Theorem funimass4 5932

Description: Membership relation for the values of a function whose image is a subclass. (Contributed by Raph Levien, 20-Nov-2006.)

Assertion

Ref	Expression
funimass4	|- ( ( Fun F /\ A C_ dom F ) -> ( ( F " A ) C_ B <-> A. x e. A ( F ` x ) e. B ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, F

Proof of Theorem funimass4

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfss2 3459	. . 3 |- ( ( F " A ) C_ B <-> A. y ( y e. ( F " A ) -> y e. B ) )
2		eqcom 2438	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( F ` x ) <-> ( F ` x ) = y )
3		ssel 3464	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A C_ dom F -> ( x e. A -> x e. dom F ) )
4		funbrfvb 5923	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Fun F /\ x e. dom F ) -> ( ( F ` x ) = y <-> x F y ) )
5	4	ex 435	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Fun F -> ( x e. dom F -> ( ( F ` x ) = y <-> x F y ) ) )
6	3, 5	syl9 73	. . . . . . . . . . 11 |- ( A C_ dom F -> ( Fun F -> ( x e. A -> ( ( F ` x ) = y <-> x F y ) ) ) )
7	6	imp31 433	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A C_ dom F /\ Fun F ) /\ x e. A ) -> ( ( F ` x ) = y <-> x F y ) )
8	2, 7	syl5bb 260	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A C_ dom F /\ Fun F ) /\ x e. A ) -> ( y = ( F ` x ) <-> x F y ) )
9	8	rexbidva 2943	. . . . . . . 8 |- ( ( A C_ dom F /\ Fun F ) -> ( E. x e. A y = ( F ` x ) <-> E. x e. A x F y ) )
10		vex 3090	. . . . . . . . 9 |- y e. _V
11	10	elima 5193	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( F " A ) <-> E. x e. A x F y )
12	9, 11	syl6rbbr 267	. . . . . . 7 |- ( ( A C_ dom F /\ Fun F ) -> ( y e. ( F " A ) <-> E. x e. A y = ( F ` x ) ) )
13	12	imbi1d 318	. . . . . 6 |- ( ( A C_ dom F /\ Fun F ) -> ( ( y e. ( F " A ) -> y e. B ) <-> ( E. x e. A y = ( F ` x ) -> y e. B ) ) )
14		r19.23v 2912	. . . . . 6 |- ( A. x e. A ( y = ( F ` x ) -> y e. B ) <-> ( E. x e. A y = ( F ` x ) -> y e. B ) )
15	13, 14	syl6bbr 266	. . . . 5 |- ( ( A C_ dom F /\ Fun F ) -> ( ( y e. ( F " A ) -> y e. B ) <-> A. x e. A ( y = ( F ` x ) -> y e. B ) ) )
16	15	albidv 1760	. . . 4 |- ( ( A C_ dom F /\ Fun F ) -> ( A. y ( y e. ( F " A ) -> y e. B ) <-> A. y A. x e. A ( y = ( F ` x ) -> y e. B ) ) )
17		ralcom4 3106	. . . . 5 |- ( A. x e. A A. y ( y = ( F ` x ) -> y e. B ) <-> A. y A. x e. A ( y = ( F ` x ) -> y e. B ) )
18		fvex 5891	. . . . . . 7 |- ( F ` x ) e. _V
19		eleq1 2501	. . . . . . 7 |- ( y = ( F ` x ) -> ( y e. B <-> ( F ` x ) e. B ) )
20	18, 19	ceqsalv 3115	. . . . . 6 |- ( A. y ( y = ( F ` x ) -> y e. B ) <-> ( F ` x ) e. B )
21	20	ralbii 2863	. . . . 5 |- ( A. x e. A A. y ( y = ( F ` x ) -> y e. B ) <-> A. x e. A ( F ` x ) e. B )
22	17, 21	bitr3i 254	. . . 4 |- ( A. y A. x e. A ( y = ( F ` x ) -> y e. B ) <-> A. x e. A ( F ` x ) e. B )
23	16, 22	syl6bb 264	. . 3 |- ( ( A C_ dom F /\ Fun F ) -> ( A. y ( y e. ( F " A ) -> y e. B ) <-> A. x e. A ( F ` x ) e. B ) )
24	1, 23	syl5bb 260	. 2 |- ( ( A C_ dom F /\ Fun F ) -> ( ( F " A ) C_ B <-> A. x e. A ( F ` x ) e. B ) )
25	24	ancoms 454	1 |- ( ( Fun F /\ A C_ dom F ) -> ( ( F " A ) C_ B <-> A. x e. A ( F ` x ) e. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   A.wal 1435   = wceq 1437   e. wcel 1870   A.wral 2782   E.wrex 2783   C_ wss 3442   class class class wbr 4426   dom cdm 4854   "cima 4857   Fun wfun 5595   ` cfv 5601

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pr 4661

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-br 4427  df-opab 4485  df-id 4769  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-fv 5609

This theorem is referenced by:  funimass3  6013  funimass5  6014  funconstss  6015  funimassov  6460  fnwelem  6922  cnfcomlem  8203  dfac12lem2  8572  ackbij1b  8667  wunom  9144  phimullem  14696  frmdss2  16598  cntzmhm2  16944  dprd2da  17610  frlmsslsp  19285  1stckgenlem  20499  txcnp  20566  ptcnplem  20567  xkopt  20601  xkoinjcn  20633  tgqtop  20658  uzrest  20843  cnflf2  20949  lmflf  20951  txflf  20952  cnextcn  21013  ghmcnp  21060  ucnima  21227  metcnp  21487  tchcph  22104  ovolficcss  22301  opnmbllem  22436  ellimc2  22709  ellimc3  22711  deg1n0ima  22915  dvloglem  23458  logf1o2  23460  dchrghm  24047  usgrares1  24983  xrofsup  28189  eulerpartlemd  29025  erdszelem2  29703  cvmlift3lem7  29836  mclsax  29995  filnetlem4  30822  poimir  31680  opnmbllem0  31683  cnres2  31802  icccncfext  37340