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Theorem funimass4 5938
Description: Membership relation for the values of a function whose image is a subclass. (Contributed by Raph Levien, 20-Nov-2006.)
Assertion
Ref Expression
funimass4  |-  ( ( Fun  F  /\  A  C_ 
dom  F )  -> 
( ( F " A )  C_  B  <->  A. x  e.  A  ( F `  x )  e.  B ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, F

Proof of Theorem funimass4
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfss2 3432 . . 3  |-  ( ( F " A ) 
C_  B  <->  A. y
( y  e.  ( F " A )  ->  y  e.  B
) )
2 eqcom 2468 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( F `  x )  <->  ( F `  x )  =  y )
3 ssel 3437 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A 
C_  dom  F  ->  ( x  e.  A  ->  x  e.  dom  F ) )
4 funbrfvb 5929 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Fun  F  /\  x  e.  dom  F )  -> 
( ( F `  x )  =  y  <-> 
x F y ) )
54ex 440 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Fun 
F  ->  ( x  e.  dom  F  ->  (
( F `  x
)  =  y  <->  x F
y ) ) )
63, 5syl9 73 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
C_  dom  F  ->  ( Fun  F  ->  (
x  e.  A  -> 
( ( F `  x )  =  y  <-> 
x F y ) ) ) )
76imp31 438 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  dom  F  /\  Fun  F )  /\  x  e.  A
)  ->  ( ( F `  x )  =  y  <->  x F y ) )
82, 7syl5bb 265 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  dom  F  /\  Fun  F )  /\  x  e.  A
)  ->  ( y  =  ( F `  x )  <->  x F
y ) )
98rexbidva 2909 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  dom  F  /\  Fun  F )  ->  ( E. x  e.  A  y  =  ( F `  x )  <->  E. x  e.  A  x F
y ) )
10 vex 3059 . . . . . . . . 9  |-  y  e. 
_V
1110elima 5191 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( F " A )  <->  E. x  e.  A  x F
y )
129, 11syl6rbbr 272 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  dom  F  /\  Fun  F )  ->  (
y  e.  ( F
" A )  <->  E. x  e.  A  y  =  ( F `  x ) ) )
1312imbi1d 323 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  dom  F  /\  Fun  F )  ->  (
( y  e.  ( F " A )  ->  y  e.  B
)  <->  ( E. x  e.  A  y  =  ( F `  x )  ->  y  e.  B
) ) )
14 r19.23v 2878 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  (
y  =  ( F `
 x )  -> 
y  e.  B )  <-> 
( E. x  e.  A  y  =  ( F `  x )  ->  y  e.  B
) )
1513, 14syl6bbr 271 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  dom  F  /\  Fun  F )  ->  (
( y  e.  ( F " A )  ->  y  e.  B
)  <->  A. x  e.  A  ( y  =  ( F `  x )  ->  y  e.  B
) ) )
1615albidv 1777 . . . 4  |-  ( ( A  C_  dom  F  /\  Fun  F )  ->  ( A. y ( y  e.  ( F " A
)  ->  y  e.  B )  <->  A. y A. x  e.  A  ( y  =  ( F `  x )  ->  y  e.  B
) ) )
17 ralcom4 3077 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  A. y ( y  =  ( F `  x
)  ->  y  e.  B )  <->  A. y A. x  e.  A  ( y  =  ( F `  x )  ->  y  e.  B
) )
18 fvex 5897 . . . . . . 7  |-  ( F `
 x )  e. 
_V
19 eleq1 2527 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( F `  x )  ->  (
y  e.  B  <->  ( F `  x )  e.  B
) )
2018, 19ceqsalv 3086 . . . . . 6  |-  ( A. y ( y  =  ( F `  x
)  ->  y  e.  B )  <->  ( F `  x )  e.  B
)
2120ralbii 2830 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  A. y ( y  =  ( F `  x
)  ->  y  e.  B )  <->  A. x  e.  A  ( F `  x )  e.  B
)
2217, 21bitr3i 259 . . . 4  |-  ( A. y A. x  e.  A  ( y  =  ( F `  x )  ->  y  e.  B
)  <->  A. x  e.  A  ( F `  x )  e.  B )
2316, 22syl6bb 269 . . 3  |-  ( ( A  C_  dom  F  /\  Fun  F )  ->  ( A. y ( y  e.  ( F " A
)  ->  y  e.  B )  <->  A. x  e.  A  ( F `  x )  e.  B
) )
241, 23syl5bb 265 . 2  |-  ( ( A  C_  dom  F  /\  Fun  F )  ->  (
( F " A
)  C_  B  <->  A. x  e.  A  ( F `  x )  e.  B
) )
2524ancoms 459 1  |-  ( ( Fun  F  /\  A  C_ 
dom  F )  -> 
( ( F " A )  C_  B  <->  A. x  e.  A  ( F `  x )  e.  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375   A.wal 1452    = wceq 1454    e. wcel 1897   A.wral 2748   E.wrex 2749    C_ wss 3415   class class class wbr 4415   dom cdm 4852   "cima 4855   Fun wfun 5594   ` cfv 5600
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pr 4652
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-ral 2753  df-rex 2754  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-nul 3743  df-if 3893  df-sn 3980  df-pr 3982  df-op 3986  df-uni 4212  df-br 4416  df-opab 4475  df-id 4767  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-fv 5608
This theorem is referenced by:  funimass3  6020  funimass5  6021  funconstss  6022  funimassov  6472  fnwelem  6937  cnfcomlem  8229  dfac12lem2  8599  ackbij1b  8694  wunom  9170  phimullem  14775  frmdss2  16695  cntzmhm2  17041  dprd2da  17723  frlmsslsp  19402  1stckgenlem  20616  txcnp  20683  ptcnplem  20684  xkopt  20718  xkoinjcn  20750  tgqtop  20775  uzrest  20960  cnflf2  21066  lmflf  21068  txflf  21069  cnextcn  21130  ghmcnp  21177  ucnima  21344  metcnp  21604  tchcph  22259  ovolficcss  22470  opnmbllem  22607  ellimc2  22880  ellimc3  22882  deg1n0ima  23086  dvloglem  23641  logf1o2  23643  dchrghm  24232  usgrares1  25186  xrofsup  28401  eulerpartlemd  29247  erdszelem2  29963  cvmlift3lem7  30096  mclsax  30255  filnetlem4  31085  poimir  32017  opnmbllem0  32020  cnres2  32139  icccncfext  37802
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