MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funressn Structured version   Unicode version

Theorem funressn 5996
Description: A function restricted to a singleton. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
funressn  |-  ( Fun 
F  ->  ( F  |` 
{ B } ) 
C_  { <. B , 
( F `  B
) >. } )

Proof of Theorem funressn
StepHypRef Expression
1 funfn 5547 . . . 4  |-  ( Fun 
F  <->  F  Fn  dom  F )
2 fnressn 5995 . . . 4  |-  ( ( F  Fn  dom  F  /\  B  e.  dom  F )  ->  ( F  |` 
{ B } )  =  { <. B , 
( F `  B
) >. } )
31, 2sylanb 472 . . 3  |-  ( ( Fun  F  /\  B  e.  dom  F )  -> 
( F  |`  { B } )  =  { <. B ,  ( F `
 B ) >. } )
4 eqimss 3508 . . 3  |-  ( ( F  |`  { B } )  =  { <. B ,  ( F `
 B ) >. }  ->  ( F  |`  { B } )  C_  {
<. B ,  ( F `
 B ) >. } )
53, 4syl 16 . 2  |-  ( ( Fun  F  /\  B  e.  dom  F )  -> 
( F  |`  { B } )  C_  { <. B ,  ( F `  B ) >. } )
6 disjsn 4036 . . . . 5  |-  ( ( dom  F  i^i  { B } )  =  (/)  <->  -.  B  e.  dom  F )
7 fnresdisj 5621 . . . . . 6  |-  ( F  Fn  dom  F  -> 
( ( dom  F  i^i  { B } )  =  (/)  <->  ( F  |`  { B } )  =  (/) ) )
81, 7sylbi 195 . . . . 5  |-  ( Fun 
F  ->  ( ( dom  F  i^i  { B } )  =  (/)  <->  ( F  |`  { B }
)  =  (/) ) )
96, 8syl5bbr 259 . . . 4  |-  ( Fun 
F  ->  ( -.  B  e.  dom  F  <->  ( F  |` 
{ B } )  =  (/) ) )
109biimpa 484 . . 3  |-  ( ( Fun  F  /\  -.  B  e.  dom  F )  ->  ( F  |`  { B } )  =  (/) )
11 0ss 3766 . . 3  |-  (/)  C_  { <. B ,  ( F `  B ) >. }
1210, 11syl6eqss 3506 . 2  |-  ( ( Fun  F  /\  -.  B  e.  dom  F )  ->  ( F  |`  { B } )  C_  {
<. B ,  ( F `
 B ) >. } )
135, 12pm2.61dan 789 1  |-  ( Fun 
F  ->  ( F  |` 
{ B } ) 
C_  { <. B , 
( F `  B
) >. } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    i^i cin 3427    C_ wss 3428   (/)c0 3737   {csn 3977   <.cop 3983   dom cdm 4940    |` cres 4942   Fun wfun 5512    Fn wfn 5513   ` cfv 5518
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pr 4631
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-nul 3738  df-if 3892  df-sn 3978  df-pr 3980  df-op 3984  df-uni 4192  df-br 4393  df-opab 4451  df-id 4736  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526
This theorem is referenced by:  fnsnb  5999  tfrlem16  6954  fnfi  7692  fodomfi  7693  bnj142OLD  32019
  Copyright terms: Public domain W3C validator