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Theorem funressnfv 29959
Description: A restriction to a singleton with a function value is a function under certain conditions. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Jul-2017.)
Assertion
Ref Expression
funressnfv  |-  ( ( ( X  e.  dom  ( F  o.  G
)  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A ) )  ->  Fun  ( F  |`  { ( G `  X ) } ) )

Proof of Theorem funressnfv
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relres 5135 . . 3  |-  Rel  ( F  |`  { ( G `
 X ) } )
21a1i 11 . 2  |-  ( ( ( X  e.  dom  ( F  o.  G
)  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A ) )  ->  Rel  ( F  |`  { ( G `  X ) } ) )
3 dmfco 5762 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  G  /\  X  e.  dom  G )  -> 
( X  e.  dom  ( F  o.  G
)  <->  ( G `  X )  e.  dom  F ) )
43biimpd 207 . . . . . . . 8  |-  ( ( Fun  G  /\  X  e.  dom  G )  -> 
( X  e.  dom  ( F  o.  G
)  ->  ( G `  X )  e.  dom  F ) )
54funfni 5508 . . . . . . 7  |-  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  ( X  e.  dom  ( F  o.  G
)  ->  ( G `  X )  e.  dom  F ) )
6 dmressnsn 29953 . . . . . . . 8  |-  ( ( G `  X )  e.  dom  F  ->  dom  ( F  |`  { ( G `  X ) } )  =  {
( G `  X
) } )
7 eleq2 2502 . . . . . . . . . 10  |-  ( dom  ( F  |`  { ( G `  X ) } )  =  {
( G `  X
) }  ->  (
x  e.  dom  ( F  |`  { ( G `
 X ) } )  <->  x  e.  { ( G `  X ) } ) )
8 elsn 3888 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  { ( G `
 X ) }  <-> 
x  =  ( G `
 X ) )
9 dmressnsn 29953 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( X  e.  dom  ( F  o.  G )  ->  dom  ( ( F  o.  G )  |`  { X } )  =  { X } )
10 dffun7 5441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } )  <->  ( Rel  ( ( F  o.  G )  |`  { X } )  /\  A. x  e.  dom  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) E* y  x ( ( F  o.  G
)  |`  { X }
) y ) )
11 snidg 3900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( X  e.  dom  ( F  o.  G )  ->  X  e.  { X } )
1211adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( dom  ( ( F  o.  G )  |`  { X } )  =  { X }  /\  X  e.  dom  ( F  o.  G ) )  ->  X  e.  { X } )
13 eleq2 2502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( { X }  =  dom  ( ( F  o.  G )  |`  { X } )  ->  ( X  e.  { X } 
<->  X  e.  dom  (
( F  o.  G
)  |`  { X }
) ) )
1413eqcoms 2444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( dom  ( ( F  o.  G )  |`  { X } )  =  { X }  ->  ( X  e.  { X }  <->  X  e.  dom  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) ) )
1514adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( dom  ( ( F  o.  G )  |`  { X } )  =  { X }  /\  X  e.  dom  ( F  o.  G ) )  ->  ( X  e. 
{ X }  <->  X  e.  dom  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) ) )
1612, 15mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( dom  ( ( F  o.  G )  |`  { X } )  =  { X }  /\  X  e.  dom  ( F  o.  G ) )  ->  X  e.  dom  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )
17 fvex 5698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( G `
 X )  e. 
_V
1817isseti 2976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  E. z 
z  =  ( G `
 X )
19 eqcom 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( z  =  ( G `  X )  <->  ( G `  X )  =  z )
20 fnbrfvb 5729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  ( ( G `  X )  =  z  <-> 
X G z ) )
2119, 20syl5bb 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  ( z  =  ( G `  X )  <-> 
X G z ) )
2221biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  ( z  =  ( G `  X )  ->  X G z ) )
23 breq1 4292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( G `  X )  =  z  ->  (
( G `  X
) F y  <->  z F
y ) )
2423eqcoms 2444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( z  =  ( G `  X )  ->  (
( G `  X
) F y  <->  z F
y ) )
2524biimpcd 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( G `  X ) F y  ->  (
z  =  ( G `
 X )  -> 
z F y ) )
2622, 25anim12ii 567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A
)  /\  ( G `  X ) F y )  ->  ( z  =  ( G `  X )  ->  ( X G z  /\  z F y ) ) )
2726eximdv 1681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A
)  /\  ( G `  X ) F y )  ->  ( E. z  z  =  ( G `  X )  ->  E. z ( X G z  /\  z F y ) ) )
2818, 27mpi 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A
)  /\  ( G `  X ) F y )  ->  E. z
( X G z  /\  z F y ) )
29 simpr 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  X  e.  A )
30 vex 2973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  y  e. 
