Theorem funimass4 5763

Description: Membership relation for the values of a function whose image is a subclass. (Contributed by Raph Levien, 20-Nov-2006.)

Assertion

Ref	Expression
funimass4	|- ( ( Fun F /\ A C_ dom F ) -> ( ( F " A ) C_ B <-> A. x e. A ( F ` x ) e. B ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, F

Proof of Theorem funimass4

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfss2 3366	. . 3 |- ( ( F " A ) C_ B <-> A. y ( y e. ( F " A ) -> y e. B ) )
2		eqcom 2445	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( F ` x ) <-> ( F ` x ) = y )
3		ssel 3371	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A C_ dom F -> ( x e. A -> x e. dom F ) )
4		funbrfvb 5755	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Fun F /\ x e. dom F ) -> ( ( F ` x ) = y <-> x F y ) )
5	4	ex 434	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Fun F -> ( x e. dom F -> ( ( F ` x ) = y <-> x F y ) ) )
6	3, 5	syl9 71	. . . . . . . . . . 11 |- ( A C_ dom F -> ( Fun F -> ( x e. A -> ( ( F ` x ) = y <-> x F y ) ) ) )
7	6	imp31 432	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A C_ dom F /\ Fun F ) /\ x e. A ) -> ( ( F ` x ) = y <-> x F y ) )
8	2, 7	syl5bb 257	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A C_ dom F /\ Fun F ) /\ x e. A ) -> ( y = ( F ` x ) <-> x F y ) )
9	8	rexbidva 2753	. . . . . . . 8 |- ( ( A C_ dom F /\ Fun F ) -> ( E. x e. A y = ( F ` x ) <-> E. x e. A x F y ) )
10		vex 2996	. . . . . . . . 9 |- y e. _V
11	10	elima 5195	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( F " A ) <-> E. x e. A x F y )
12	9, 11	syl6rbbr 264	. . . . . . 7 |- ( ( A C_ dom F /\ Fun F ) -> ( y e. ( F " A ) <-> E. x e. A y = ( F ` x ) ) )
13	12	imbi1d 317	. . . . . 6 |- ( ( A C_ dom F /\ Fun F ) -> ( ( y e. ( F " A ) -> y e. B ) <-> ( E. x e. A y = ( F ` x ) -> y e. B ) ) )
14		r19.23v 2854	. . . . . 6 |- ( A. x e. A ( y = ( F ` x ) -> y e. B ) <-> ( E. x e. A y = ( F ` x ) -> y e. B ) )
15	13, 14	syl6bbr 263	. . . . 5 |- ( ( A C_ dom F /\ Fun F ) -> ( ( y e. ( F " A ) -> y e. B ) <-> A. x e. A ( y = ( F ` x ) -> y e. B ) ) )
16	15	albidv 1679	. . . 4 |- ( ( A C_ dom F /\ Fun F ) -> ( A. y ( y e. ( F " A ) -> y e. B ) <-> A. y A. x e. A ( y = ( F ` x ) -> y e. B ) ) )
17		ralcom4 3012	. . . . 5 |- ( A. x e. A A. y ( y = ( F ` x ) -> y e. B ) <-> A. y A. x e. A ( y = ( F ` x ) -> y e. B ) )
18		fvex 5722	. . . . . . 7 |- ( F ` x ) e. _V
19		eleq1 2503	. . . . . . 7 |- ( y = ( F ` x ) -> ( y e. B <-> ( F ` x ) e. B ) )
20	18, 19	ceqsalv 3021	. . . . . 6 |- ( A. y ( y = ( F ` x ) -> y e. B ) <-> ( F ` x ) e. B )
21	20	ralbii 2760	. . . . 5 |- ( A. x e. A A. y ( y = ( F ` x ) -> y e. B ) <-> A. x e. A ( F ` x ) e. B )
22	17, 21	bitr3i 251	. . . 4 |- ( A. y A. x e. A ( y = ( F ` x ) -> y e. B ) <-> A. x e. A ( F ` x ) e. B )
23	16, 22	syl6bb 261	. . 3 |- ( ( A C_ dom F /\ Fun F ) -> ( A. y ( y e. ( F " A ) -> y e. B ) <-> A. x e. A ( F ` x ) e. B ) )
24	1, 23	syl5bb 257	. 2 |- ( ( A C_ dom F /\ Fun F ) -> ( ( F " A ) C_ B <-> A. x e. A ( F ` x ) e. B ) )
25	24	ancoms 453	1 |- ( ( Fun F /\ A C_ dom F ) -> ( ( F " A ) C_ B <-> A. x e. A ( F ` x ) e. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   A.wal 1367   = wceq 1369   e. wcel 1756   A.wral 2736   E.wrex 2737   C_ wss 3349   class class class wbr 4313   dom cdm 4861   "cima 4864   Fun wfun 5433   ` cfv 5439

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pr 4552

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2741  df-rex 2742  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-nul 3659  df-if 3813  df-sn 3899  df-pr 3901  df-op 3905  df-uni 4113  df-br 4314  df-opab 4372  df-id 4657  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-fv 5447

This theorem is referenced by:  funimass3  5840  funimass5  5841  funconstss  5842  funimassov  6261  fnwelem  6708  cnfcomlem  7953  cnfcomlemOLD  7961  dfac12lem2  8334  ackbij1b  8429  wunom  8908  phimullem  13875  frmdss2  15562  cntzmhm2  15878  dprd2da  16563  frlmsslsp  18245  frlmsslspOLD  18246  1stckgenlem  19148  txcnp  19215  ptcnplem  19216  xkopt  19250  xkoinjcn  19282  tgqtop  19307  uzrest  19492  cnflf2  19598  lmflf  19600  txflf  19601  cnextcn  19661  ghmcnp  19707  ucnima  19878  metcnp  20138  tchcph  20774  ovolficcss  20975  opnmbllem  21103  ellimc2  21374  ellimc3  21376  deg1n0ima  21582  dvloglem  22115  logf1o2  22117  dchrghm  22617  usgrares1  23345  xrofsup  26077  eulerpartlemd  26771  erdszelem2  27102  cvmlift3lem7  27236  opnmbllem0  28453  filnetlem4  28628  cnres2  28688