MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funfvbrb Structured version   Unicode version

Theorem funfvbrb 5816
Description: Two ways to say that  A is in the domain of  F. (Contributed by Mario Carneiro, 1-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
funfvbrb  |-  ( Fun 
F  ->  ( A  e.  dom  F  <->  A F
( F `  A
) ) )

Proof of Theorem funfvbrb
StepHypRef Expression
1 funfvop 5815 . . 3  |-  ( ( Fun  F  /\  A  e.  dom  F )  ->  <. A ,  ( F `
 A ) >.  e.  F )
2 df-br 4293 . . 3  |-  ( A F ( F `  A )  <->  <. A , 
( F `  A
) >.  e.  F )
31, 2sylibr 212 . 2  |-  ( ( Fun  F  /\  A  e.  dom  F )  ->  A F ( F `  A ) )
4 funrel 5435 . . 3  |-  ( Fun 
F  ->  Rel  F )
5 releldm 5072 . . 3  |-  ( ( Rel  F  /\  A F ( F `  A ) )  ->  A  e.  dom  F )
64, 5sylan 471 . 2  |-  ( ( Fun  F  /\  A F ( F `  A ) )  ->  A  e.  dom  F )
73, 6impbida 828 1  |-  ( Fun 
F  ->  ( A  e.  dom  F  <->  A F
( F `  A
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1756   <.cop 3883   class class class wbr 4292   dom cdm 4840   Rel wrel 4845   Fun wfun 5412   ` cfv 5418
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pr 4531
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-br 4293  df-opab 4351  df-id 4636  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-fv 5426
This theorem is referenced by:  fmptco  5876  fpwwe2lem13  8809  fpwwe2  8810  climdm  13032  invco  14709  funciso  14784  ffthiso  14839  fuciso  14885  setciso  14959  catciso  14975  lmcau  20823  dvcnp  21393  dvadd  21414  dvmul  21415  dvaddf  21416  dvmulf  21417  dvco  21421  dvcof  21422  dvcjbr  21423  dvcnvlem  21448  dvferm1  21457  dvferm2  21459  ulmdm  21858  ulmdvlem3  21867  minvecolem4a  24278  hlimf  24640  hhsscms  24680  occllem  24706  occl  24707  chscllem4  25043  fmptcof2  25979  heiborlem9  28718  bfplem1  28721
  Copyright terms: Public domain W3C validator