Theorem funfvima 4828

Description: A function's value in a pre-image belongs to the image.

Assertion

Ref	Expression
funfvima	|- ((Fun F /\ B e. dom F) -> (B e. A -> (F` B) e. (F"A)))

Proof of Theorem funfvima

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvres 4691	. . . . . . . . . 10 |- (B e. A -> ((F |` A)` B) = (F` B))
2	1	eleq1d 1963	. . . . . . . . 9 |- (B e. A -> (((F |` A)` B) e. ran ( F |` A) <-> (F` B) e. ran ( F |` A)))
3		df-ima 4007	. . . . . . . . . 10 |- (F"A) = ran ( F |` A)
4	3	eleq2i 1961	. . . . . . . . 9 |- ((F` B) e. (F"A) <-> (F` B) e. ran ( F |` A))
5	2, 4	syl6rbbr 598	. . . . . . . 8 |- (B e. A -> ((F` B) e. (F"A) <-> ((F |` A)` B) e. ran ( F |` A)))
6		fvelrn 4785	. . . . . . . . 9 |- ((Fun (F |` A) /\ B e. dom ( F |` A)) -> ((F |` A)` B) e. ran ( F |` A))
7		funres 4459	. . . . . . . . 9 |- (Fun F -> Fun (F |` A))
8	6, 7	sylan 497	. . . . . . . 8 |- ((Fun F /\ B e. dom ( F |` A)) -> ((F |` A)` B) e. ran ( F |` A))
9	5, 8	syl5cbir 228	. . . . . . 7 |- ((Fun F /\ B e. dom ( F |` A)) -> (B e. A -> (F` B) e. (F"A)))
10	9	ex 402	. . . . . 6 |- (Fun F -> (B e. dom ( F |` A) -> (B e. A -> (F` B) e. (F"A))))
11		dmres 4234	. . . . . . . 8 |- dom ( F |` A) = (A i^i dom F)
12	11	eleq2i 1961	. . . . . . 7 |- (B e. dom ( F |` A) <-> B e. (A i^i dom F))
13		elin 2786	. . . . . . 7 |- (B e. (A i^i dom F) <-> (B e. A /\ B e. dom F))
14	12, 13	bitri 190	. . . . . 6 |- (B e. dom ( F |` A) <-> (B e. A /\ B e. dom F))
15	10, 14	syl5ibr 224	. . . . 5 |- (Fun F -> ((B e. A /\ B e. dom F) -> (B e. A -> (F` B) e. (F"A))))
16	15	exp3a 405	. . . 4 |- (Fun F -> (B e. A -> (B e. dom F -> (B e. A -> (F` B) e. (F"A)))))
17	16	com12 14	. . 3 |- (B e. A -> (Fun F -> (B e. dom F -> (B e. A -> (F` B) e. (F"A)))))
18	17	imp3a 388	. 2 |- (B e. A -> ((Fun F /\ B e. dom F) -> (B e. A -> (F` B) e. (F"A))))
19	18	pm2.43b 81	1 |- ((Fun F /\ B e. dom F) -> (B e. A -> (F` B) e. (F"A)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   e. wcel 1300   i^i cin 2592  dom cdm 3986  ran crn 3987   |` cres 3988  "cima 3989  Fun wfun 3992  ` cfv 3998

This theorem is referenced by:  funfvima2 4829  isomin 4876  isofrlem 4878  ordtypelem6 5689  tz9.12lem3 5772  fipreima 10175  axfelem1 14031  axfelem10 14040  ordtypelem6OLD 15380  neibastop2lem3 15521  fipreimaOLD 15756  heiborlem14 15968  heiborlem16 15970  heiborlem17 15971

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014

Copyright terms: Public domain