Theorem funi 5543

Description: The identity relation is a function. Part of Theorem 10.4 of [Quine] p. 65. (Contributed by NM, 30-Apr-1998.)

Assertion

Ref	Expression
funi	|- Fun _I

Proof of Theorem funi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reli 5060	. 2 |- Rel _I
2		relcnv 5304	. . . . 5 |- Rel `' _I
3		coi2 5449	. . . . 5 |- ( Rel `' _I -> ( _I o. `' _I ) = `' _I )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 |- ( _I o. `' _I ) = `' _I
5		cnvi 5337	. . . 4 |- `' _I = _I
6	4, 5	eqtri 2425	. . 3 |- ( _I o. `' _I ) = _I
7	6	eqimssi 3488	. 2 |- ( _I o. `' _I ) C_ _I
8		df-fun 5515	. 2 |- ( Fun _I <-> ( Rel _I /\ ( _I o. `' _I ) C_ _I ) )
9	1, 7, 8	mpbir2an 918	1 |- Fun _I

Syntax hints:   = wceq 1399   C_ wss 3406   _I cid 4721   `'ccnv 4929   o. ccom 4934   Rel wrel 4935   Fun wfun 5507

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2020  ax-ext 2374  ax-sep 4505  ax-nul 4513  ax-pr 4618

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2236  df-mo 2237  df-clab 2382  df-cleq 2388  df-clel 2391  df-nfc 2546  df-ne 2593  df-ral 2751  df-rex 2752  df-rab 2755  df-v 3053  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-nul 3729  df-if 3875  df-sn 3962  df-pr 3964  df-op 3968  df-br 4385  df-opab 4443  df-id 4726  df-xp 4936  df-rel 4937  df-cnv 4938  df-co 4939  df-fun 5515

This theorem is referenced by:  cnvresid  5583  fnresi  5623  fvi  5848  resiexd  6059  ssdomg  7502  residfi  32674  usgresvm1  32800  usgresvm1ALT  32804  tendo02  36965