_V
31 brcog 5002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( X  e.  A  /\  y  e.  _V )  ->  ( X ( F  o.  G ) y  <->  E. z ( X G z  /\  z F y ) ) )
3229, 30, 31sylancl 657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  ( X ( F  o.  G ) y  <->  E. z ( X G z  /\  z F y ) ) )
3332adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A
)  /\  ( G `  X ) F y )  ->  ( X
( F  o.  G
) y  <->  E. z
( X G z  /\  z F y ) ) )
3428, 33mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A
)  /\  ( G `  X ) F y )  ->  X ( F  o.  G )
y )
35 snidg 3900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( X  e.  A  ->  X  e.  { X } )
3635biantrud 504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( X  e.  A  ->  ( X ( F  o.  G ) y  <->  ( X
( F  o.  G
) y  /\  X  e.  { X } ) ) )
3730brres 5113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( X ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) y  <->  ( X
( F  o.  G
) y  /\  X  e.  { X } ) )
3836, 37syl6rbbr 264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( X  e.  A  ->  ( X ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) y  <-> 
X ( F  o.  G ) y ) )
3938ad2antlr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A
)  /\  ( G `  X ) F y )  ->  ( X
( ( F  o.  G )  |`  { X } ) y  <->  X ( F  o.  G )
y ) )
4034, 39mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A
)  /\  ( G `  X ) F y )  ->  X (
( F  o.  G
)  |`  { X }
) y )
4140ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  ( ( G `  X ) F y  ->  X ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) y ) )
4241adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( dom  (
( F  o.  G
)  |`  { X }
)  =  { X }  /\  X  e.  dom  ( F  o.  G
) )  /\  x  =  X )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )
)  ->  ( ( G `  X ) F y  ->  X
( ( F  o.  G )  |`  { X } ) y ) )
43 breq1 4292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( X  =  x  ->  ( X ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) y  <-> 
x ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) y ) )
4443eqcoms 2444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( x  =  X  ->  ( X ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) y  <-> 
x ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) y ) )
4544ad2antlr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( dom  (
( F  o.  G
)  |`  { X }
)  =  { X }  /\  X  e.  dom  ( F  o.  G
) )  /\  x  =  X )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )
)  ->  ( X
( ( F  o.  G )  |`  { X } ) y  <->  x (
( F  o.  G
)  |`  { X }
) y ) )
4642, 45sylibd 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( dom  (
( F  o.  G
)  |`  { X }
)  =  { X }  /\  X  e.  dom  ( F  o.  G
) )  /\  x  =  X )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )
)  ->  ( ( G `  X ) F y  ->  x
( ( F  o.  G )  |`  { X } ) y ) )
4746alrimiv 1690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( dom  (
( F  o.  G
)  |`  { X }
)  =  { X }  /\  X  e.  dom  ( F  o.  G
) )  /\  x  =  X )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )
)  ->  A. y
( ( G `  X ) F y  ->  x ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) y ) )
48 moim 2322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( A. y ( ( G `
 X ) F y  ->  x (
( F  o.  G
)  |`  { X }
) y )  -> 
( E* y  x ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) y  ->  E* y ( G `  X ) F y ) )
4947, 48syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( dom  (
( F  o.  G
)  |`  { X }
)  =  { X }  /\  X  e.  dom  ( F  o.  G
) )  /\  x  =  X )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )
)  ->  ( E* y  x ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) y  ->  E* y ( G `  X ) F y ) )
5049ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( dom  ( ( F  o.  G )  |`  { X } )  =  { X }  /\  X  e.  dom  ( F  o.  G
) )  /\  x  =  X )  ->  (
( G  Fn  A  /\  X  e.  A
)  ->  ( E* y  x ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) y  ->  E* y ( G `  X ) F y ) ) )
5150com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( dom  ( ( F  o.  G )  |`  { X } )  =  { X }  /\  X  e.  dom  ( F  o.  G
) )  /\  x  =  X )  ->  ( E* y  x (
( F  o.  G
)  |`  { X }
) y  ->  (
( G  Fn  A  /\  X  e.  A
)  ->  E* y
( G `  X
) F y ) ) )
5216, 51rspcimdv 3071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( dom  ( ( F  o.  G )  |`  { X } )  =  { X }  /\  X  e.  dom  ( F  o.  G ) )  ->  ( A. x  e.  dom  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) E* y  x ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) y  ->  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  E* y ( G `
 X ) F y ) ) )
5352ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( dom  ( ( F  o.  G )  |`  { X } )  =  { X }  ->  ( X  e.  dom  ( F  o.  G )  -> 
( A. x  e. 
