MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funfvbrb Structured version   Unicode version

Theorem funfvbrb 5978
Description: Two ways to say that  A is in the domain of  F. (Contributed by Mario Carneiro, 1-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
funfvbrb  |-  ( Fun 
F  ->  ( A  e.  dom  F  <->  A F
( F `  A
) ) )

Proof of Theorem funfvbrb
StepHypRef Expression
1 funfvop 5977 . . 3  |-  ( ( Fun  F  /\  A  e.  dom  F )  ->  <. A ,  ( F `
 A ) >.  e.  F )
2 df-br 4396 . . 3  |-  ( A F ( F `  A )  <->  <. A , 
( F `  A
) >.  e.  F )
31, 2sylibr 212 . 2  |-  ( ( Fun  F  /\  A  e.  dom  F )  ->  A F ( F `  A ) )
4 funrel 5586 . . 3  |-  ( Fun 
F  ->  Rel  F )
5 releldm 5056 . . 3  |-  ( ( Rel  F  /\  A F ( F `  A ) )  ->  A  e.  dom  F )
64, 5sylan 469 . 2  |-  ( ( Fun  F  /\  A F ( F `  A ) )  ->  A  e.  dom  F )
73, 6impbida 833 1  |-  ( Fun 
F  ->  ( A  e.  dom  F  <->  A F
( F `  A
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    e. wcel 1842   <.cop 3978   class class class wbr 4395   dom cdm 4823   Rel wrel 4828   Fun wfun 5563   ` cfv 5569
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pr 4630
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-br 4396  df-opab 4454  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-fv 5577
This theorem is referenced by:  fmptco  6043  fpwwe2lem13  9050  fpwwe2  9051  climdm  13526  invco  15384  funciso  15487  ffthiso  15542  fuciso  15588  setciso  15694  catciso  15710  lmcau  22043  dvcnp  22614  dvadd  22635  dvmul  22636  dvaddf  22637  dvmulf  22638  dvco  22642  dvcof  22643  dvcjbr  22644  dvcnvlem  22669  dvferm1  22678  dvferm2  22680  ulmdm  23080  ulmdvlem3  23089  minvecolem4a  26207  hlimf  26569  hhsscms  26609  occllem  26635  occl  26636  chscllem4  26972  fmptcof2  27941  heiborlem9  31597  bfplem1  31600  rngciso  38301  rngcisoALTV  38313  ringciso  38352  ringcisoALTV  38376
  Copyright terms: Public domain W3C validator