Theorem funimass4 5919

Description: Membership relation for the values of a function whose image is a subclass. (Contributed by Raph Levien, 20-Nov-2006.)

Assertion

Ref	Expression
funimass4	|- ( ( Fun F /\ A C_ dom F ) -> ( ( F " A ) C_ B <-> A. x e. A ( F ` x ) e. B ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, F

Proof of Theorem funimass4

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfss2 3493	. . 3 |- ( ( F " A ) C_ B <-> A. y ( y e. ( F " A ) -> y e. B ) )
2		eqcom 2476	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( F ` x ) <-> ( F ` x ) = y )
3		ssel 3498	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A C_ dom F -> ( x e. A -> x e. dom F ) )
4		funbrfvb 5910	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Fun F /\ x e. dom F ) -> ( ( F ` x ) = y <-> x F y ) )
5	4	ex 434	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Fun F -> ( x e. dom F -> ( ( F ` x ) = y <-> x F y ) ) )
6	3, 5	syl9 71	. . . . . . . . . . 11 |- ( A C_ dom F -> ( Fun F -> ( x e. A -> ( ( F ` x ) = y <-> x F y ) ) ) )
7	6	imp31 432	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A C_ dom F /\ Fun F ) /\ x e. A ) -> ( ( F ` x ) = y <-> x F y ) )
8	2, 7	syl5bb 257	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A C_ dom F /\ Fun F ) /\ x e. A ) -> ( y = ( F ` x ) <-> x F y ) )
9	8	rexbidva 2970	. . . . . . . 8 |- ( ( A C_ dom F /\ Fun F ) -> ( E. x e. A y = ( F ` x ) <-> E. x e. A x F y ) )
10		vex 3116	. . . . . . . . 9 |- y e. _V
11	10	elima 5342	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( F " A ) <-> E. x e. A x F y )
12	9, 11	syl6rbbr 264	. . . . . . 7 |- ( ( A C_ dom F /\ Fun F ) -> ( y e. ( F " A ) <-> E. x e. A y = ( F ` x ) ) )
13	12	imbi1d 317	. . . . . 6 |- ( ( A C_ dom F /\ Fun F ) -> ( ( y e. ( F " A ) -> y e. B ) <-> ( E. x e. A y = ( F ` x ) -> y e. B ) ) )
14		r19.23v 2943	. . . . . 6 |- ( A. x e. A ( y = ( F ` x ) -> y e. B ) <-> ( E. x e. A y = ( F ` x ) -> y e. B ) )
15	13, 14	syl6bbr 263	. . . . 5 |- ( ( A C_ dom F /\ Fun F ) -> ( ( y e. ( F " A ) -> y e. B ) <-> A. x e. A ( y = ( F ` x ) -> y e. B ) ) )
16	15	albidv 1689	. . . 4 |- ( ( A C_ dom F /\ Fun F ) -> ( A. y ( y e. ( F " A ) -> y e. B ) <-> A. y A. x e. A ( y = ( F ` x ) -> y e. B ) ) )
17		ralcom4 3132	. . . . 5 |- ( A. x e. A A. y ( y = ( F ` x ) -> y e. B ) <-> A. y A. x e. A ( y = ( F ` x ) -> y e. B ) )
18		fvex 5876	. . . . . . 7 |- ( F ` x ) e. _V
19		eleq1 2539	. . . . . . 7 |- ( y = ( F ` x ) -> ( y e. B <-> ( F ` x ) e. B ) )
20	18, 19	ceqsalv 3141	. . . . . 6 |- ( A. y ( y = ( F ` x ) -> y e. B ) <-> ( F ` x ) e. B )
21	20	ralbii 2895	. . . . 5 |- ( A. x e. A A. y ( y = ( F ` x ) -> y e. B ) <-> A. x e. A ( F ` x ) e. B )
22	17, 21	bitr3i 251	. . . 4 |- ( A. y A. x e. A ( y = ( F ` x ) -> y e. B ) <-> A. x e. A ( F ` x ) e. B )
23	16, 22	syl6bb 261	. . 3 |- ( ( A C_ dom F /\ Fun F ) -> ( A. y ( y e. ( F " A ) -> y e. B ) <-> A. x e. A ( F ` x ) e. B ) )
24	1, 23	syl5bb 257	. 2 |- ( ( A C_ dom F /\ Fun F ) -> ( ( F " A ) C_ B <-> A. x e. A ( F ` x ) e. B ) )
25	24	ancoms 453	1 |- ( ( Fun F /\ A C_ dom F ) -> ( ( F " A ) C_ B <-> A. x e. A ( F ` x ) e. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   A.wal 1377   = wceq 1379   e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   C_ wss 3476   class class class wbr 4447   dom cdm 4999   "cima 5002   Fun wfun 5582   ` cfv 5588

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pr 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-fv 5596

This theorem is referenced by:  funimass3  5998  funimass5  5999  funconstss  6000  funimassov  6437  fnwelem  6899  cnfcomlem  8144  cnfcomlemOLD  8152  dfac12lem2  8525  ackbij1b  8620  wunom  9099  phimullem  14171  frmdss2  15866  cntzmhm2  16191  dprd2da  16905  frlmsslsp  18636  frlmsslspOLD  18637  1stckgenlem  19881  txcnp  19948  ptcnplem  19949  xkopt  19983  xkoinjcn  20015  tgqtop  20040  uzrest  20225  cnflf2  20331  lmflf  20333  txflf  20334  cnextcn  20394  ghmcnp  20440  ucnima  20611  metcnp  20871  tchcph  21507  ovolficcss  21708  opnmbllem  21837  ellimc2  22108  ellimc3  22110  deg1n0ima  22316  dvloglem  22854  logf1o2  22856  dchrghm  23356  usgrares1  24183  xrofsup  27347  eulerpartlemd  28056  erdszelem2  28387  cvmlift3lem7  28521  mclsax  28680  opnmbllem0  29903  filnetlem4  30029  cnres2  30089  icccncfext  31453