Theorem funimass4 4722

Description: Membership relation for the values of a function whose image is a subclass. (Contributed by Raph Levien, 20-Nov-2006.)

Assertion

Ref	Expression
funimass4	|- ((Fun F /\ A C_ dom F) -> ((F"A) C_ B <-> A.x e. A (F` x) e. B))

Distinct variable groups:   x,A   x,B   x,F

Proof of Theorem funimass4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 2615	. . . . . . . . . . . 12 |- (A C_ dom F -> (x e. A -> x e. dom F))
2		visset 2295	. . . . . . . . . . . . . 14 |- y e. _V
3	2	funbrfvb 4714	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((Fun F /\ x e. dom F) -> ((F` x) = y <-> xFy))
4	3	ex 402	. . . . . . . . . . . 12 |- (Fun F -> (x e. dom F -> ((F` x) = y <-> xFy)))
5	1, 4	syl9 71	. . . . . . . . . . 11 |- (A C_ dom F -> (Fun F -> (x e. A -> ((F` x) = y <-> xFy))))
6	5	imp31 389	. . . . . . . . . 10 |- (((A C_ dom F /\ Fun F) /\ x e. A) -> ((F` x) = y <-> xFy))
7		eqcom 1886	. . . . . . . . . 10 |- (y = (F` x) <-> (F` x) = y)
8	6, 7	syl5bb 591	. . . . . . . . 9 |- (((A C_ dom F /\ Fun F) /\ x e. A) -> (y = (F` x) <-> xFy))
9	8	rexbidva 2120	. . . . . . . 8 |- ((A C_ dom F /\ Fun F) -> (E.x e. A y = (F` x) <-> E.x e. A xFy))
10	2	elima 4270	. . . . . . . 8 |- (y e. (F"A) <-> E.x e. A xFy)
11	9, 10	syl6rbbr 598	. . . . . . 7 |- ((A C_ dom F /\ Fun F) -> (y e. (F"A) <-> E.x e. A y = (F` x)))
12	11	imbi1d 675	. . . . . 6 |- ((A C_ dom F /\ Fun F) -> ((y e. (F"A) -> y e. B) <-> (E.x e. A y = (F` x) -> y e. B)))
13		r19.23v 2208	. . . . . 6 |- (A.x e. A (y = (F` x) -> y e. B) <-> (E.x e. A y = (F` x) -> y e. B))
14	12, 13	syl6bbr 597	. . . . 5 |- ((A C_ dom F /\ Fun F) -> ((y e. (F"A) -> y e. B) <-> A.x e. A (y = (F` x) -> y e. B)))
15	14	albidv 1656	. . . 4 |- ((A C_ dom F /\ Fun F) -> (A.y(y e. (F"A) -> y e. B) <-> A.yA.x e. A (y = (F` x) -> y e. B)))
16		ralcom4 2310	. . . . 5 |- (A.x e. A A.y(y = (F` x) -> y e. B) <-> A.yA.x e. A (y = (F` x) -> y e. B))
17		fvex 4689	. . . . . . 7 |- (F` x) e. _V
18		eleq1 1957	. . . . . . 7 |- (y = (F` x) -> (y e. B <-> (F` x) e. B))
19	17, 18	ceqsalv 2317	. . . . . 6 |- (A.y(y = (F` x) -> y e. B) <-> (F` x) e. B)
20	19	ralbii 2127	. . . . 5 |- (A.x e. A A.y(y = (F` x) -> y e. B) <-> A.x e. A (F` x) e. B)
21	16, 20	bitr3i 192	. . . 4 |- (A.yA.x e. A (y = (F` x) -> y e. B) <-> A.x e. A (F` x) e. B)
22	15, 21	syl6bb 595	. . 3 |- ((A C_ dom F /\ Fun F) -> (A.y(y e. (F"A) -> y e. B) <-> A.x e. A (F` x) e. B))
23		dfss2 2610	. . 3 |- ((F"A) C_ B <-> A.y(y e. (F"A) -> y e. B))
24	22, 23	syl5bb 591	. 2 |- ((A C_ dom F /\ Fun F) -> ((F"A) C_ B <-> A.x e. A (F` x) e. B))
25	24	ancoms 484	1 |- ((Fun F /\ A C_ dom F) -> ((F"A) C_ B <-> A.x e. A (F` x) e. B))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106   C_ wss 2593   class class class wbr 3338  dom cdm 3986  "cima 3989  Fun wfun 3992  ` cfv 3998

This theorem is referenced by:  funimass3 4779  funimass5 4780  funconstss 4781  fipreima 10175  tx1cn 10223  tx2cn 10224  tartarmap 15265  fipreimaOLD 15756

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014

Copyright terms: Public domain