Theorem funfvop 3879

Description: Ordered pair with function value. Part of Theorem 4.3(i) of [Monk1] p. 41.

Assertion

Ref	Expression
funfvop	|- ((Fun F /\ A e. dom F) -> <.A, (F` A)>. e. F)

Proof of Theorem funfvop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 3808	. . 3 |- (F` A) e. V
2	1	isseti 1853	. 2 |- E.x x = (F` A)
3		visset 1851	. . . . . . 7 |- x e. V
4	3	funopfvb 3832	. . . . . 6 |- ((Fun F /\ A e. dom F) -> ((F` A) = x <-> <.A, x>. e. F))
5		opeq2 2536	. . . . . . . 8 |- ((F` A) = x -> <.A, (F` A)>. = <.A, x>.)
6	5	eleq1d 1577	. . . . . . 7 |- ((F` A) = x -> (<.A, (F` A)>. e. F <-> <.A, x>. e. F))
7	6	biimprcd 154	. . . . . 6 |- (<.A, x>. e. F -> ((F` A) = x -> <.A, (F` A)>. e. F))
8	4, 7	syl6bi 212	. . . . 5 |- ((Fun F /\ A e. dom F) -> ((F` A) = x -> ((F` A) = x -> <.A, (F` A)>. e. F)))
9	8	pm2.43d 65	. . . 4 |- ((Fun F /\ A e. dom F) -> ((F` A) = x -> <.A, (F` A)>. e. F))
10		eqcom 1514	. . . 4 |- (x = (F` A) <-> (F` A) = x)
11	9, 10	syl5ib 204	. . 3 |- ((Fun F /\ A e. dom F) -> (x = (F` A) -> <.A, (F` A)>. e. F))
12	11	19.23adv 1247	. 2 |- ((Fun F /\ A e. dom F) -> (E.x x = (F` A) -> <.A, (F` A)>. e. F))
13	2, 12	mpi 44	1 |- ((Fun F /\ A e. dom F) -> <.A, (F` A)>. e. F)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 221   = wceq 988   e. wcel 990  E.wex 1012  <.cop 2456  dom cdm 3225  Fun wfun 3231  ` cfv 3237

This theorem is referenced by:  fvimacnv 3881  fnopfv 3887  fvelrn 3888  dff3 3893  funfvima3 3930  fundmen 4515  adj1 9975

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 994  ax-gen 995  ax-8 996  ax-10 998  ax-11 999  ax-12 1000  ax-13 1001  ax-14 1002  ax-17 1003  ax-4 1005  ax-5o 1007  ax-6o 1010  ax-9o 1155  ax-10o 1173  ax-16 1243  ax-11o 1251  ax-ext 1494  ax-sep 2754  ax-pow 2794  ax-pr 2832  ax-un 2920

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-ex 1013  df-sb 1205  df-eu 1415  df-mo 1416  df-clab 1500  df-cleq 1505  df-clel 1508  df-ne 1624  df-rex 1688  df-v 1850  df-dif 2093  df-un 2094  df-in 2095  df-ss 2097  df-nul 2325  df-pw 2447  df-sn 2457  df-pr 2458  df-op 2461  df-uni 2552  df-br 2670  df-opab 2718  df-id 2889  df-xp 3239  df-cnv 3241  df-co 3242  df-dm 3243  df-rn 3244  df-res 3245  df-ima 3246  df-fun 3247  df-fn 3248  df-fv 3253

Copyright terms: Public domain