Theorem funimass4 3839

Description: Membership relation for the values of a function whose image is a subclass. (Contributed by Raph Levien, 20-Nov-2006.)

Assertion

Ref	Expression
funimass4	|- ((Fun F /\ A (_ dom F) -> ((F"A) (_ B <-> A.x e. A (F` x) e. B))

Distinct variable groups:   x,A   x,B   x,F

Proof of Theorem funimass4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 2107	. . . . . . . . . . . 12 |- (A (_ dom F -> (x e. A -> x e. dom F))
2		visset 1851	. . . . . . . . . . . . . 14 |- y e. V
3	2	funbrfvb 3831	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((Fun F /\ x e. dom F) -> ((F` x) = y <-> xFy))
4	3	ex 371	. . . . . . . . . . . 12 |- (Fun F -> (x e. dom F -> ((F` x) = y <-> xFy)))
5	1, 4	syl9 57	. . . . . . . . . . 11 |- (A (_ dom F -> (Fun F -> (x e. A -> ((F` x) = y <-> xFy))))
6	5	imp31 360	. . . . . . . . . 10 |- (((A (_ dom F /\ Fun F) /\ x e. A) -> ((F` x) = y <-> xFy))
7		eqcom 1514	. . . . . . . . . 10 |- (y = (F` x) <-> (F` x) = y)
8	6, 7	syl5bb 534	. . . . . . . . 9 |- (((A (_ dom F /\ Fun F) /\ x e. A) -> (y = (F` x) <-> xFy))
9	8	rexbidva 1698	. . . . . . . 8 |- ((A (_ dom F /\ Fun F) -> (E.x e. A y = (F` x) <-> E.x e. A xFy))
10	2	elima 3471	. . . . . . . 8 |- (y e. (F"A) <-> E.x e. A xFy)
11	9, 10	syl6rbbr 541	. . . . . . 7 |- ((A (_ dom F /\ Fun F) -> (y e. (F"A) <-> E.x e. A y = (F` x)))
12	11	imbi1d 615	. . . . . 6 |- ((A (_ dom F /\ Fun F) -> ((y e. (F"A) -> y e. B) <-> (E.x e. A y = (F` x) -> y e. B)))
13		r19.23v 1779	. . . . . 6 |- (A.x e. A (y = (F` x) -> y e. B) <-> (E.x e. A y = (F` x) -> y e. B))
14	12, 13	syl6bbr 540	. . . . 5 |- ((A (_ dom F /\ Fun F) -> ((y e. (F"A) -> y e. B) <-> A.x e. A (y = (F` x) -> y e. B)))
15	14	albidv 1311	. . . 4 |- ((A (_ dom F /\ Fun F) -> (A.y(y e. (F"A) -> y e. B) <-> A.yA.x e. A (y = (F` x) -> y e. B)))
16		ralcom4 1861	. . . . 5 |- (A.x e. A A.y(y = (F` x) -> y e. B) <-> A.yA.x e. A (y = (F` x) -> y e. B))
17		fvex 3808	. . . . . . 7 |- (F` x) e. V
18		eleq1 1571	. . . . . . 7 |- (y = (F` x) -> (y e. B <-> (F` x) e. B))
19	17, 18	ceqsalv 1865	. . . . . 6 |- (A.y(y = (F` x) -> y e. B) <-> (F` x) e. B)
20	19	ralbii 1705	. . . . 5 |- (A.x e. A A.y(y = (F` x) -> y e. B) <-> A.x e. A (F` x) e. B)
21	16, 20	bitr3i 173	. . . 4 |- (A.yA.x e. A (y = (F` x) -> y e. B) <-> A.x e. A (F` x) e. B)
22	15, 21	syl6bb 538	. . 3 |- ((A (_ dom F /\ Fun F) -> (A.y(y e. (F"A) -> y e. B) <-> A.x e. A (F` x) e. B))
23		dfss2 2102	. . 3 |- ((F"A) (_ B <-> A.y(y e. (F"A) -> y e. B))
24	22, 23	syl5bb 534	. 2 |- ((A (_ dom F /\ Fun F) -> ((F"A) (_ B <-> A.x e. A (F` x) e. B))
25	24	ancoms 438	1 |- ((Fun F /\ A (_ dom F) -> ((F"A) (_ B <-> A.x e. A (F` x) e. B))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 144   /\ wa 221  A.wal 986   = wceq 988   e. wcel 990  A.wral 1683  E.wrex 1684   (_ wss 2091   class class class wbr 2669  dom cdm 3225  "cima 3228  Fun wfun 3231  ` cfv 3237

This theorem is referenced by:  funimass3 3882  funimass5 3883  funconstss 3884

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 994  ax-gen 995  ax-8 996  ax-10 998  ax-11 999  ax-12 1000  ax-13 1001  ax-14 1002  ax-17 1003  ax-4 1005  ax-5o 1007  ax-6o 1010  ax-9o 1155  ax-10o 1173  ax-16 1243  ax-11o 1251  ax-ext 1494  ax-sep 2754  ax-pow 2794  ax-pr 2832  ax-un 2920

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-ex 1013  df-sb 1205  df-eu 1415  df-mo 1416  df-clab 1500  df-cleq 1505  df-clel 1508  df-ne 1624  df-ral 1687  df-rex 1688  df-v 1850  df-dif 2093  df-un 2094  df-in 2095  df-ss 2097  df-nul 2325  df-pw 2447  df-sn 2457  df-pr 2458  df-op 2461  df-uni 2552  df-br 2670  df-opab 2718  df-id 2889  df-xp 3239  df-cnv 3241  df-co 3242  df-dm 3243  df-rn 3244  df-res 3245  df-ima 3246  df-fun 3247  df-fn 3248  df-fv 3253

Copyright terms: Public domain