dom  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) E* y  x ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) y  ->  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  E* y ( G `
 X ) F y ) ) ) )
5453com13 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A. x  e.  dom  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) E* y  x ( ( F  o.  G
)  |`  { X }
) y  ->  ( X  e.  dom  ( F  o.  G )  -> 
( dom  ( ( F  o.  G )  |` 
{ X } )  =  { X }  ->  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A
)  ->  E* y
( G `  X
) F y ) ) ) )
5554adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( Rel  ( ( F  o.  G )  |`  { X } )  /\  A. x  e.  dom  (
( F  o.  G
)  |`  { X }
) E* y  x ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) y )  ->  ( X  e. 
dom  ( F  o.  G )  ->  ( dom  ( ( F  o.  G )  |`  { X } )  =  { X }  ->  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  E* y ( G `
 X ) F y ) ) ) )
5610, 55sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } )  ->  ( X  e.  dom  ( F  o.  G )  -> 
( dom  ( ( F  o.  G )  |` 
{ X } )  =  { X }  ->  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A
)  ->  E* y
( G `  X
) F y ) ) ) )
5756com13 80 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( dom  ( ( F  o.  G )  |`  { X } )  =  { X }  ->  ( X  e.  dom  ( F  o.  G )  -> 
( Fun  ( ( F  o.  G )  |` 
{ X } )  ->  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  E* y ( G `  X ) F y ) ) ) )
589, 57mpcom 36 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( X  e.  dom  ( F  o.  G )  -> 
( Fun  ( ( F  o.  G )  |` 
{ X } )  ->  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  E* y ( G `  X ) F y ) ) )
5958imp31 432 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( X  e.  dom  ( F  o.  G
)  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A ) )  ->  E* y ( G `  X ) F y )
6017snid 3902 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( G `
 X )  e. 
{ ( G `  X ) }
6160biantru 502 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G `  X ) F y  <->  ( ( G `  X ) F y  /\  ( G `  X )  e.  { ( G `  X ) } ) )
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( X  e.  dom  ( F  o.  G
)  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A ) )  -> 
( ( G `  X ) F y  <-> 
( ( G `  X ) F y  /\  ( G `  X )  e.  {
( G `  X
) } ) ) )
6362mobidv 2280 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( X  e.  dom  ( F  o.  G
)  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A ) )  -> 
( E* y ( G `  X ) F y  <->  E* y
( ( G `  X ) F y  /\  ( G `  X )  e.  {
( G `  X
) } ) ) )
6459, 63mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X  e.  dom  ( F  o.  G
)  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A ) )  ->  E* y ( ( G `
 X ) F y  /\  ( G `
 X )  e. 
{ ( G `  X ) } ) )
6564adantl 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  ( G `
 X )  /\  ( ( X  e. 
dom  ( F  o.  G )  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A
) ) )  ->  E* y ( ( G `
 X ) F y  /\  ( G `
 X )  e. 
{ ( G `  X ) } ) )
66 breq1 4292 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( G `  X )  ->  (
x ( F  |`  { ( G `  X ) } ) y  <->  ( G `  X ) ( F  |`  { ( G `  X ) } ) y ) )
6730brres 5113 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G `  X ) ( F  |`  { ( G `  X ) } ) y  <->  ( ( G `  X ) F y  /\  ( G `  X )  e.  { ( G `  X ) } ) )
6866, 67syl6rbb 262 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( G `  X )  ->  (
( ( G `  X ) F y  /\  ( G `  X )  e.  {
( G `  X
) } )  <->  x ( F  |`  { ( G `
 X ) } ) y ) )
6968adantr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  ( G `
 X )  /\  ( ( X  e. 
dom  ( F  o.  G )  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A
) ) )  -> 
( ( ( G `
 X ) F y  /\  ( G `
 X )  e. 
