ( dom ( F |` { ( G ` X ) } ) = { ( G ` X ) } -> ( x e. dom ( F |` { ( G ` X ) } ) -> ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> E* y x ( F |` { ( G ` X ) } ) y ) ) )
75	74	com23 80	. . . . . . . 8 |- ( dom ( F |` { ( G ` X ) } ) = { ( G ` X ) } -> ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> ( x e. dom ( F |` { ( G ` X ) } ) -> E* y x ( F |` { ( G ` X ) } ) y ) ) )
76	6, 75	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( G ` X ) e. dom F -> ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> ( x e. dom ( F |` { ( G ` X ) } ) -> E* y x ( F |` { ( G ` X ) } ) y ) ) )
77	5, 76	syl6com 35	. . . . . 6 |- ( X e. dom ( F o. G ) -> ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> ( x e. dom ( F |` { ( G ` X ) } ) -> E* y x ( F |` { ( G ` X ) } ) y ) ) ) )
78	77	a1d 25	. . . . 5 |- ( X e. dom ( F o. G ) -> ( Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) -> ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> ( x e. dom ( F |` { ( G ` X ) } ) -> E* y x ( F |` { ( G ` X ) } ) y ) ) ) ) )
79	78	imp31 439	. . . 4 |- ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> ( x e. dom ( F |` { ( G ` X ) } ) -> E* y x ( F |` { ( G ` X ) } ) y ) ) )
80	79	pm2.43i 48	. . 3 |- ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> ( x e. dom ( F |` { ( G ` X ) } ) -> E* y x ( F |` { ( G ` X ) } ) y ) )
81	80	ralrimiv 2808	. 2 |- ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> A. x e. dom ( F |` { ( G ` X ) } ) E* y x ( F |` { ( G ` X ) } ) y )
82		dffun7 5615	. 2 |- ( Fun ( F |` { ( G ` X ) } ) <-> ( Rel ( F |` { ( G ` X ) } ) /\ A. x e. dom ( F |` { ( G ` X ) } ) E* y x ( F |` { ( G ` X ) } ) y ) )
83	2, 81, 82	sylanbrc 677	1 |- ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> Fun ( F |` { ( G ` X ) } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   A.wal 1450   = wceq 1452   E.wex 1671   e. wcel 1904   E*wmo 2320   A.wral 2756   _Vcvv 3031   {csn 3959   class class class wbr 4395   dom cdm 4839   |` cres 4841   o. ccom 4843   Rel wrel 4844   Fun wfun 5583   Fn wfn 5584   ` cfv 5589

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pr 4639

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-br 4396  df-opab 4455  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-res 4851  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-fv 5597

This theorem is referenced by:  afvco2  38823