{ ( G `  X ) } )  <-> 
x ( F  |`  { ( G `  X ) } ) y ) )
7069mobidv 2280 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  ( G `
 X )  /\  ( ( X  e. 
dom  ( F  o.  G )  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A
) ) )  -> 
( E* y ( ( G `  X
) F y  /\  ( G `  X )  e.  { ( G `
 X ) } )  <->  E* y  x ( F  |`  { ( G `  X ) } ) y ) )
7165, 70mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  ( G `
 X )  /\  ( ( X  e. 
dom  ( F  o.  G )  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A
) ) )  ->  E* y  x ( F  |`  { ( G `
 X ) } ) y )
7271ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( G `  X )  ->  (
( ( X  e. 
dom  ( F  o.  G )  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A
) )  ->  E* y  x ( F  |`  { ( G `  X ) } ) y ) )
738, 72sylbi 195 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  { ( G `
 X ) }  ->  ( ( ( X  e.  dom  ( F  o.  G )  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A
) )  ->  E* y  x ( F  |`  { ( G `  X ) } ) y ) )
747, 73syl6bi 228 . . . . . . . . 9  |-  ( dom  ( F  |`  { ( G `  X ) } )  =  {
( G `  X
) }  ->  (
x  e.  dom  ( F  |`  { ( G `
 X ) } )  ->  ( (
( X  e.  dom  ( F  o.  G
)  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A ) )  ->  E* y  x ( F  |`  { ( G `
 X ) } ) y ) ) )
7574com23 78 . . . . . . . 8  |-  ( dom  ( F  |`  { ( G `  X ) } )  =  {
( G `  X
) }  ->  (
( ( X  e. 
dom  ( F  o.  G )  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A
) )  ->  (
x  e.  dom  ( F  |`  { ( G `
 X ) } )  ->  E* y  x ( F  |`  { ( G `  X ) } ) y ) ) )
766, 75syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( G `  X )  e.  dom  F  -> 
( ( ( X  e.  dom  ( F  o.  G )  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A
) )  ->  (
x  e.  dom  ( F  |`  { ( G `
 X ) } )  ->  E* y  x ( F  |`  { ( G `  X ) } ) y ) ) )
775, 76syl6com 35 . . . . . 6  |-  ( X  e.  dom  ( F  o.  G )  -> 
( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A
)  ->  ( (
( X  e.  dom  ( F  o.  G
)  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A ) )  -> 
( x  e.  dom  ( F  |`  { ( G `  X ) } )  ->  E* y  x ( F  |`  { ( G `  X ) } ) y ) ) ) )
7877a1d 25 . . . . 5  |-  ( X  e.  dom  ( F  o.  G )  -> 
( Fun  ( ( F  o.  G )  |` 
{ X } )  ->  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  (
( ( X  e. 
dom  ( F  o.  G )  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A
) )  ->  (
x  e.  dom  ( F  |`  { ( G `
 X ) } )  ->  E* y  x ( F  |`  { ( G `  X ) } ) y ) ) ) ) )
7978imp31 432 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  dom  ( F  o.  G
)  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A ) )  -> 
( ( ( X  e.  dom  ( F  o.  G )  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A
) )  ->  (
x  e.  dom  ( F  |`  { ( G `
 X ) } )  ->  E* y  x ( F  |`  { ( G `  X ) } ) y ) ) )
8079pm2.43i 47 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  dom  ( F  o.  G
)  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A ) )  -> 
( x  e.  dom  ( F  |`  { ( G `  X ) } )  ->  E* y  x ( F  |`  { ( G `  X ) } ) y ) )
8180ralrimiv 2796 . 2  |-  ( ( ( X  e.  dom  ( F  o.  G
)  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A ) )  ->  A. x  e.  dom  ( F  |`  { ( G `  X ) } ) E* y  x ( F  |`  { ( G `  X ) } ) y )
82 dffun7 5441 . 2  |-  ( Fun  ( F  |`  { ( G `  X ) } )  <->  ( Rel  ( F  |`  { ( G `  X ) } )  /\  A. x  e.  dom  ( F  |`  { ( G `  X ) } ) E* y  x ( F  |`  { ( G `  X ) } ) y ) )
832, 81, 82sylanbrc 659 1  |-  ( ( ( X  e.  dom  ( F  o.  G
)  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A ) )  ->  Fun  ( F  |`  { ( G `  X ) } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1362    = wceq 1364   E.wex 1591    e. wcel 1761   E*wmo 2258   A.wral 2713   _Vcvv 2970   {csn 3874   class class class wbr 4289   dom cdm 4836    |` cres 4838    o. ccom 4840   Rel wrel 4841   Fun wfun 5409    Fn wfn 5410   ` cfv 5415
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pr 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-br 4290  df-opab 4348  df-id 4632  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-res 4848  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-fv 5423
This theorem is referenced by:  afvco2  30007
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